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一、數(shù)學(xué)美學(xué)的追求是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力

一個(gè)正確的數(shù)學(xué)理論，就其反映現(xiàn)實(shí)世界的量的內(nèi)在規(guī)律性而言，就是數(shù)學(xué)的真；就其實(shí)現(xiàn)對(duì)外部現(xiàn)實(shí)和目的的要求而言，就是數(shù)學(xué)的善；就其體現(xiàn)人的能動(dòng)的創(chuàng)造力而言，就是數(shù)學(xué)的美。美學(xué)的真、善、美在本質(zhì)上是一致的，統(tǒng)一于人類的社會(huì)實(shí)踐。因此，對(duì)于數(shù)學(xué)美的追求，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中具有重要意義。首先，美感來(lái)源于客觀現(xiàn)實(shí)中的美，是人的一種特殊的復(fù)雜的心理現(xiàn)象，包含著豐富的想象、情感和豐富的理解，是諸種要素共同活動(dòng)的結(jié)果。在一定意義上來(lái)說(shuō)，沒(méi)有美感就不會(huì)有數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。龐加萊曾指出：“科學(xué)家研究自然，并非它有用處，他研究它，是因?yàn)樗矚g它，他之所以喜歡它，是因?yàn)樗敲赖?。如果自然不美它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫無(wú)意義。正是這種美使物體，也可以使結(jié)構(gòu)具有讓我們感官滿意的彩虹的外表。沒(méi)有這種支持，這種疏忽即逝的夢(mèng)幻之美其結(jié)果是不完美的，因?yàn)樗悄：?，總是短暫的。相反，理性美可以充分達(dá)到它自身，科學(xué)家之所以投身長(zhǎng)期而艱巨的勞動(dòng)，也許為此緣故甚于為人類未來(lái)的福利?！碑?dāng)代有名的數(shù)論大家賽爾伯格說(shuō)，他喜歡數(shù)學(xué)的一個(gè)動(dòng)機(jī)。其次，美學(xué)的考慮選擇正確的研究方向。龐加萊指出：“數(shù)學(xué)創(chuàng)造實(shí)際上是什么呢？它并不在于用已知的數(shù)學(xué)實(shí)體作出新的組合。任何一個(gè)人都會(huì)做這樣的組合，但這樣的組合在數(shù)目上是無(wú)限的，他們中的大多數(shù)完全沒(méi)有用處。創(chuàng)造恰恰在于不作無(wú)用的組合，而作有用的、為數(shù)極少的組合。

發(fā)明就是識(shí)別、選擇?！?0世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)分化與科學(xué)綜合的辯證運(yùn)動(dòng)，一方面使得數(shù)學(xué)的分支日趨繁多、精細(xì)，另一方面又使數(shù)學(xué)在不同范圍、不同層次上結(jié)合為有機(jī)整體。面對(duì)又分化又綜合的數(shù)學(xué)發(fā)展潮流，要想作出新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，更需要選擇正確的研究方向。數(shù)學(xué)美感是作出正確選擇的一個(gè)必須遵循的準(zhǔn)則。數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)單性、對(duì)稱性、統(tǒng)一性和奇異性都是作出正確選擇的重要原則。第三，鑒于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度抽象性，美學(xué)的考慮對(duì)于評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)理論也具有一定的作用。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史表明，如果一種數(shù)學(xué)理論符合數(shù)學(xué)美學(xué)原則，那么這種理論就具有更大的生命力，它就能被流傳下來(lái)，得到進(jìn)一步的發(fā)展；否則就會(huì)被淘汰、遺棄。例如，概率論是從量的側(cè)面研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門科學(xué)，它的產(chǎn)生始于17世紀(jì)，由于人們對(duì)概率論概念的不同理解，因此所建立的體系也不完全一樣，最迷人的體系是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸虻母怕收摗2]用數(shù)學(xué)美的原則來(lái)評(píng)價(jià)，他的理論體系顯示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美和統(tǒng)一美，不僅對(duì)論述無(wú)限隨機(jī)試驗(yàn)序列或一般隨機(jī)過(guò)程給出了足夠的邏輯基礎(chǔ)，而且應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)也很方便。所以他的概率論得到了進(jìn)一步發(fā)展，后來(lái)又產(chǎn)生了不少的分支。從認(rèn)識(shí)論上來(lái)分析，人類的實(shí)踐需要，以實(shí)踐為主導(dǎo)的實(shí)踐同認(rèn)識(shí)的矛盾，是數(shù)學(xué)發(fā)展的最終動(dòng)力；同時(shí)，數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段，在一定程度和一定范圍內(nèi)具有相對(duì)獨(dú)立性，數(shù)學(xué)體系的內(nèi)部矛盾、各種數(shù)學(xué)理論的矛盾、數(shù)學(xué)理論與審美標(biāo)準(zhǔn)之間或數(shù)學(xué)美形態(tài)前后之間的矛盾，也都成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)不可缺少的內(nèi)在推動(dòng)力。在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中我們既應(yīng)重視美學(xué)的考慮也不應(yīng)忘記數(shù)學(xué)發(fā)展的根本動(dòng)力在于實(shí)踐。

二、數(shù)學(xué)直覺(jué)是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉

直覺(jué)是指對(duì)事物直接的覺(jué)察、領(lǐng)悟甚至是印象。數(shù)學(xué)直覺(jué)則是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)問(wèn)題的直接領(lǐng)悟或覺(jué)察。隨著科學(xué)由經(jīng)驗(yàn)時(shí)期發(fā)展到理性時(shí)期，直覺(jué)在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用越來(lái)越引起人們的關(guān)注。[3]數(shù)學(xué)直覺(jué)是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的一種思維方式，在數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性思維活動(dòng)中可以找到很多實(shí)例。例如古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德奉國(guó)王之命，鑒別王冠的質(zhì)地是否純正。他花了很多心血，但許久找不到合適的方法。在感到特別疲勞的時(shí)候，他來(lái)到浴室。當(dāng)他跨進(jìn)澡盆，看到溢出盆外的水時(shí)，突然受到啟發(fā)，連連高喊“：我知道了！我知道了！”在隨后的實(shí)驗(yàn)中，阿基米德不僅揭開(kāi)了王冠之謎，還發(fā)現(xiàn)了有名的浮力原理。龐加萊曾指出：“邏輯是證明的工具，直覺(jué)是發(fā)明的工具?！薄皼](méi)有直覺(jué)，數(shù)學(xué)家便會(huì)像這樣一個(gè)作家：他只是按語(yǔ)法寫詩(shī)，但確是毫無(wú)思想?！睈?ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)“：真正可貴的因素是直覺(jué)?！啊蔽蚁嘈胖庇X(jué)和靈感?！贝罅渴穼?shí)證明，龐加萊和愛(ài)因斯坦的論斷是正確的，直覺(jué)思維有邏輯思維所不能替代的特殊作用。主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

首先，在科學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，科學(xué)家常常依靠直覺(jué)進(jìn)行辨別、選擇，找到解決問(wèn)題的正確道路或最佳方案。阿達(dá)瑪指出：“構(gòu)造各種各樣思想的組合僅僅是發(fā)明創(chuàng)造的初步。正如我們所注意到的，也正如龐加萊所說(shuō)的，發(fā)明創(chuàng)造就是排除那些無(wú)用的組合，保留那些有用的組合，而有用的組合只是極少數(shù)的。因此我們可以說(shuō)，發(fā)明就是辨別，就是選擇?！比藗?cè)趪L試解決復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，大都預(yù)先要遇到許多可能的思路，究竟先選擇哪條思路？單憑邏輯思維或形象思維往往難以解決，在不少情況下需要借助直覺(jué)力量，憑借直覺(jué)去辨別、去選擇。

其次，憑直覺(jué)啟迪思路，發(fā)現(xiàn)新的概念、新的方法和新的思想?？茖W(xué)發(fā)展的歷史表明，許多重大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)，既不是從以前的知識(shí)中按嚴(yán)格的邏輯推理得到的，也不是作為經(jīng)驗(yàn)材料的簡(jiǎn)單總結(jié)、歸納而形成的，科學(xué)家當(dāng)解決問(wèn)題的邏輯通道受到阻塞時(shí)，常常憑借直覺(jué)從大量復(fù)雜的材料中，直接得出結(jié)論，作出新的發(fā)現(xiàn)。龐加萊就是在山巖上散步時(shí)，突然想到不定三元二次型的算術(shù)變換和非歐幾何的變換方法是完全一樣的。

第三，利用直覺(jué)獲得猜想（公理或假說(shuō)），然后演繹推出若干定理，建立科學(xué)理論體系。我們的數(shù)學(xué)教育不能忽視直覺(jué)力的培養(yǎng)，這樣不僅可以使青少年的學(xué)習(xí)是創(chuàng)造性的，而且在使他們學(xué)好數(shù)學(xué)的同時(shí)變得更聰明，并為未來(lái)做好更充分的準(zhǔn)備，人類的未來(lái)與創(chuàng)造性的關(guān)系更密切。因此，從經(jīng)驗(yàn)事實(shí)上升科學(xué)理論是十分復(fù)雜的創(chuàng)造性思維的活動(dòng)。一般說(shuō)來(lái)，在建立首創(chuàng)性理論的過(guò)程中，直覺(jué)常常起主導(dǎo)作用。

三、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)內(nèi)容、思想方法及意義

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容十分廣泛，大體上包括數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)方法的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)理論的發(fā)現(xiàn)三個(gè)互相聯(lián)系的基本層次。數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)性層次內(nèi)容。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提出問(wèn)題是全部數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念、規(guī)律和數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)中介性層次的內(nèi)容。數(shù)學(xué)理論是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的最高層次的內(nèi)容。[4]數(shù)學(xué)同其他各門科學(xué)一樣，在其發(fā)展的進(jìn)程中，形成了一整套思想方法，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。歷史表明，一個(gè)重大數(shù)學(xué)成果的取得往往與數(shù)學(xué)方法的突破分不開(kāi)。類比猜想和歸納推廣是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法，而觀察、嘗試是進(jìn)行猜想的必要前提，聯(lián)想化歸是進(jìn)行猜想的必要方法。一個(gè)好的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)必須以細(xì)致的觀察為前提，正如愛(ài)因斯坦所指出的“即使是最明晰的數(shù)學(xué)理論，它本身也不能使真理得到保證，要不是用自然科學(xué)中的最準(zhǔn)確的觀察來(lái)檢驗(yàn)，它也是毫無(wú)意義的?！绷_巴切夫斯基在19世紀(jì)20年代提出非歐幾何時(shí)，許多著名數(shù)學(xué)家都很不理解，直到本世紀(jì)初，非歐幾何在相對(duì)論中得到了成功的應(yīng)用，現(xiàn)代天文學(xué)又發(fā)現(xiàn)大質(zhì)量的周圍空間的非歐幾何性質(zhì)，羅巴切夫的非歐幾何學(xué)才最終被證實(shí)。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的意義在于，首先，它推進(jìn)數(shù)學(xué)研究。研究數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的認(rèn)識(shí)與方法，有助于拓寬人們的思路，推進(jìn)數(shù)學(xué)研究工作。在科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)的今天更具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。據(jù)估計(jì)19世紀(jì)的知識(shí)更新周期是80到90年，現(xiàn)在已縮短為15年，某些領(lǐng)先學(xué)科更縮短為5到10年，數(shù)學(xué)也是如此，面臨著文獻(xiàn)爆炸。這就要求在數(shù)學(xué)研究中作出新的成果，除了要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，還必須熟悉數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的案例、模式、方法，從認(rèn)識(shí)論方法論中汲取成功的經(jīng)驗(yàn)。其二，它改革數(shù)學(xué)教學(xué)方法。研究數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的認(rèn)識(shí)與方法，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，講清原始思想，分析解決問(wèn)題的念頭，給出證明定理的思路，引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)不同的角度看問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力是必要的。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)將有助于填補(bǔ)這方面的空白。有針對(duì)性地研究數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的案例、模式和方法，有助于充實(shí)教學(xué)內(nèi)容，改進(jìn)教學(xué)方法，優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，從本原上發(fā)展學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。第三，它有助于堅(jiān)持和發(fā)展馬克思主義哲學(xué)。數(shù)學(xué)本身具有堅(jiān)實(shí)的客觀基礎(chǔ)和豐富的辯證性質(zhì)是“辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式”。從本質(zhì)上說(shuō)，深入研究數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的案例，模式和方法，必將有助于培養(yǎng)我們的辯證唯物主義觀點(diǎn)。例如，由于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，幾何理論與現(xiàn)實(shí)空間的聯(lián)系在形式上被切斷了，從而推進(jìn)了關(guān)于數(shù)學(xué)的真理性問(wèn)題的哲學(xué)思考。

四、個(gè)人素養(yǎng)與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的辯證關(guān)系

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是個(gè)人的創(chuàng)造發(fā)明，一個(gè)人的數(shù)學(xué)觀念、品質(zhì)對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)有著必然的影響。同時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)個(gè)人素養(yǎng)又有著積極的影響，具有一定的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力使人更聰明、更富有、更高尚。個(gè)人素養(yǎng)與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)二者之間是相互影響，相互促進(jìn)的。

（一）崇尚真理，不怕失敗

在探索數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)真理的過(guò)程中，為了成功首先就要面對(duì)失敗。一個(gè)成功者，特別是有重大成就者，其成功的道路幾乎是由失敗鋪墊而成的。[5]有一位英國(guó)數(shù)學(xué)家兼物理學(xué)家開(kāi)爾文曾說(shuō)：“我堅(jiān)持奮斗55年致力于科學(xué)的發(fā)展，用一個(gè)詞可以道出我最艱辛的工作特點(diǎn)，這個(gè)詞就是失敗。”在真理探索過(guò)程中，有許多人甚至冒著一輩子一事無(wú)成的巨大風(fēng)險(xiǎn)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)還不得不面對(duì)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤。即令一些大數(shù)學(xué)家也很難避免不出任何錯(cuò)誤。歐拉有過(guò)大量杰出的成就，但他也出現(xiàn)過(guò)錯(cuò)誤，例如在函數(shù)的可微性、級(jí)數(shù)的收斂性以及關(guān)于曲線的觀念上出現(xiàn)過(guò)錯(cuò)誤。一位法國(guó)數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪認(rèn)為，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家經(jīng)常犯錯(cuò)誤，但能很快發(fā)現(xiàn)并糾正，他甚至還說(shuō)他比他學(xué)生犯錯(cuò)誤更多。所以問(wèn)題并不是有沒(méi)有錯(cuò)誤，問(wèn)題在于如何面對(duì)錯(cuò)誤。

（二）勤于探索，謙虛謹(jǐn)慎

許多科學(xué)家不愿意承認(rèn)自己有多高的天賦，而特別愿意說(shuō)自己主要靠了勤奮，天才在于勤奮。我們都把牛頓視為有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家?？墒?，牛頓“在21歲之前，他尚未涉獵較高深的數(shù)學(xué)知識(shí)”。二十幾歲才開(kāi)始較高深的數(shù)學(xué)研究?！芭ｎD反復(fù)研讀經(jīng)典，異?？炭唷⑶趭^，經(jīng)常廢寢忘食?！彼窇浾f(shuō)，笛卡爾的《幾何學(xué)》很難懂,只讀了大約10頁(yè)，就不得不停下來(lái)。然后再開(kāi)始，比第一次稍進(jìn)步一些，又停下來(lái)，再?gòu)念^開(kāi)始，直至真正掌握全書的內(nèi)容。到這種程度時(shí)，他對(duì)笛卡爾幾何的理解比對(duì)歐幾里得幾何的理解要好些。他又開(kāi)始重讀歐幾里得，再后又第二次讀笛卡爾的幾何。隨后他又通過(guò)悉心研讀他的老師巴羅所編的《原本》和《數(shù)據(jù)》兩書，彌補(bǔ)了他早期對(duì)歐氏幾何的忽視。1676年，牛頓已是成績(jī)卓著，但他卻說(shuō)：“如果我看的遠(yuǎn)些，那是由于我站在巨人們的肩上?！边@句話的背后是他實(shí)實(shí)在在的經(jīng)歷，在他的大學(xué)生涯中，僅“沉迷于撲克牌兩次”“，上小酒館兩次”。

（三）情感陶冶，興趣持久、廣泛

在探索數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中是需要情感投入的，因而探索數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是肯定能陶冶情操的。首先就要對(duì)數(shù)學(xué)有興趣，對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)有興趣是不行的，興趣不濃厚也難以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中有所成就。興趣的持久性是進(jìn)一步要關(guān)注的，這種持久性必須與意志、與認(rèn)識(shí)、與情感聯(lián)系起來(lái)。興趣的長(zhǎng)久保持和發(fā)展必須有意志的支撐，因?yàn)槌晒εc失敗必定是交替出現(xiàn)的，困難與順利也常常會(huì)同時(shí)存在，只有經(jīng)得起失敗與困難考驗(yàn)而又同時(shí)在成功與順利之中有過(guò)喜悅與歡欣，才會(huì)更有興趣。興趣的廣泛性也十分重要，如果說(shuō)數(shù)學(xué)處在自己的興趣中心的話，那么，更廣泛一些的興趣是有利于加強(qiáng)這一中心強(qiáng)度的。祖沖之對(duì)數(shù)學(xué)、天文、歷法、文學(xué)都有廣泛的興趣，但他的興趣中心在數(shù)學(xué)。歐拉對(duì)力學(xué)、天文、船舶、機(jī)械、音樂(lè)、數(shù)學(xué)都有廣泛的興趣，但他的興趣中心也在數(shù)學(xué)，并且這又大大有利于他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里更廣泛的范圍內(nèi)活動(dòng)。從哲學(xué)上說(shuō)：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、進(jìn)而再創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的過(guò)程。我們要以馬克思主義哲學(xué)作指導(dǎo)，從數(shù)學(xué)特點(diǎn)出發(fā)研究數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的認(rèn)識(shí)和方法，力求為拓寬數(shù)學(xué)研究思路、豐富數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、增強(qiáng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)提供恰當(dāng)?shù)耐緩椒椒ā?/p>

作者：曲亞民單位：大慶市龍鳳區(qū)教育局