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摘要：簡(jiǎn)述了金融數(shù)學(xué)理論的若干前沿問題和金融數(shù)學(xué)理論未來發(fā)展趨勢(shì)的展望﹑金融數(shù)學(xué)理論發(fā)展面臨的新挑戰(zhàn)。

關(guān)鍵詞：金融數(shù)學(xué)；美式期權(quán)；利率；衍生證券

1金融數(shù)學(xué)的若干前沿問題與展望

“B-S模型”對(duì)市場(chǎng)做了許多理想的﹑不切實(shí)際的假設(shè)。以默頓為代表的許多學(xué)者對(duì)“B-S模型”進(jìn)行了各種各樣的推廣。推廣主要集中在對(duì)模型所依賴于成立的一系列假設(shè)條件的修正上。例如允許利率是時(shí)間的函數(shù)或隨機(jī)變量（如默頓的隨機(jī)利率模型）；允許股票在衍生證券的有效期內(nèi)支付紅利；存在交易費(fèi)用；對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)，也推廣到其他種類，如外匯﹑期貨﹑利率等。這些推廣無疑是重要的，但仍有許多問題亟待解決。例如美式期權(quán)問題﹑利率的期限結(jié)構(gòu)問題﹑市場(chǎng)的波動(dòng)性與突發(fā)事件問題以及市場(chǎng)的不完全性和信息不對(duì)稱問題等都是當(dāng)前金融面臨的重要研究課題。

1.1美式期權(quán)﹑利率的期限結(jié)構(gòu)問題

在市場(chǎng)交易的期權(quán)大部分是美式期權(quán)。對(duì)于美式期權(quán)的定價(jià)，問題要比歐式期權(quán)定價(jià)困難得多。因?yàn)槊朗狡跈?quán)可以在到期前的任何時(shí)刻執(zhí)行，這就牽涉到期權(quán)的最佳執(zhí)行時(shí)間問題。一般情況下期權(quán)的最佳執(zhí)行時(shí)間是一個(gè)十分復(fù)雜的問題，至今還沒有得到很好地解決。如果應(yīng)用偏微分方程的方法來討論美式期權(quán)的定價(jià)，對(duì)應(yīng)的偏微分方程的問題將變?yōu)椤白杂蛇吔纭眴栴}，在數(shù)學(xué)上是一個(gè)有趣而又困難的問題。一般情況下，美式期權(quán)沒有精確的解析定價(jià)公式，因而只能用數(shù)值算法或解析近似解，如蒙特卡羅模擬法﹑數(shù)圖法﹑有限差方分法等。除了美式期權(quán)外，還有很多新型金融產(chǎn)品，其定價(jià)也極具挑戰(zhàn)性。

在“B-S模型”中，利率是給定的常數(shù)。實(shí)際上，利率的變化是相當(dāng)復(fù)雜的，不同性質(zhì)﹑不同到期日的證券，利率的變化規(guī)律互不相同，這也就是利率的期限結(jié)構(gòu)（TermStructureofInterestRates）。它通常可以用收益率曲線的形式來表示。利率的期限結(jié)構(gòu)包括三種理論：市場(chǎng)預(yù)期理論﹑市場(chǎng)分割和投資偏好理論﹑流動(dòng)性偏好理論。這些理論分別從不同的角度對(duì)利率的不規(guī)則變化作出了解釋。近年來由于利率風(fēng)險(xiǎn)的日益突出，利率期權(quán)等利率衍生證券（InterestRateDerivatives）得到了迅速發(fā)展，利率的期限結(jié)構(gòu)模型更顯重要。利率的期限結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型不斷提出。著名的有Vasicek(1977),Cox-Ingersoll-Ross(1985)和Hull-White(1990)等短期利率模型以及Ho-Lee(1986)和Heath-Jarrow-MorrtOn(1992)等長期利率模型。比如，Vasicek模型假設(shè)短期利率r(t)在風(fēng)險(xiǎn)中性概率下滿足Ornstein-Uhlenbeck過程:(dr(t)=a(b-r(t))dt+σdwt)

其中(a,b,σ)為正常數(shù)，(wt)為P下的一維標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，該模型是第一個(gè)單因子模型，許多模型（如Cox-Ingersoll-Ross,Hull-White等模型）都是該模型的推廣。現(xiàn)在比較流行的是多因子模型（如高維平方高斯馬爾科夫過程）。Ho-Lee和Heath-Jarrow-Morton模型則是直接用長期利率模型來描述利率的期限結(jié)構(gòu)。

1.2市場(chǎng)的波動(dòng)性與突發(fā)事件問題以及市場(chǎng)的不完全性和信息不對(duì)稱問題

金融市場(chǎng)的波動(dòng)現(xiàn)象，一般可以歸結(jié)為隨機(jī)變量，以股票價(jià)格的波動(dòng)為例。我們知道，股票價(jià)格的波動(dòng)率是刻劃未來股票價(jià)格變動(dòng)的一種最關(guān)鍵的變量。在“B-S模型”及其大部分推廣中，股票價(jià)格的波動(dòng)率為常數(shù)，這在實(shí)際中是不合理的。為更準(zhǔn)確地描述股票價(jià)格變化的規(guī)律，有幾種重要的因素必須考慮：股票價(jià)格的波動(dòng)率對(duì)股票價(jià)格的依賴性；波動(dòng)率與其它其它隨機(jī)變量的依賴性；股票價(jià)格可能的突然跳動(dòng)（象1929年或1987年的股票市場(chǎng)崩潰那樣的事件）。隨機(jī)波動(dòng)率模型能夠體現(xiàn)上述某些因素，目前受到極大的重視。這類模型（如Hull-White模型）假設(shè)波動(dòng)率服從某一隨機(jī)過程，比如幾何布朗運(yùn)動(dòng)等等。在離散時(shí)間情形，自回歸條件異方差（AutoregressiveConditionalHeteroskedasticity,ARCH)模型是目前最常用的模型之一。它的種種推廣，如GARCH,EGARCH模型等。這些模型都是將原來分析時(shí)間序列的方法用來分析波動(dòng)率。

對(duì)于重大金融震蕩，是否可以研究一種至少能解釋其若干特征的嚴(yán)格的定量描述呢？突發(fā)事件是“小概率事件”。基于傳統(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程的預(yù)測(cè)理論完全不適應(yīng)。傳統(tǒng)理論或許能解釋市場(chǎng)在95%的時(shí)間里發(fā)生的情況。然而，如果人們承認(rèn)突發(fā)事件就包括在剩余的5%的話，那么這個(gè)理論所描述的圖景就沒有反映實(shí)際情況。突發(fā)事件在金融領(lǐng)域中具有不容忽視的影響，像1997年的東南亞金融危機(jī)，就給一些國家造成了巨大的損失?，F(xiàn)在有些研究人員認(rèn)為，描述海岸線形狀和宇宙星系模式的分形理論可以解釋股票價(jià)格如何瘋漲與暴跌。分形和多分形的理論是本世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。分形和多分形的目的并不是要準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)未來，但它們確實(shí)常常是市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的更切合實(shí)際的描述。金融系統(tǒng)由于其多因素性﹑非線性和不確定性而顯得尤為復(fù)雜。金融系統(tǒng)的復(fù)雜性以及對(duì)突發(fā)事件的研究是金融數(shù)學(xué)的重要課題。

現(xiàn)實(shí)的證券市場(chǎng)是不完全市場(chǎng)。這常常表現(xiàn)為市場(chǎng)中的證券和股票投資組合是受到限制的。例如，不準(zhǔn)賣空股票﹑不準(zhǔn)貸款炒股﹑限制交易數(shù)量等。達(dá)菲（D.Duffie）等人在不完全市場(chǎng)的一般均衡理論方面作出了重要工作。他們的工作從理論上證明了金融創(chuàng)新的合理性和對(duì)提高社會(huì)資本資源配置效率的重大意義。另外，在現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)中，參與的經(jīng)濟(jì)人掌握的信息是不對(duì)稱的（即信息不互通﹑掌握的信息不一樣）。在信息不對(duì)稱情況下，問題主要涉及到經(jīng)濟(jì)人之間的相互對(duì)策。由于不對(duì)稱信息刻劃的困難，參與的經(jīng)濟(jì)人的信息層次往往很多，問題的困難性可想而知的。數(shù)學(xué)處理就更為困難。3金融數(shù)學(xué)研究面臨的新挑戰(zhàn)

長期以來，人們用以描述金融經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)模型從本質(zhì)上來說只有兩類：一類是牛頓（Newton）的決定論模型，即給定初始條件或者狀態(tài)，則金融經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的行為完全確定，第二類是愛因斯坦（Einstein）的隨機(jī)游動(dòng)模型或者布朗（Brown）運(yùn)動(dòng)模型。簡(jiǎn)單地說，即確定性模型和隨機(jī)性模型。確定性狀態(tài)和隨機(jī)性狀態(tài)也被認(rèn)為是兩種對(duì)立的狀態(tài)。同時(shí)，所用模型的數(shù)學(xué)形式也基本上是線性的，或者存在非線性也是假設(shè)金融系統(tǒng)運(yùn)行在線性穩(wěn)定而加以一階線性化處理，這些似乎成了一種傳統(tǒng)和定式。尤其是近30多年來，金融界已分成兩派，一派是技術(shù)分析學(xué)者，相信市場(chǎng)遵從有規(guī)律的周期性循環(huán)；而另一派即定量分析學(xué)者則認(rèn)為市場(chǎng)不存在周期性循環(huán)。最近的研究利用物理學(xué)中開發(fā)出的方法來分析非線性系統(tǒng)，認(rèn)為真實(shí)情況介于兩者之間。這樣，金融數(shù)學(xué)至少面臨下列四個(gè)問題亟待解決。

首先，對(duì)金融經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變與動(dòng)的直覺三性（隨機(jī)性，模糊性，混沌性）進(jìn)行綜合分析研究，已確定從此到彼得過渡條件﹑轉(zhuǎn)換機(jī)理﹑演變過程﹑本質(zhì)特征﹑產(chǎn)生結(jié)果以及人們所采取的相應(yīng)的金融對(duì)策，尤其是貨幣政策。

其次，對(duì)以信用貨幣為核心的三量（貨幣需求量﹑貨幣共給量﹑金融資金流向流量）進(jìn)行綜合分析研究，對(duì)貨幣均衡和非均衡的合理界定提供正確的金融理論以及數(shù)學(xué)模型，為改善社會(huì)總量平衡關(guān)系將對(duì)財(cái)政﹑金融﹑物質(zhì)﹑外匯四大平衡提供依據(jù)。

再次，對(duì)支撐現(xiàn)代金融大廈的三大支柱即三率（利率﹑匯率﹑保率﹑擴(kuò)至經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域還包含稅率﹑物價(jià)綜合指數(shù)）進(jìn)行綜合分析研究，為制定合理的三（五）率體系提供符合實(shí)際的金融數(shù)學(xué)模型支撐。

最后，對(duì)分別以生產(chǎn)力要素選擇，地區(qū)或部門資源配置，綜合金融經(jīng)濟(jì)指標(biāo)為研究對(duì)象的三觀（微觀﹑中觀﹑宏觀）進(jìn)行綜合分析研究，以便將其成果更充分地更廣泛地更方便地應(yīng)用于金融經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。（上述問題簡(jiǎn)稱為“四個(gè)三工程”）隨著社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的建立和發(fā)展，通貨膨脹時(shí)有發(fā)生和加劇，還會(huì)有新的更復(fù)雜的金融問題需要我們?nèi)パ芯?，去探討，去解決。

參考文獻(xiàn)

［1］MertonR.C.,Continuous-TimeFinance.BlackwellPublisherInc.1996.

［2］KaratzasI,ShreveSE,MethodsofMathematicalFinance,NewYork:SpringerVerlag,1998.