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摘要：探索和追求精益求精的計算方法和技巧，講究明確的思想依據(jù)，著力于靈活和廣泛的應(yīng)用，是“算經(jīng)十書”的數(shù)學(xué)思想精粹。其發(fā)展主線是沿著探索、完善和提高“推步”前進的。它把擅長計算的推算和證明的推類結(jié)合起來，形成獨特的傳統(tǒng)風(fēng)格和手段。

關(guān)鍵詞：算經(jīng)十書，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想，新理解

Abstract:Exploringandstrivingfortheconstantlyimprovingmethodsandtechniquesofcalculation,stressingtheexplicitthinkingbasis,andconcentratingonitsflexibleandwideapplicationisthepithofthemathematicideasofSuanjingshishu,thethreadofwhichisadvancingalongtheexploration,improvementanddevelopmentoftuibu(thescienceofcalculatingtheastronomiccalendar).Itcombinescalculationwithanalogy,andthus,formsitsuniquetraditionalstyleandmethod.

KeyWords:SuanJingShiShu,TraditionalMathematicalThinking,newunderstanding

在世界科學(xué)史中，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是一顆燦爛的明珠。在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，“算經(jīng)十書”是典型的代表。所謂“算經(jīng)十書”，指的是中國十部古算書：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》（元豐年間已失傳，后來以《數(shù)術(shù)記遺》代之）、《緝古算經(jīng)》。唐代時期，國子監(jiān)內(nèi)設(shè)算學(xué)館，置有博士、助教，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，規(guī)定這十部書為課本。許多人為這十部算書作注釋，作增補刪改，歷代華夏子孫學(xué)習(xí)它，研究它，中國數(shù)學(xué)也因它而形成自身的傳統(tǒng)并將此傳統(tǒng)繼承和發(fā)揚?！八憬?jīng)十書”就其內(nèi)容來說，屬于初等數(shù)學(xué)；就其數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法來說，則是十分高深的。下面，我們闡述其數(shù)學(xué)思想。

1.探索和追求精益求精的計算方法和技巧

就數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，“算經(jīng)十書”以善于計算而見長，并且這一長足的發(fā)展還被推進到讓世界其他各國都望塵莫及的地步，這已是中外中算史家的共識?！八憬?jīng)十書”能如此輝煌耀目，是跟它著力探索和追求精益求精的計算方法和技巧分不開的。

“算經(jīng)十書”中最早的一種《周髀算經(jīng)》，其第一章敘述了西周開國時期（約公元前1100年）周公與商高的一段問答。從這段問答中，我們可以見到我國早期數(shù)學(xué)思想的一些初步端倪。當(dāng)周公問商高“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數(shù)安從出？”時，商高答道：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。”接著，商高還說：“故折矩以為句廣三，股脩四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤，得三、四、五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也。”這里，我們可以清新地見到，我們祖先在早期“定天下”、“治天下”時，已經(jīng)看到了數(shù)學(xué)的重要性（如大禹、周公）；而掌握到一些數(shù)學(xué)知識的人（如高商），是注意數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的。比如，我們從上述商高答問中，就可以看到，古人理解“數(shù)之所由生”，是將形與量結(jié)合起來考察的。圓和方都是形，而形是有數(shù)量關(guān)系的，從考察形可以探討到“數(shù)之法”，但這形中又包含著豐富的數(shù)量關(guān)系，特別是平方關(guān)系（九九八十一）。數(shù)之法是從圓形和方形開始的。圓是內(nèi)接正多邊形經(jīng)過無數(shù)次的倍邊之后所得到的正多邊形的極限（我國最早的極限思想，是不是來自于這種“圓出于方”的觀念，希望讀者引起注意）。矩是木匠用的曲尺，形如L，方中的直角，非矩不能作，所以說方出于矩。矩形的面積又不外于二數(shù)相乘，也就是說，要算出來。我國古代算法好憑口訣，而乘法口訣是從“九九八十一”起的，古人用“九九”作為乘法口訣的簡稱，故有“矩出于九九八十一”。這里所包含的用數(shù)的性質(zhì)來研究形的性質(zhì)的思想，與古希臘的數(shù)學(xué)思想旨趣相映。古希臘的畢達(dá)哥拉斯定理：a2+b2=c2。而當(dāng)a=b=1時，則

c=，這既不是自然數(shù)，也不是自然數(shù)之比，所以不能是可接受的正常的數(shù)，被稱為無理數(shù)，導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機，從此古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的方向產(chǎn)生了大改變，“幾何化”占了主導(dǎo)地位。[1]商高提出了著名的“句三股四弦五”這個勾股定理（也稱勾股弦定理、商高定理），是從“折矩”而來然后得“積矩”的，3，4，5及其平方的關(guān)系可以體現(xiàn)出勾股定理，但中國并沒有由此而產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機，也沒有發(fā)生發(fā)展方向的大改變，反而為“幾何代數(shù)化”[2]這個中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展主導(dǎo)方向奠定了很好的基礎(chǔ)。中國早期講究以算的方法去解決實際數(shù)學(xué)問題，是“數(shù)之所由生”的重要思想。

在古代，不管是西方國家或中國，數(shù)學(xué)的發(fā)展都跟勾股定理結(jié)下不解之緣，這不是偶然的歷史巧合，而是不同淵源和發(fā)展脈絡(luò)的科學(xué)認(rèn)識的一種必然交匯，其原因是由人們的實踐活動決定的。作為人類早期的數(shù)學(xué)研究活動，很自然地會碰到考察形的性質(zhì)及數(shù)量關(guān)系，直角三角形成為關(guān)注的對象是在情理之中。正如趙爽所說的，早期先人們（如大禹）能掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思維方式會導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)展的不同朝向，至少在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)是存在的。古希臘在數(shù)、形簡單和諧的觀念被打破之后發(fā)生大轉(zhuǎn)向，從重算發(fā)展到重證，發(fā)展到重視幾何證明，往后的趨勢就是有了這種發(fā)展趨勢和成果的集大成標(biāo)志——歐氏幾何的產(chǎn)生，它是西方國家初等數(shù)學(xué)體系確立的標(biāo)志，而中國此時并不發(fā)生方向的大改變，而是沿著算的道路繼續(xù)前進，往廣度和深度上延伸發(fā)展，導(dǎo)致的是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的形成——《九章算術(shù)》的出現(xiàn)。《九章算術(shù)》中有許多具有世界意義的成就，如負(fù)數(shù)計算、分?jǐn)?shù)計算、聯(lián)立一次方程解法等，正是沿著探索計算的方法和技巧前進的結(jié)果?？少F的是，我們的祖先在此數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)之下，并不以原有的結(jié)果為滿足，沒有停留在原有的水平上裹足不進，而是精益求精地深入下去。如《九章算術(shù)》246道題，有解題方法202“術(shù)”，在當(dāng)時有如此輝煌成績已難能可貴，但三國魏晉時期的劉徽，就在《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，仔細(xì)作注，不但為《九章》提供了系統(tǒng)的理論依據(jù)，而且大力向前推進，提出了許多創(chuàng)見，將探討和講究精益求精的計算方法和技巧這種數(shù)學(xué)思想，提到一個更高的水平，并對后世的發(fā)展帶來了深刻的實際影響，如他發(fā)現(xiàn)的割圓術(shù)，為后來祖沖之求得更精確的π值奠定了基礎(chǔ)，唐李淳風(fēng)注《九章算術(shù)》時說：“劉徽特以為疏，遂乃改張其率，但周徑相乘數(shù)難契合。祖沖之以其不精，就中更推其數(shù)?！眲⒒毡救烁嬲]人們他所得到的“徽率”太小，后人也正是沿著劉徽的思想方法再繼續(xù)前進，將π值愈推愈精確。在求積問題上，劉徽也有突破，他提出了推求球體積的著名的“牟合方蓋”理論，之后，祖暅在劉徽研究的基礎(chǔ)上，精益求精，得到了聞名于世的“祖暅定理”，并具體求出了“牟合方蓋”。這長江后浪推前浪，一浪更比一浪高的中國高超的算法技巧，正是在一條清晰的傳統(tǒng)思維途徑――探索和講求精益求精的計算方法和技巧中進行和取得成就的。如《張丘建算經(jīng)》自序中這樣寫道：“其夏侯陽之方倉，孫子之蕩杯，此等之術(shù)皆未得其妙。故更造新術(shù)推盡其理?！痹谔剿骶媲缶乃惴ǖ缆飞细弦粚訕?，就是《張丘建算經(jīng)》的數(shù)學(xué)指導(dǎo)思想，正是在此思想的指導(dǎo)之下，出現(xiàn)了舉世聞名的“百雞問題”。

2．講究明確的思想依據(jù)

數(shù)學(xué)思想研究的是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的思想方法和思想依據(jù)?！八憬?jīng)十書”不僅在數(shù)學(xué)知識上光彩耀目，在數(shù)學(xué)思想上也獨樹一幟，其顯著的特點是對于作為每項有意義的數(shù)學(xué)成果，都講究其明確的思想依據(jù)。

劉徽精細(xì)地注釋了《九章算術(shù)》，從而確立了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論體系。劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，對后世影響極深。如王孝通在《上緝古算經(jīng)表》中云：“徽思極毫芒，觸類增長?！闭f劉徽的思想方法是“一時獨步”。而劉徽對自己所接觸和研究的數(shù)學(xué)，是十分講究明確的思想依據(jù)的?！八憬?jīng)十書”中有二部與他密切相關(guān)?！毒耪滤阈g(shù)》由于有了劉徽注，從此中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有了自己的理論體系；他在注《九章算術(shù)》時補撰“重差”，其單行本即《海島算經(jīng)》。劉徽注《九章算術(shù)》時，十分講究數(shù)理之道要有明確的思想依據(jù)。在《九章算術(shù)》注原序中，劉徽說：“徽幼習(xí)《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術(shù)之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者，知發(fā)其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。”在“圓田術(shù)”注中，劉徽寫道：“不有明據(jù)，辯之斯難”，于是，他在創(chuàng)造“割圓術(shù)”的同時，還告訴人們此種創(chuàng)造是有依據(jù)的：“謹(jǐn)接圖驗，更造密率?？挚赵O(shè)法，數(shù)昧而難譬。故置諸檢括，謹(jǐn)詳其記注焉?！痹凇伴_立圓”（由球的體積以開立方的方法求其直徑）注中，劉徽創(chuàng)立了“牟合方蓋”理論，他不僅介紹了有關(guān)方法，而且還言明思想依據(jù)，“互相通補，……觀立方之內(nèi)，盒蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結(jié)，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正?！钡謸?dān)心依據(jù)不足，惟恐理法相違，專門作了交待，以待后人獲得更嚴(yán)密的依據(jù)：“欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者”。從中我們不僅見到先哲們對探討數(shù)理的思想依據(jù)的重視，也深深領(lǐng)悟到他們治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母呱酗L(fēng)范。在談到將割圓術(shù)作為解決有關(guān)極限問題的工具時，劉徽也闡述了其思想依據(jù)：“數(shù)而求窮之者，謂以情推，不用算籌”（“陽馬術(shù)”注）。意思是說，數(shù)學(xué)中凡解決有關(guān)無窮之類問題時，不必用算籌去計算，應(yīng)當(dāng)用數(shù)學(xué)思想去把握。再拿《海島算經(jīng)》來說，劉徽為什么要寫《海島算經(jīng)》呢？其思想依據(jù)是什么?在《九章算術(shù)》劉徽注原序中，劉徽清楚的說明“蒼等為術(shù)猶未足以博盡群數(shù)也”，于是“輒造重差，并為注解，以究古人之意，綴于句股之下”，“以闡世術(shù)之美”。而造“重差”此術(shù)的思路是：要測量不可到達(dá)目的物的高和遠(yuǎn)時，一次測望不夠，于是采用二次測望、三次測望、四次測望，即“度高者重表，測深者累矩”（“重表”或“累矩”就是用表或矩測望兩次）、“孤離者三望”、“離而又旁求者四望”。更為深刻的是，劉徽并不是勉強、被動地去考究數(shù)學(xué)知識之思想依據(jù)的，他認(rèn)為數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識之間本身具有非常緊密的聯(lián)系，他用庖丁解牛來闡述此層道理：“更有異術(shù)者，庖丁解牛，游刃理間，故能歷久其刃如新。夫數(shù)猶刃也，易簡用之則動中庖丁之理，故能和神愛刃，速而寡尤”（《九章算術(shù)》方程術(shù)注）。

自劉徽之后，“算經(jīng)十書”的著者都較注意闡述算理要有明確的思想依據(jù)，如四庫總目提要中稱：《張丘建算經(jīng)》之體例，皆設(shè)為問答，以參校而中明之，簡奧古質(zhì)，與近求不同，而條理精密，實能深究古人之意。正因為此書注意講究數(shù)學(xué)的思想依據(jù)，因而對掌握數(shù)學(xué)知識的來龍去脈很有益處，“故唐代頒之算學(xué)，以為專業(yè)”。就是在我國近年的中學(xué)數(shù)學(xué)課本中，還列有《張丘建算經(jīng)》的題目。

此外，“算經(jīng)十書”中關(guān)于數(shù)學(xué)證明的部分，也講究要有明確的思想依據(jù)。[3]

3.著力于靈活和廣泛的應(yīng)用

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)十分著力于靈活和廣泛的應(yīng)用。拿“算經(jīng)十書”最早的一部《周髀算經(jīng)》來說，東漢末至三國時代的吳國人趙爽曾對《周髀算經(jīng)》逐段進行詳細(xì)的注釋。在趙爽注釋中有這樣寫道：“禹治洪水，決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災(zāi)，釋昏墊之厄，使東注于海而無侵逆，乃句股之所由生也?！庇謸?jù)《史記•夏本紀(jì)》記載，大禹治水時，“陸行乘車，水行乘舟，泥行乘撬，山行乘攆，左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩。”趙爽的注釋和《史記》的記載（山東五梁祠畫像石中有幅大禹治水圖）都說明了我國早期注意從實踐中提煉數(shù)學(xué)知識并將掌握的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實踐中去?！吨荀滤憬?jīng)》中記載的“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠(yuǎn)。環(huán)矩以為圓，合矩以為方”都充分體現(xiàn)了將數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué)器具）著力于在實踐中應(yīng)用的思想。我國是一個農(nóng)業(yè)古國，田地面積的量法極需要數(shù)學(xué)為它提供手段，儲囤糧食、建筑城墻、開溝挖渠等都需要有計算體積的方法，如求方田、廣田、圭田……的面積，求城、……的體積，都十分需要有一定的數(shù)學(xué)工具為人們提供解決問題的手段。我國古代很早就推行按畝收稅、兩稅法的賦稅制度，兌換、分配的需要以及工商業(yè)的發(fā)展，促進和加強了將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實踐。再從中國封建統(tǒng)治者來看，他們也極需要精確地計算田畝面積，合理安排賦稅，來發(fā)展封建社會的經(jīng)濟，鞏固封建王朝的統(tǒng)治。特別是天文歷法，它對于歷代統(tǒng)治者來說，都是至關(guān)重要的，似乎它就是封建王朝統(tǒng)治者興衰的象征。封建統(tǒng)治者需要頒布?xì)v法，歷法的制定又離不開數(shù)學(xué)。因此，在古代中國，不管是“民間”或“官方”，都要求數(shù)學(xué)研究與實踐經(jīng)驗相結(jié)合。《周髀算經(jīng)》旨在闡明宇宙結(jié)構(gòu)學(xué)說“蓋天說”；《九章算術(shù)》九個章都與實踐緊密相關(guān)；《海島算經(jīng)》用以解決測量推算遠(yuǎn)處目的物的高、深、廣、遠(yuǎn)問題；《孫子算經(jīng)》所選的大部分都是解決實際情況的應(yīng)用題；《夏侯陽算經(jīng)》引用當(dāng)時流傳的乘除捷法，為的是要解決日常生活中的應(yīng)用問題；《張丘建算經(jīng)》上、中、下三卷，大部分都是涉及到解決測望、方圓冪積、商功、均輸、方田等現(xiàn)實的實際問題；《五曹算經(jīng)》分別敘述計算各種形狀的田畝面積、軍隊給養(yǎng)、粟米互換、租稅、倉儲容積、戶調(diào)的絲帛和物品交易，即所謂的田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹等五曹的應(yīng)用問題；《五經(jīng)算術(shù)》則是力圖將古代經(jīng)籍的注釋中有關(guān)數(shù)字計算的知識與歷法、樂律的研究結(jié)合起來，另有旨趣；《數(shù)術(shù)記遺》中載有運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的數(shù)學(xué)器械，如積算、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計數(shù)等。這些，非常雄辯、實在地體現(xiàn)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的鮮明特色。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)十分著力于靈活和廣泛的應(yīng)用的顯著特點是邊講究算法邊探討應(yīng)用，把精益求精的算法和靈活廣泛的應(yīng)用緊密結(jié)合起來，從而推動數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展。以王孝通的《緝古算經(jīng)》為例?！毒児潘憬?jīng)》（公元630年左右）是“算經(jīng)十書”中最晚問世的一部，也是最難的一部。書中涉及到的問題相當(dāng)復(fù)雜，20道題中除了第一題是關(guān)于歷法的之外，其余各題都是關(guān)于土木工程、倉庫容積以及勾股定理的應(yīng)用問題，王孝通解決它，多數(shù)用到三次方程?！毒児潘憬?jīng)》是世界上最早提出三次方程代數(shù)解法的書，具有世界意義。王孝通的工作，從一個方面體現(xiàn)了當(dāng)時我國數(shù)學(xué)研究已達(dá)到了相當(dāng)高深的水平。英國李約瑟說：“三次方程最早是在《緝古算經(jīng)》中發(fā)現(xiàn)的，這部書問世的年代肯定是在公元625年前后。像往常那樣，這些方程是從工程師、建筑師和測量人員的實際需要產(chǎn)生的”[4]著名的日本數(shù)學(xué)史家三上義夫也說過：“唐王孝通之《緝古算經(jīng)》，使用三次方程式以解各種問題?！袊闪⑷畏匠淌剑嗽诎⒗?；而由術(shù)文推得之方程式解法，亦與發(fā)達(dá)于阿拉伯者全不同也。”[5]王孝通研究三次方程所得到得成果，比阿拉伯人（10世紀(jì)之后）和意大利的斐波那契（13世紀(jì)）都早得多?！毒児潘憬?jīng)》中最重要的部分是關(guān)于堤壩求積問題的，我們可以把王孝通的方法稱為“堤積術(shù)”，“堤積術(shù)”是王孝通一生最得意的創(chuàng)作，此書送呈朝廷時，王孝通請求召集能算之人，考究其得失。“如有排其一字，臣欲謝以千金。”隋、唐時期，運河的開鑿，橋梁的興修，大規(guī)模的城市宮殿、寺院的建造，以及天文歷法的改進，都出現(xiàn)了大量比較復(fù)雜的計算問題，時代的需要對于數(shù)學(xué)知識和計算技能提出了比過去更高的要求。而王孝通能創(chuàng)立解決這些問題的“堤積術(shù)”，正是他把探討應(yīng)用和講求算法結(jié)合起來的結(jié)果。他潛心苦鉆，結(jié)合當(dāng)時土木工程中出現(xiàn)的大量實際問題，盡力探索有效的解決辦法，他說：“伏尋《九章•商功篇》，有平地役功受袤之術(shù)。至于上寬下狹、前高后卑，正經(jīng)之內(nèi)闕而不論。致使今代之人不達(dá)深理，就平正之間同邪之用。斯乃圓孔方柄，如何可安？”解決土方計算等問題，《九章》商功章中早有述及，但他認(rèn)為“舊經(jīng)殘駁，尚有缺漏”，商功章中雖有“平地役功受袤”之術(shù)，但對于上寬下狹、前高后低等各種情況，還應(yīng)當(dāng)探求新的方法給予正確解決，這才導(dǎo)致“堤積術(shù)”的誕生。王孝通是通過對當(dāng)時土木工程中的數(shù)學(xué)進行了一番的研究和總結(jié)，才寫出《緝古算經(jīng)》。

4．對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的新理解

一般說來，傳統(tǒng)是指世代相傳、具有特點的社會因素，如思想、道德、作風(fēng)、藝術(shù)、風(fēng)俗、制度等。而人們習(xí)慣于把古代的、民族的東西歸為是傳統(tǒng)的，或把傳統(tǒng)看作是本民族古代產(chǎn)生和存在的東西。實際上，我們應(yīng)當(dāng)用發(fā)展的、辯證的眼光看待傳統(tǒng)。某種東西既稱為傳統(tǒng)的，或稱為具有傳統(tǒng)性意義的東西，那么它就有延續(xù)之意。傳統(tǒng)本身就是在一定的時間、空間中產(chǎn)生，由時間、空間積淀的，并且這空間是開放的，時間是延續(xù)下來的。對于之后的來說，之前的往往由于它們某些共同的屬性整合在一起就構(gòu)成傳統(tǒng)，或使原有的傳統(tǒng)采用舊方式或新方式再延伸開來。當(dāng)然，也會有傳統(tǒng)中斷或傳統(tǒng)消失。同時還應(yīng)當(dāng)看到，傳統(tǒng)本身就是惰性，唯有弘揚和發(fā)展得起來的才具有活力。因而，能與時俱進的傳統(tǒng)，堪稱絕佳之傳統(tǒng)。

綜上所述，可以說，“算經(jīng)十書”已構(gòu)成了具有中華民族自身特色的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想，并且由于這傳統(tǒng)的延續(xù)使得其思想精粹愈加燦爛。中國古代數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)思想，自春秋戰(zhàn)國到西漢中期確立了體系之后，一直到唐朝，基本上使沿著《九章算術(shù)》這條主線傳統(tǒng)式地發(fā)展的，在這期間，由于生產(chǎn)水平的提高和科學(xué)技術(shù)的進步，數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)思想也不斷得到提高，《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)體系得到充實、豐富和發(fā)展，也出現(xiàn)了不少超出《九章算術(shù)》范圍的研究成果。到了宋元時代，我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)達(dá)到鼎盛時期，走在世界數(shù)學(xué)的前列。從《九章算術(shù)》多元一次聯(lián)立方程組的解法，到天元術(shù)，再到朱世杰《四元玉鑒》四元高次方程組的解法；內(nèi)插法從漢代的一次內(nèi)插法，推進到等間距二次內(nèi)插法、不等間距二次內(nèi)插法、三次內(nèi)插法；從《九章算術(shù)》的“王家共井”（不定方程）、《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”（中國剩余定理），到秦九韶的“大衍求一術(shù)”（一次同余組）；后來，在高階等差級數(shù)求和上，從“隙積術(shù)”，到“招差術(shù)”，再到“垛積術(shù)”，特別是“尖錐術(shù)”，都具有世界意義，這意味著“中國數(shù)學(xué)也將會通過自己特殊的途徑，運用獨特的思想方式達(dá)到微積分，從而完成從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。實際上，在西方，牛頓和萊布尼茨也是通過各自不同的途徑，幾乎同時達(dá)到微積分的思想的?！盵6]這些，都是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)思想和方法的延伸和發(fā)展，都是“算經(jīng)十書”數(shù)學(xué)思想精粹的發(fā)揚光大。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想是在漫長的歲月中，吸收了從古代到近代各個不同時期的社會發(fā)展和社會變革形成的文化因素和思想因素，新舊相互作用，內(nèi)外（外來的）相互碰撞，延綿伸展開來的。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想具有顯著的民族性特征。我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是沿著注重從實踐經(jīng)驗中產(chǎn)生和發(fā)展數(shù)學(xué)的思維方式發(fā)展數(shù)學(xué)的，擅長于算，運算主要以算籌作為工具。這與西方許多國家發(fā)展數(shù)學(xué)的道路是不同的。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想有著自己的淵源和模式，有其之長，也有其之短。在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域之內(nèi)，正是這種傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想把我國數(shù)學(xué)推向世界的最高峰，許多國家與我國相比，望塵莫及。但是，這種狀態(tài)是很有限的。1303年，朱世杰出了著名的《四元玉鑒》之后，我國數(shù)學(xué)出現(xiàn)了停滯?！爸袊鴶?shù)學(xué)經(jīng)過許多世紀(jì)的高漲之后，從14世紀(jì)中葉開始了停滯的時期?！盵7]“朱世杰（1303）之后，我國數(shù)學(xué)突然出現(xiàn)中斷的現(xiàn)象?！盵8]“在1400年間到1500年間，幾乎沒有一部值得注意的著作?！盵9]“自明初至清初，約當(dāng)公歷1367年迄1750年，前后凡四百年，……是稱中算沉寂時期?！盵10]“以致金元之際的數(shù)學(xué)名著大都失傳，四百年中竟無人能了解增乘開方法和開元術(shù)。”[11]這樣的事實不得不使今天的人們進行深刻的反思。國人悟出的其中的一個道理是：繼承和發(fā)展中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想，“純粹的”民族傳統(tǒng)是不行的，要面向世界，面向現(xiàn)代化。

面對現(xiàn)代化，弘揚我國傳統(tǒng)科學(xué)思想，推進科學(xué)向前發(fā)展，這是擺在我國科學(xué)工作者和哲學(xué)社會科學(xué)工作者面前光榮而艱巨的任務(wù)?！懊鎸π率兰o(jì)新發(fā)展，我國科技界的使命是：全面貫徹‘三個代表’要求，堅持實施科教興國戰(zhàn)略，大力推進科技創(chuàng)新，努力為我國先進生產(chǎn)力和先進文化的發(fā)展，為維護和實現(xiàn)我國最廣大人民的根本利益不斷貢獻智慧和力量。”[12]“要大力加強對各門傳統(tǒng)學(xué)科的研究，大力加強各門新興學(xué)科和交叉學(xué)科的研究，大力加強各門學(xué)科的理論和體系的建設(shè)，大力加強各門學(xué)科的方法和手段的建設(shè)”[13]。如何正確認(rèn)識和處理好中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想及其現(xiàn)代化，并且在實踐中真正弘揚中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)思想，積極面對和解決當(dāng)代現(xiàn)實問題，我國科學(xué)工作者實際上已經(jīng)走出了一條很好的路子，這就是將中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想精粹同高新科技結(jié)合起來，在實踐中摸索出能在我們底子比較雄厚、根基較為扎實、擅長發(fā)揮優(yōu)勢的生長點上進行創(chuàng)新。例如，我國“戰(zhàn)略數(shù)學(xué)家”吳文俊教授，在弘揚中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)思想上，做出十分杰出的貢獻。他深入地鉆研和了解了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想，并且在此基礎(chǔ)上有著出色的創(chuàng)新。前已論及，在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，有個顯著的特點就是擅長于計算。而計算有它明確的要求，必須把研究對象數(shù)量化，同時要建立運算法則。中國傳統(tǒng)科學(xué)憑借其顯著特點，不但在宋元時期把算術(shù)和代數(shù)推向當(dāng)時世界的最高峰，而且以一種獨特的方式在某種程度上起著數(shù)學(xué)證明的作用，發(fā)揮“算”“證”交互作用推動數(shù)學(xué)發(fā)展的效能。這種傳統(tǒng)特征蘊涵著十分深邃的思想精髓。我們知道，在數(shù)學(xué)研究中，存在著計算和證明這兩種不同的手段和風(fēng)格。一般說來，“算”是把研究對象數(shù)量化，遵循一定的規(guī)則，按照一定的程序，經(jīng)過操作，比較機械地得出某種數(shù)學(xué)結(jié)果；而“證”則是要以某些命題作為前提，根據(jù)定義和已有的定理，遵循邏輯推理的規(guī)則，經(jīng)過操作，實現(xiàn)概念與關(guān)系之間的轉(zhuǎn)換而得出某種數(shù)學(xué)結(jié)果。證和算是相輔相成、互相聯(lián)系、彼此補充的，它們在一定條件下也可以轉(zhuǎn)化。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)擅長計算的特點之所以不但能發(fā)揮數(shù)學(xué)運算的效能，而且在某種程度上還可以起到數(shù)學(xué)證明的效能，關(guān)鍵就在于它有比較固定的規(guī)則和確定而有條理的程序。中國古算書中豐富多彩的術(shù)文，給出了許多解決數(shù)學(xué)問題的十分清楚的規(guī)則和確定而有條理的程序，雖然不是以公式的形式出現(xiàn)，但對解決問題具有普遍的方法論意義。并且，有的方法按照一定的新規(guī)則和新程序繼續(xù)操作下去，還可推廣開來（如把“增乘開方法”推廣到開任意高次方，可以得出高次方程的數(shù)值解法）。它給人們進行數(shù)學(xué)研究提供了一種很有價值的思路，即：在數(shù)學(xué)操作過程中，都有一個確定的、必須選擇的下一步，這樣就可以延著一條有規(guī)律的、邏輯的道路進行下去。實質(zhì)上，著就是數(shù)學(xué)問題的機械化，

我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)擅長計算的特點，恰恰是數(shù)學(xué)問題的機械化的內(nèi)在機制：確定而有條理的程序保障了數(shù)學(xué)操作的下一步是“確定的”，固定的運算法則保障了數(shù)學(xué)操作的下一步是“必須選擇的”。我國數(shù)學(xué)家吳文俊說“中國的古代數(shù)學(xué)基本上是一種機械化的數(shù)學(xué)。”[14]這條思路所開辟的前景是十分廣闊的。固定的運算法則和明確的操作程序化，十分方便在計算機上施行。把線性方程的求解過程規(guī)范化、程序化后，讓電子計算機來實現(xiàn)這機械化了的數(shù)學(xué)問題，在幾分鐘內(nèi)就可以求出一個未知數(shù)多至上百個線性方程組的答案來，這對現(xiàn)代化建設(shè)意義十分重大。這種內(nèi)在機制給人帶來一個十分有趣的念頭：能否用機械化方法進行數(shù)學(xué)證明？也就是說，能否用計算機的“算”來“證”呢？數(shù)理邏輯誕生之后，可以把概念形式化和量化，使之納入邏輯關(guān)系的演算。美國王浩先生用計算機證明了《數(shù)學(xué)原理中的幾百條定理，哈肯等人也用計算機證明了四色定理。但是要真正能夠體現(xiàn)機械化定理證明，進而實現(xiàn)機器證明，任務(wù)還很艱巨。數(shù)學(xué)證明靈巧性大，難度也很大。把這方面的困難用另一種方式來換取它，即用繁雜的量的運算來取代，利用計算機去完成繁雜的量的運算，這是定理證明機械化的基本思路。換句話說，其基本途徑是從公理化出發(fā)，通過代數(shù)化，達(dá)到機械化。比如，初等幾何主要一類定理證明的機械化，可以分為這樣兩步：第一步是引進坐標(biāo)，然后把需證定理中的假設(shè)與終結(jié)部分都用坐標(biāo)間的代數(shù)關(guān)系（多項式關(guān)系）來表示。第二步是通過代表假設(shè)的多項式中的坐標(biāo)逐個消去。如果消去之后結(jié)果能為零，這表明定理正確。即用多項式的消元法這種驗證的方式來證明定理。兩步都可以機械化地進行。我國數(shù)學(xué)家吳文俊等人采用這條途徑，首先證明了初等幾何主要一類定理的證明可以機械化，后來又證明了初等微分幾何中主要的一類定理證明也可以機械化?？梢姡袊鴤鹘y(tǒng)科學(xué)思想在現(xiàn)代科學(xué)中仍具有很強的生命力，它為現(xiàn)代科學(xué)研究提供了一些重要的思路。吳文俊教授深有感嘆地說：“我們是在中國古代數(shù)學(xué)的啟發(fā)下提出問題并想出解決問題辦法來的?！盵15]當(dāng)然，這里不能簡單地“復(fù)古”回歸，而是要把思想加以發(fā)展，比如，吳文俊教授采用的是中國產(chǎn)的長城203臺式計算機，而不是古代的算籌。第24屆國際數(shù)學(xué)家大會于2002年8月20日起在北京舉行，吳文俊院士作為本屆大會主席在接受新華社記者專訪時表示，中國不僅要振興數(shù)學(xué)，更要復(fù)興數(shù)學(xué)，重視古代數(shù)學(xué)的輝煌。他說：“我一直推崇中國的古代數(shù)學(xué)?！盵16]傳統(tǒng)具有惰性、延伸性和精粹隱藏性，發(fā)掘和弘揚優(yōu)良傳統(tǒng)可重現(xiàn)古代數(shù)學(xué)的輝煌，具有現(xiàn)實意義?？茖W(xué)思想是科學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的思想依據(jù)和思想方法，也包括科學(xué)成果所蘊涵的思想精髓。面對現(xiàn)代化，挖掘和弘揚中國傳統(tǒng)科學(xué)成果所蘊涵的思想精髓，任重道遠(yuǎn)。

參考文獻

[1]莫紹揆.數(shù)學(xué)三次危機與數(shù)學(xué)邏輯[J].自然雜志，1980.6.

[2]郭金彬、李贊和.中國數(shù)學(xué)源流[M].福州：福建教育出版社，1990.180.

[3]郭金彬.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)證明的方式[J].福建師范大學(xué)學(xué)報，1993.1.

[4][9]李約瑟.中國科學(xué)技術(shù)史第三卷數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，1978.79,111.

[5]三上義夫.中國算學(xué)之特色[M].北京：商務(wù)印書館，1929.34.

[6]杜石然等.中國科學(xué)技術(shù)史稿下冊[M].北京：科學(xué)出版社，1983.253-254.

[7]尤什凱維奇.中國學(xué)者在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的成就[J].數(shù)學(xué)進展，1956年2卷2期.277.

[8]梁宗巨.世界數(shù)學(xué)史簡編[M].沈陽：遼寧人民出版社，1980.455.

[10]李儼.中國算學(xué)史[M].北京：商務(wù)印書館，1957.142.

[11]錢寶琮.中國數(shù)學(xué)史[M].北京：科學(xué)出版社，1964.276.

[12].全面貫徹“三個代表”要求，大力推進科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新——在中國科學(xué)院第十一次院士大會和中國工程院第六次院士大會上的講話[R].新華社電，2002.5.28.

[13]孫承斌.在考察中國社會科學(xué)院時發(fā)表重要講話強調(diào)，大力加強我國哲學(xué)社會科學(xué)建設(shè)，為有中國特色社會主義事業(yè)服務(wù)[N].光明日報，2002.7.17.

[14][15]吳文俊.機械化證明[J].百科知識，1980.3.

[16]吳文俊.中國數(shù)學(xué)期待復(fù)興[N].光明日報，2002.8.21.