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[論文關(guān)鍵詞]古代數(shù)學(xué);農(nóng)業(yè)生產(chǎn);應(yīng)用

[論文內(nèi)容提要]我國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)于世界文化有過偉大的貢獻(xiàn),代數(shù)學(xué)無(wú)可爭(zhēng)辯地是中國(guó)所創(chuàng),我國(guó)古代數(shù)學(xué)是講道理的,是來(lái)源于實(shí)踐,尤其是來(lái)源于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的｡從豐富的生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問題,創(chuàng)造了有我國(guó)特色的幾何學(xué)｡有足夠多的例證,說明我國(guó)古代數(shù)學(xué)立論嚴(yán)謹(jǐn),為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的實(shí)踐需要而服務(wù)｡

我們的祖國(guó)是一個(gè)地大物博､人口眾多､歷史悠久的文明古國(guó)｡我國(guó)古代文學(xué)藝術(shù)成就巨大,科學(xué)技術(shù)方面的指南針､造紙､印刷術(shù)､火藥這四大發(fā)明,舉世聞名｡可是,對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就,了解的人卻不多,甚至還有人誤以為我國(guó)歷來(lái)在數(shù)學(xué)上是落后的｡

其實(shí),我國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)于世界文化有過偉大的貢獻(xiàn)｡我國(guó)古代數(shù)學(xué)是講道理的,有足夠多的例證,說明它們立論嚴(yán)謹(jǐn),走在世界的前列,我國(guó)古代數(shù)學(xué)在一些重要項(xiàng)目中獲得了“世界冠軍”｡而古代數(shù)學(xué)是來(lái)源于實(shí)踐,尤其是來(lái)源于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的｡這是由于中國(guó)農(nóng)業(yè)有著悠久的歷史,農(nóng)業(yè)起源于沒有文字記載的遠(yuǎn)古時(shí)代,它發(fā)生于原始采集和狩獵的經(jīng)濟(jì)母體之中,又由于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)受社會(huì)經(jīng)濟(jì)和自然環(huán)境等多種因素的影響,受“地”的影響,古人把“地”看成是“萬(wàn)物之本原,諸生之根菀”｡它是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的基本生產(chǎn)資料,有了“地”,就要有測(cè)量,就要有計(jì)算,當(dāng)然就有了數(shù)學(xué)｡

數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),我國(guó)古代數(shù)學(xué)恰恰是在數(shù)､形､數(shù)形結(jié)合這三方面有其特色和自成系統(tǒng)｡

首先,我國(guó)最遲從春秋戰(zhàn)國(guó)開始就普遍用算籌記數(shù),而且采用了十進(jìn)位制,有了良好的記數(shù)工具,就可以比較輕便地進(jìn)行自然數(shù)運(yùn)算;除不盡的除法還出現(xiàn)分?jǐn)?shù)記法及其運(yùn)算,用兩種不同顏色的算籌區(qū)別正數(shù)和負(fù)數(shù)就可以通行無(wú)阻地進(jìn)行有理數(shù)四則運(yùn)算,能夠解決各種比例問題的“今有術(shù)”也是在這種算籌制上進(jìn)行的;從兩漢歷經(jīng)隋唐宋元,正確､快捷列出方程､方程組､不定方程和不定方程組也都是在這種算籌制上進(jìn)行的｡

另一方面,從漢末三國(guó)時(shí)代開始的出入相補(bǔ)､損廣益陜?cè)碓谔幚砜臻g形式問題上起到主導(dǎo)作用,平面圖形的割補(bǔ)和立體圖形的棋驗(yàn)都體現(xiàn)了這一原理｡用長(zhǎng)方形余形相等出入相補(bǔ)法則來(lái)詮釋劉微重差九術(shù)就來(lái)得自然,用此來(lái)補(bǔ)證秦九韶三斜求積公式,“秦氏承襲希臘海倫”之說也將不攻自破,著名的劉微割圓術(shù)是出入相補(bǔ)的應(yīng)用,祖用牟合方蓋這一專用模型來(lái)推導(dǎo)球的體積公式,在方法上､理論上和所得結(jié)果至今無(wú)可指責(zé),究其原理還是出入相補(bǔ)之理｡

數(shù)形結(jié)合､相輔相成｡開平方､開立方無(wú)疑是劉微“解體用圖”的具體應(yīng)用,猶如層層剝繭､井然有序｡沈括､楊輝堆垛求和,又與相應(yīng)立體體積公式類比,從而導(dǎo)出正確結(jié)果｡反過來(lái),幾何問題又依賴于數(shù)量關(guān)系｡例如趙爽“勾股圓方圖注”憑借計(jì)算,以證明勾股弦關(guān)系,海島重差借助長(zhǎng)方形余形,其理始顯｡圓,作為內(nèi)接正多邊形倍增邊數(shù)的極限也是通過計(jì)算,得以闡明的｡

一､勾股定理在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用舉例

中國(guó)古代數(shù)學(xué)家研究勾股定理的證明和應(yīng)用,是自成體系的,其證明方法,大都采用青朱出入法,也就是今人說的割補(bǔ)法｡通過適當(dāng)?shù)膭澐?將勾上的正方形面積與股上的正方形面積,劃分成若干個(gè)部分,而這些部分的總和又恰好能填滿弦上的正方形｡所謂青朱出入就是把劃分出來(lái)的圖形,添上青､朱､黃等各種顏色,以次出入(割補(bǔ)時(shí)容易識(shí)別),方法巧妙簡(jiǎn)單,令人嘆服｡

據(jù)歷史資料記載,夏禹(公元前2140年——公元前2095年)治水時(shí)就已用到了勾股術(shù)(即勾股的計(jì)算方法),因此我們可以說,夏禹是世界上有歷史記載的第一個(gè)與勾股定理有關(guān)的人｡

《周髀算經(jīng)》是我國(guó)最古老的算書,成書太約在公元前100年｡在該書中說到“禹之所以治天下者,此數(shù)之所由生也”｡這說明在大禹時(shí),就能應(yīng)用特殊情況下的勾股定理和測(cè)量了｡趙爽在《周髀算經(jīng)》注中說:“禹治洪水,決統(tǒng)江河,望山川方形,定高下之勢(shì),除滔天之災(zāi),釋昏墊(老百姓)之厄(危難),使與注于海于無(wú)浸逆(溺),乃勾股之所由生也｡”這說明當(dāng)時(shí)大禹治洪水之所以成功,是由于使用勾股測(cè)量而取得的｡

《九章算術(shù)》也是我國(guó)最古老的一部數(shù)學(xué)名著,是我國(guó)數(shù)學(xué)方面流傳至今最早也是最重要的一部經(jīng)典著作,也是世界數(shù)學(xué)史上極為珍貴的古典文獻(xiàn),成書大約在公元前后100年｡該書總結(jié)了秦漢以前我國(guó)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的輝煌成就,開創(chuàng)了獨(dú)具一格的理論體系,對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著十分深遠(yuǎn)的影響,有不少來(lái)源于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的例子｡

例1:今有池方一丈,葭生其(池)中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深､葭長(zhǎng)各幾何?(選自《九章算術(shù)》)

今譯:有一正方形池塘,它的邊長(zhǎng)為1丈,一棵蘆葦生長(zhǎng)在這池塘的正中央,長(zhǎng)出水面1尺,如果將蘆葦拉向池塘邊,莖尖剛巧碰到池岸邊,問池塘水深及蘆葦長(zhǎng)各是多少?

這就是一個(gè)勾股定理的題目,使用勾股定理經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算,知水深一丈二尺,葭長(zhǎng)一丈三尺｡

二､盈虧問題在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用舉例

歷史上任何重要的數(shù)學(xué)思想與方法都不可能是“無(wú)源之水,無(wú)本之術(shù)”,而總有其產(chǎn)生的實(shí)際背景和理論淵源的｡那么盈不足術(shù)是在怎樣的數(shù)學(xué)歷史背景下產(chǎn)生,又是在何種數(shù)學(xué)思想與理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的?這個(gè)問題的探討對(duì)于了解秦漢以前古算中農(nóng)業(yè)生產(chǎn)應(yīng)用問題解法的演進(jìn)以及方程術(shù)的產(chǎn)生都是很有價(jià)值的｡

眾所周知,《九章算術(shù)》是我國(guó)秦漢以前數(shù)學(xué)成就的總結(jié),它是一部經(jīng)歷了長(zhǎng)期的歷史發(fā)展而逐步完善起來(lái)的數(shù)學(xué)著作,全書分為九章,第一章“方田”就是講述遠(yuǎn)古時(shí)代簡(jiǎn)單的土地測(cè)量及分?jǐn)?shù)算法｡第七章“盈不足”講什么呢?隨著農(nóng)業(yè)實(shí)踐的發(fā)展和理論研究的深入,數(shù)學(xué)應(yīng)用問題所涉及的數(shù)量關(guān)系已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了比例關(guān)系的陜隘范圍｡形式多樣而復(fù)雜的線性問題和非線性問題的出現(xiàn),使原始的比率算法已無(wú)能為力了｡一方面,應(yīng)用比率算法解題需要“因物成率,審辯各分,平其偏頗,齊其參差”,這對(duì)于復(fù)雜的比例問題要求很高的分析能力和技巧性;另一方面,對(duì)于“隱雜互見”的各種線性與非線性問題,使用比率算法根本不能解決問題｡這便要求數(shù)學(xué)家創(chuàng)造一種新的有力的一般解題方法,盈不足術(shù)就是在這樣的數(shù)學(xué)歷史條件下應(yīng)運(yùn)而生的｡

例2:今有共買牛,七家共出一百九十,不足三百三十,九家共出二百七十,盈三十｡問家數(shù)牛價(jià)各幾何(選自《九章算術(shù)》)

今譯:有若干戶人家共同買牛｡如果7家共出錢190則不夠330,如果9家共出錢270,則多錢330｡問家數(shù)及牛價(jià)各是多少?

將盈不足術(shù)翻譯成如今方程組求解就是:

設(shè)x為家數(shù),y為牛價(jià),由題意得:

x/9×270-y=30

y-x/7×190=330

解得家數(shù)為126,牛價(jià)3750錢｡

據(jù)《唐闕史》記載:公元855年左右,唐代有位大官叫楊損,在選用和提拔行政官吏方面以公正聞名｡一次,有兩個(gè)辦事員,需要提升其中一個(gè),麻煩的是這兩個(gè)人的職位相同,在政府里工作的時(shí)間也同樣長(zhǎng),甚至他們得到的評(píng)語(yǔ)也完全相同｡那么,究竟提拔誰(shuí)好呢?負(fù)責(zé)這項(xiàng)工作的官吏對(duì)這件事感到很傷腦筋,便去請(qǐng)示楊損｡楊損仔細(xì)考慮了一番,說:“一個(gè)辦事員的最大優(yōu)點(diǎn)之一是要算得快,現(xiàn)在就讓這兩個(gè)候補(bǔ)人員都來(lái)聽我出題,哪一個(gè)先得出正確答案,他就該得到提升”｡他的題是:“有人在林中散步,無(wú)意間聽到幾個(gè)盜賊在商量怎樣分偷來(lái)的布匹｡他們說,若每人分6匹,就會(huì)剩5匹,若每人分7匹,就會(huì)差8匹｡試問,這里共有幾個(gè)盜賊?布匹總數(shù)又是多少?”楊損讓兩個(gè)候補(bǔ)人員當(dāng)場(chǎng)在大廳的石階上用籌進(jìn)行計(jì)算｡不一會(huì),其中一個(gè)得出了正確答案,他被提升了,大家對(duì)這個(gè)決定也都表示心服｡三､體積計(jì)算在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用舉例

我國(guó)在古代,由于水利工程､國(guó)防工事､房屋營(yíng)造和道路修建的需要,土方計(jì)算十分頻繁｡隨著農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展,各種谷倉(cāng)､糧庫(kù)容積的計(jì)算也益加繁重､到《九章算術(shù)》成書時(shí)代,我國(guó)的各種幾何體體積公式都已具備,除了常見的長(zhǎng)方體､棱柱､棱錐､棱臺(tái)､圓柱､圓錐､圓臺(tái)以外,還出現(xiàn)了某些擬柱體體積公式｡這些公式大量匯集在《九章算術(shù)》商功章里｡

古代世界各國(guó)體積公式都沒有推導(dǎo)證明,所以在幾何體求積方面我國(guó)成果遙遙領(lǐng)先,不論在種類齊全完備上,在邏輯推理的完整上都是同時(shí)期外國(guó)所不能比擬的｡還必須指出二千年前我們祖先曾經(jīng)使用過的許多豐富多彩的各種體積公式至今仍有使用價(jià)值｡

以下給出《九章算術(shù)》的精彩例子,以饗讀者｡

例3:今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,問積及粟幾何?

今譯:有粟若干,堆積在平地上成圓錐形,它的底圓周長(zhǎng)是12丈,高2丈,問它的體積及粟各是多少?

答曰:積八千尺,為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六｡

例4:今有委菽依垣,下周三丈,高七尺,問積及為菽各幾何?

今譯:有菽若干,靠墻堆積,它的底圓半周長(zhǎng)3丈,高7尺,問它的體積及菽各是多少?

答曰:積三百五十尺,為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八｡

例5:今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺,問積及為米幾何?

今譯:有米若干,堆積在墻的內(nèi)角,它的底圓周長(zhǎng)的四分之一是8尺,高是5尺,問它的體積及米各是多少?

答曰:積三十五尺九分尺之五,為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一｡

關(guān)于這種計(jì)算堆積的方法,在我國(guó)民間沿用很廣,并將這些公式編成歌訣流傳下來(lái)｡其歌訣是:

光堆法用三十六,

倚壁須分十八停,

內(nèi)角聚時(shí)如九一,

外角三九甚分明｡

這些流傳的歌訣,可能就是后人根據(jù)《九章算術(shù)》的這個(gè)“委粟術(shù)”編寫而成的｡很明顯,歌訣前三句的意思,就無(wú)異于“委粟術(shù)”的術(shù)文｡至于歌訣的第四句,就是依墻外角堆米,參照術(shù)文可表達(dá)為:“依垣外角者(居圓錐之四分之三也)二十七而一”｡不過,《九章算術(shù)》中沒有這樣的例子｡

總而言之,我國(guó)古代數(shù)學(xué)思想在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用極廣,本文所述僅是冰山一角,該文的作用充其量是拋磚引玉罷了｡

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