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教學(xué)目標(biāo)
(1)掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,如虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的實部與虛部、兩復(fù)數(shù)相等、復(fù)平面、實軸、虛軸、共軛復(fù)數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。
(2)正確對復(fù)數(shù)進行分類,掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系;
(3)理解復(fù)數(shù)的幾何意義,初步掌握復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系。
(4)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,訓(xùn)練學(xué)生條理的邏輯思維能力.
教學(xué)建議
(一)教材分析
1、知識結(jié)構(gòu)
本節(jié)首先介紹了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,然后指出復(fù)數(shù)相等的充要條件,接著介紹了有關(guān)復(fù)數(shù)的幾何表示,最后指出了有關(guān)共軛復(fù)數(shù)的概念.
2、重點、難點分析
(1)正確復(fù)數(shù)的實部與虛部
對于復(fù)數(shù),實部是,虛部是.注意在說復(fù)數(shù)時,一定有,否則,不能說實部是,虛部是,復(fù)數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)。
說明:對于復(fù)數(shù)的定義,特別要抓住這一標(biāo)準(zhǔn)形式以及是實數(shù)這一概念,這對于解有關(guān)復(fù)數(shù)的問題將有很大的幫助。
(2)正確地對復(fù)數(shù)進行分類,弄清數(shù)集之間的關(guān)系
分類要求不重復(fù)、不遺漏,同一級分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一。根據(jù)上述原則,復(fù)數(shù)集的分類如下:
注意分清復(fù)數(shù)分類中的界限:
①設(shè),則為實數(shù)
②為虛數(shù)
③且。
④為純虛數(shù)且
(3)不能亂用復(fù)數(shù)相等的條件解題.用復(fù)數(shù)相等的條件要注意:
①化為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式
②實部、虛部中的字母為實數(shù),即
(4)在講復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有點所成的集合一一對應(yīng)時,要注意:
①任何一個復(fù)數(shù)都可以由一個有序?qū)崝?shù)對()唯一確定.這就是說,復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對.一些書上就是把實數(shù)對()叫做復(fù)數(shù)的.
②復(fù)數(shù)用復(fù)平面內(nèi)的點Z()表示.復(fù)平面內(nèi)的點Z的坐標(biāo)是(),而不是(),也就是說,復(fù)平面內(nèi)的縱坐標(biāo)軸上的單位長度是1,而不是.由于=0+1·,所以用復(fù)平面內(nèi)的點(0,1)表示時,這點與原點的距離是1,等于縱軸上的單位長度.這就是說,當(dāng)我們把縱軸上的點(0,1)標(biāo)上虛數(shù)時,不能以為這一點到原點的距離就是虛數(shù)單位,或者就是縱軸的單位長度.
③當(dāng)時,對任何,是純虛數(shù),所以縱軸上的點()()都是表示純虛數(shù).但當(dāng)時,是實數(shù).所以,縱軸去掉原點后稱為虛軸.
由此可見,復(fù)平面(也叫高斯平面)與一般的坐標(biāo)平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復(fù)平面的虛軸不包括原點,而一般坐標(biāo)平面的原點是橫、縱坐標(biāo)軸的公共點.
④復(fù)數(shù)z=a+bi中的z,書寫時小寫,復(fù)平面內(nèi)點Z(a,b)中的Z,書寫時大寫.要學(xué)生注意.
(5)關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的概念
設(shè),則,即與的實部相等,虛部互為相反數(shù)(不能認(rèn)為與或是共軛復(fù)數(shù)).
教師可以提一下當(dāng)時的特殊情況,即實軸上的點關(guān)于實軸本身對稱,例如:5和-5也是互為共軛復(fù)數(shù).當(dāng)時,與互為共軛虛數(shù).可見,共軛虛數(shù)是共軛復(fù)數(shù)的特殊情行.
(6)復(fù)數(shù)能否比較大小
教材最后指出:“兩個復(fù)數(shù),如果不全是實數(shù),就不能比較它們的大小”,要注意:
①根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等地定義,可知在兩式中,只要有一個不成立,那么.兩個復(fù)數(shù),如果不全是實數(shù),只有相等與不等關(guān)系,而不能比較它們的大?。?/p>
②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指:“不論怎樣定義兩個復(fù)數(shù)間的一個關(guān)系‘<’,都不能使這關(guān)系同時滿足實數(shù)集中大小關(guān)系地四條性質(zhì)”:
(i)對于任意兩個實數(shù)a,b來說,a<b,a=b,b<a這三種情形有且僅有一種成立;
(ii)如果a<b,b<c,那么a<c;
(iii)如果a<b,那么a+c<b+c;
(iv)如果a<b,c>0,那么ac<bc.(不必向?qū)W生講解)
(二)教法建議
1.要注意知識的連續(xù)性:復(fù)數(shù)是二維數(shù),其幾何意義是一個點,因而注意與平面解析幾何的聯(lián)系.
2.注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想:由于復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點的集合建立了一一對應(yīng)關(guān)系,所以用“形”來解決“數(shù)”就成為可能,在本節(jié)要注意復(fù)數(shù)的幾何意義的講解,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
3.注意分層次的教學(xué):教材中最后對于“兩個復(fù)數(shù),如果不全是實數(shù)就不能本節(jié)它們的大小”沒有證明,如果有學(xué)生提出來了,在課堂上不要給全體學(xué)生證明,可以在課下給學(xué)有余力的學(xué)生進行解答.
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
教學(xué)目標(biāo)
1.了解復(fù)數(shù)的實部,虛部;
2.掌握復(fù)數(shù)相等的意義;
3.了解并掌握共軛復(fù)數(shù),及在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù).
教學(xué)重點
復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)相等的充要條件.
教學(xué)難點
用復(fù)平面內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)M.
教學(xué)用具:直尺
課時安排:1課時
教學(xué)過程():
一、復(fù)習(xí)提問:
1.復(fù)數(shù)的定義。
2.虛數(shù)單位。
二、講授新課
1.復(fù)數(shù)的實部和虛部:
復(fù)數(shù)中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)的實部和虛部。
2.復(fù)數(shù)相等
如果兩個復(fù)數(shù)與的實部與虛部分別相等,就說這兩個復(fù)數(shù)相等。
即:的充要條件是且。
例如:的充要條件是且。
例1:已知其中,求x與y.
解:根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義,得方程組:
∴
例2:m是什么實數(shù)時,復(fù)數(shù),
(1)是實數(shù),(2)是虛數(shù),(3)是純虛數(shù).
解:
(1)∵時,z是實數(shù),
∴,或.
(2)∵時,z是虛數(shù),
∴,且
(3)∵且時,
z是純虛數(shù).∴
3.用復(fù)平面(高斯平面)內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)
復(fù)平面的定義
建立了直角坐標(biāo)系表示復(fù)數(shù)的平面,叫做復(fù)平面.
復(fù)數(shù)可用點來表示.(如圖)其中x軸叫實軸,y軸除去原點的部分叫虛軸,表示實數(shù)的點都在實軸上,表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。原點只在實軸x上,不在虛軸上.
4.復(fù)數(shù)的幾何意義:
復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面所有的點的集合是一一對應(yīng)的.
5.共軛復(fù)數(shù)
(1)當(dāng)兩個復(fù)數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。(虛部不為零也叫做互為共軛復(fù)數(shù))
(2)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示.若,則:;
(3)實數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身,純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它的相反數(shù).
(4)復(fù)平面內(nèi)表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點z與關(guān)于實軸對稱.
三、練習(xí)1,2,3,4.
四、小結(jié):
1.在理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念時應(yīng)注意:
(1)明確什么是復(fù)數(shù)的實部與虛部;
(2)弄清實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)分別對實部與虛部的要求;
(3)弄清復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何意義;
(4)兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)就不能比較大小。
2.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點注意事項:
(1)復(fù)數(shù)中的z,書寫時小寫,復(fù)平面內(nèi)點Z(a,b)中的Z,書寫時大寫。
(2)復(fù)平面內(nèi)的點Z的坐標(biāo)是(a,b),而不是(a,bi),也就是說,復(fù)平面內(nèi)的縱坐標(biāo)軸上的單位長度是1,而不是i。
(3)表示實數(shù)的點都在實軸上,表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。
(4)復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合一一對應(yīng):
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