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數(shù)學研究論文范文第1篇

【關(guān)鍵詞】科學哲學/數(shù)學哲學/數(shù)學哲學的革命

【正文】

本文有兩個互相關(guān)聯(lián)的目標：第一，對科學哲學對于數(shù)學哲學現(xiàn)展的重要影響作出綜合分析；第二，對新的研究與基礎(chǔ)主義的數(shù)學哲學進行比較，從而清楚地指明數(shù)學哲學現(xiàn)展的革命性質(zhì)。

一、從一些具體的研究談起

如眾所知，由1890年至1940年的這五十年，可以被看成數(shù)學哲學研究的黃金時代：在這一時期中，弗雷格、羅素、布勞維爾和希爾伯特等，圍繞數(shù)學基礎(chǔ)問題進行了系統(tǒng)和深入的研究，并發(fā)展起了邏輯主義、直覺主義和形式主義等具有廣泛和深遠影響的數(shù)學觀，從而為數(shù)學哲學的研究開拓出了一個嶄新的時代，其影響也遠遠超出了數(shù)學的范圍，特別是，基礎(chǔ)主義的數(shù)學哲學曾對維也納學派的科學哲學研究產(chǎn)生了十分重要的影響，而后者則曾在科學哲學的領(lǐng)域長期占據(jù)主導的地位。

然而，在四十年代以后，上述的情況發(fā)生了重要的變化。盡管邏輯主義等學派作出了極大的努力，他們的研究規(guī)劃卻都沒有能夠獲得成功，從而，在經(jīng)歷了所說的“黃金時代”以后，數(shù)學哲學的發(fā)展就一度“進入了一個悲觀的、停滯的時期”；與數(shù)學哲學的困境相對照，科學哲學則已逐步擺脫邏輯實證主義的傳統(tǒng)進入了一個欣欣向榮的、新的發(fā)展時期。也正因為此，科學哲學的現(xiàn)展就對數(shù)學哲學家產(chǎn)生了巨大的吸引力，并對數(shù)學哲學的現(xiàn)展產(chǎn)生了十分重要的影響。

就科學哲學對于數(shù)學哲學現(xiàn)代研究的影響而言，在最初主要是一些直接的推廣或移植。例如，作為新方向上研究工作的一個先驅(qū)，拉卡托斯就曾直接把波普爾的證偽主義科學哲學推廣應用到了數(shù)學的領(lǐng)域。盡管推廣和移植的工作是較為簡單的，但這仍然依賴于獨立的分析與深入的研究，因為在數(shù)學與一般自然（經(jīng)驗）科學之間顯然存在有重要的質(zhì)的區(qū)別。

為了使得由科學哲學中所吸取的觀念、概念、方法等確實有益于數(shù)學哲學的研究，最好的方法就是集中于相應的研究問題，也即是希望通過以科學哲學領(lǐng)域中某一（或某些）理論作為直接的研究背景以解決數(shù)學哲學中的某些基本問題。例如，M.Hallett的論文“數(shù)學研究綱領(lǐng)方法論的發(fā)展”就以拉卡托斯的科學哲學理論，也即所謂的“科學研究綱領(lǐng)方法論”作為直接的研究背景，但Hallett在這一論文中所真正關(guān)注的則是數(shù)學的方法論問題。因而，盡管其聲稱“希望能找到與科學研究綱領(lǐng)方法論相類似的數(shù)學發(fā)展的方法論準則”，Hallett的實際工作卻與拉卡托斯的科學哲學理論表現(xiàn)出了一定的差異。特別是，由于Hallett清楚地認識到：“數(shù)學與經(jīng)驗科學之間的差異無疑是十分重要的”；“物理學可以依賴于不斷增加的事實性命題，但是數(shù)學中卻不存在這樣的對應物?！币虼?，在Hallett看來，相應的科學方法論準則（即新的理論能作出某些預言，這些預言并已得到了確證），就不可能被直接推廣到數(shù)學的領(lǐng)域。

與上述的方法論原則相對照，Hallett提出，新的理論在解決非特設(shè)性的重要問題方面的成功可以被用作判斷數(shù)學進步的準則。Hallett并指出，這一準則即是對希爾伯特在先前所已明確提出的相應思想的一種改進。從而，這就確實不能被看成對于科學研究綱領(lǐng)方法論的直接推廣。

在數(shù)學哲學領(lǐng)域內(nèi)我們并可看到一種不斷增長的自覺性，即是關(guān)于科學哲學領(lǐng)域中的思想或理論對于數(shù)學哲學“可應用性”或“可推廣性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的論文“庫恩的理論與數(shù)學：關(guān)于數(shù)學的‘新編年史’的討論”一文中，就明確提出了這樣的思想：在將庫恩的理論推廣應用到數(shù)學時，應當首先考慮兩個問題：第一，“在數(shù)學中是否存在有這類東西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的話，“這一概念對數(shù)學編年史的研究是否有確定的、富有成果的應用？”

顯然，即使前一個問題可以說是一種直接的推廣或移植，后一問題的解答則依賴于更為深入的分析和獨立的研究，因為，這不僅涉及到了對庫恩理論的評價，而且也直接依賴于關(guān)于應當如何去從事數(shù)學哲學（和數(shù)學史）研究的基本思想。

正是從這樣的立場出發(fā)，Mehrtens提出：“盡管（數(shù)學中）存在有可以稱之為‘革命’或‘危機’的現(xiàn)象，我對這兩個概念持否定的態(tài)度，因為，它們并不能成為歷史研究的有利工具?！?/p>

當然，上述的結(jié)論并不意味著Mehrtens對庫恩的理論持完全否定的態(tài)度；恰恰相反，Mehrtens明確地指出，庫恩所提出的“范式”和“科學共同體”這兩個概念對于數(shù)學史（和數(shù)學哲學）的研究有著十分重要的意義。Mehrtens寫道：“圍繞著科學共同體的社會學概念具有很大的解釋力量——在我看來——它們?yōu)閿?shù)學編年史提供了關(guān)鍵的概念。”

上述的批判態(tài)度和深入分析顯然表明了一種獨立研究的態(tài)度，從而，與簡單的推廣或移植相比，這就是一種真正的進步。作為這種進步的又一實例，我們還可看基切爾（P.Kitcher）的數(shù)學哲學研究。

一般地說，基切爾在數(shù)學哲學領(lǐng)域內(nèi)的工作主要就是將庫恩的科學哲學理論推廣應用到了數(shù)學之中，特別是，基切爾不僅由庫恩的理論中吸取了很多具體的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如關(guān)于科學活動社會—文化性質(zhì)的分析等。另外，基切爾所主要關(guān)注的則是數(shù)學歷史發(fā)展的合理性問題。例如，正是從這一立場出發(fā)，基切爾首先考察了什么是數(shù)學變化的基本單位。基切爾寫道：“一個首要的任務，就是應當以關(guān)于數(shù)學變化單位的更為精確的描述去取代關(guān)于‘數(shù)學知識狀況’的模糊說法。這一問題與關(guān)注科學知識增長的哲學家們所面臨的問題在形式上是互相平行的。我認為，在這兩種情形中，我們都應借助于一個多元體，也即由多種不同成分所組成的實踐（practice）的變化，來理解知識的增長?！?/p>

在基切爾看來，后者事實上也就是庫恩的“范式”概念的主要涵義。然而，基切爾在此并沒有逐一地去尋找“范式”（或“專業(yè)質(zhì)基”）的各個成分（如“符號的一般化”、“模型”、“價值觀”、“范例”等）在數(shù)學中的對應物，而是對“數(shù)學實踐（活動）”的具體內(nèi)容作出了自己的獨立分析?；袪柼岢觯拔乙詾槲覀儜敿杏跀?shù)學實踐的變化，并把數(shù)學實踐看成是由以下五個成分所組成的：語言，所接受的命題，所接受的推理，被認為是重要的問題，和元數(shù)學觀念?！憋@然，這即是對庫恩基本思想的創(chuàng)造性應用。

其次，基切爾又具體地指明了若干個這樣的條件，在滿足這些條件的情況下，數(shù)學實踐的變化可被看成是合理的。從而，這也就十分清楚地表明了在基切爾與庫恩之間所存在的一個重要區(qū)別：盡管前者從庫恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主義、而并非是像庫恩那樣的非理性主義立場。這一轉(zhuǎn)變當然也是批判性的立場和獨立思考的直接結(jié)果。

二、新方向上研究的共同特征

盡管在新方向上工作的數(shù)學哲學家有著不同的研究背景和工作重點，在觀念上也可能具有一定的分歧和差異；但是，從整體上說，這些工作又有著明顯的共同點，后者事實上更為清楚地表明了來自科學哲學的重要影響。

1.對于數(shù)學經(jīng)驗性和擬經(jīng)驗性的肯定

所謂數(shù)學的經(jīng)驗性，就其原始的意義而言，即是對數(shù)學與其它自然科學同一性（analogy，或similarity）的確認。這一認識事實上構(gòu)成新方向上所有工作的共同出發(fā)點。

關(guān)于數(shù)學經(jīng)驗性的斷言顯然正是對于傳統(tǒng)觀念的直接否定，即數(shù)學知識不應被看成無可懷疑的絕對真理，數(shù)學的發(fā)展也并非數(shù)學真理在數(shù)量上的簡單積累。從而，這也就如Echeverria等人所指出的，它將“數(shù)學從柏拉圖所置于的寶座上拉下來了?！?/p>

事實上，人們曾從各種不同的角度對數(shù)學與自然科學的同一性進行了論證。諸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法論的同一性”，基切爾的“認識論的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托瑪茲克（T.Tymoczko）的“本體論的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“結(jié)構(gòu)的同一性”，等等。另外，在筆者看來，對于經(jīng)驗性的肯定事實上也可被看成關(guān)于數(shù)學的社會—文化觀念（這是在新方向上工作的數(shù)學哲學家所普遍接受的）的一個直接結(jié)論。這就是說，如果數(shù)學與其它自然科學一樣，最終都應被看成人類的一種創(chuàng)造性活動，并構(gòu)成了整個人類文化的一個有機組成成分，那么，數(shù)學的發(fā)展無疑就是一個包含有猜想與反駁、錯誤與嘗試的復雜過程，而且，“數(shù)學的內(nèi)涵與改變最終是由我們的實際利益與其它科學的認識論目標所決定的?！?/p>

其次，如果說數(shù)學的經(jīng)驗性集中地反映了數(shù)學與其它自然科學的同一性，那么，對于數(shù)學擬經(jīng)驗性（quasi-empirical）的強調(diào)則就突出地表明了數(shù)學的特殊性。

具體地說，我們在此所涉及的主要是這樣一個問題：除去在實際活動中的成功應用外，就數(shù)學理論而言，是否還存在其它的判斷標準？另外，擬經(jīng)驗的數(shù)學觀的核心就在于明確肯定了數(shù)學有自己特殊的價值標準，這就是新的研究工作對于數(shù)學自身的意義，即如其是否有利于已有問題的解決或方法的改進等。顯然，后者事實上也就是實際數(shù)學工作者真實態(tài)度的一個直接反映。例如，美國著名數(shù)學家麥克萊恩（S.MacLane）就曾這樣寫道：“數(shù)學各個領(lǐng)域中的進步包括兩個互補的方面：重要問題的解決以及對于所獲得結(jié)果的理解?！?/p>

由此可見，我們就應同時肯定數(shù)學的經(jīng)驗性和擬經(jīng)驗性。顯然，就本文的論題而言，這事實上也就表明了：為了在數(shù)學哲學的研究中取得實質(zhì)性的進展，我們不僅應當保持頭腦的開放性，也即應當努力從科學哲學中吸取更多有益的思想、概念和問題，同時也應高度重視數(shù)學的特殊性，即在一定程度上保持數(shù)學哲學的相對獨立性。

2.對于數(shù)學方法論的高度重視

理性主義與非理性主義的長期爭論無疑是科學哲學現(xiàn)展的一個重要特點；與此相對照，理性主義的立場在數(shù)學哲學領(lǐng)域中卻似乎沒有受到嚴重的挑戰(zhàn)，但是，后者并不意味著現(xiàn)已存在某種為人們所普遍接受的關(guān)于數(shù)學發(fā)展合理性的理論，恰恰相反，后一目標的實現(xiàn)還有待于長期的努力。

然而，在這一方面確已取得了一定的進步，特別是，相對于早期的簡單“移植”而言，現(xiàn)今人們普遍地更加重視對那些源自科學哲學的概念、觀點和理論的分析和批判。例如，就庫恩的影響而言，人們現(xiàn)已認識到，對于數(shù)學的社會—文化性質(zhì)的確認，并不意味著我們必須采取相對主義或非理性主義的立場；另外，在肯定數(shù)學歷史發(fā)展合理性的同時，人們也認識到了這種發(fā)展并不能簡單地被納入某一特定的模式。事實上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一個歷史的概念：“‘理性’在一定程度上是社會化建構(gòu)的，……即包括有一個社會協(xié)商的過程?！睆亩?，在此所需要的就是一種辯證的綜合。例如，正是從這樣的立場出發(fā)，格拉斯提出，我們應對庫恩和拉卡托斯的理論進行整合：“拉卡托斯的方法論立場至少應當用像庫恩那樣的社會和歷史的觀點予以補充和平衡?！?/p>

值得指出的是，這種整合的立場事實上也就是科學哲學現(xiàn)展的一個重要特點，特別是，這即是科學哲學領(lǐng)域中所謂的“新歷史主義學派”所采取的一個基本立場：他們對先前的各種理論（包括理性主義與非理性主義）普遍地采取了批評的立場，并希望能通過對立理論的整合發(fā)展出關(guān)于科學發(fā)展合理性的新理論。從而，在這一方面我們也就可以看到科學哲學對于數(shù)學哲學現(xiàn)代研究的重要影響。

艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切爾這樣寫道：“……數(shù)學哲學應當關(guān)注與那些研究人類知識其它領(lǐng)域（特別是，自然科學）同一類型的問題。例如，哲學家們應當考慮這樣的問題：數(shù)學知識是如何增長的？什么是數(shù)學進步？是什么使得某一數(shù)學觀點（或理論）優(yōu)于其它的觀點（或理論）？什么是數(shù)學解釋？”特別是，“數(shù)學在其發(fā)展中是否遵循任何方法論的原則？”事實上，在艾斯帕瑞和基切爾看來，如何對數(shù)學方法論作出恰當?shù)恼f明就構(gòu)成了在新方向上工作的數(shù)學哲學家的核心問題。顯然，這一立場也是與現(xiàn)代科學哲學中對于科學方法論的高度重視完全一致的。

3.對于數(shù)學史的強調(diào)

如眾所知，對于科學史的突出強調(diào)也是科學哲學現(xiàn)代研究的一個重要特征。正如克倫瓦（M.Crowe）所指出的：“在庫恩以前，科學哲學長期為邏輯實證主義所支配，后者認為科學史是與他們的研究毫不相關(guān)的；但是，這種形勢現(xiàn)在已經(jīng)有了改變……科學哲學家們現(xiàn)已認識到了歷史研究的重要性?！边@就是說，“如果沒有給予科學史應有的重視，科學性質(zhì)的分析就是不可能的?！笨茖W哲學的上述變化對在新方向上工作的數(shù)學哲學家也產(chǎn)生了極大的影響。例如，在以上所提及的各篇論文和著作中，歷史案例的分析都占據(jù)了十分重要的位置?？梢哉f歷史方法事實上已成為數(shù)學哲學現(xiàn)代研究的基本方法之一。

作為一種自覺的努力，我們在此還可特別提及以下的四部論文集：（1）由艾斯帕瑞和基切爾所編輯的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所編輯的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所編輯的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz編輯的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即將出版）。

這些編輯者的一個共同特點是，他們不僅認為數(shù)學方法論的任一理論都應用歷史的案例加以檢驗，而且更大力提倡數(shù)學史家與數(shù)學哲學家的密切合作，并認為雙方都可以從這種合作中得益匪淺。例如，Breger和Grosholz在他們的序言中這樣寫道：“這一論文集源自編輯者的這樣一個信念，即數(shù)學哲學的重要論題可以由哲學家與歷史學家的有組織對話得到啟示?！覀兿Ｍ麣v史的材料能在數(shù)學哲學家那里獲得更為深入和系統(tǒng)的應用；同樣地，我們也希望哲學家由歷史所激發(fā)的思考能給歷史學家提供新的問題和思想?！憋@然，這種態(tài)度與傳統(tǒng)的把數(shù)學哲學與數(shù)學史絕對地分割開來的作法是截然相反的。

最后，我們在此還可提及所謂的“奠基于數(shù)學史之上的數(shù)學哲學”。具體地說，相關(guān)的數(shù)學哲學家在此所希望的就是能發(fā)展出關(guān)于數(shù)學知識的這樣一種理論，它能正確地反映數(shù)學的歷史發(fā)展，即“現(xiàn)代的數(shù)學知識是由初始的狀態(tài)經(jīng)由一系列的合理轉(zhuǎn)變得以形成的”（基切爾語）。顯然，按照這樣的觀點，數(shù)學史對于數(shù)學哲學的重要性就得到了進一步的強化：正是前者為數(shù)學哲學的研究提供了基本的素材和最終的檢驗。這也就是說，“數(shù)學史對于數(shù)學哲學來說，不僅不是無關(guān)的，并事實上占有核心的地位。”

4.實際數(shù)學工作者的“活的哲學”

應當指出，對于數(shù)學史的高度重視不僅直接涉及到了數(shù)學方法論的研究，而且也標志著數(shù)學哲學研究立場的重要轉(zhuǎn)變。在新方向上工作的數(shù)學哲學家們幾乎一致地認為，實際的數(shù)學活動應當成為數(shù)學哲學理論研究的出發(fā)點和最終依據(jù)?！罢軐W沒有任何理由可以繼續(xù)無視實際的數(shù)學活動。事實上，正是這種實踐應當為數(shù)學哲學提供問題及其解決所需要的素材。”

當然，上述的轉(zhuǎn)變直接反映了實際數(shù)學工作者的心聲。這也就如麥克萊恩所指出的：“數(shù)學哲學應當建立在對于這一領(lǐng)域（按指數(shù)學）中所實際發(fā)生的一切的仔細觀察之上?！?/p>

最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切爾并曾從這樣的角度對數(shù)學方法論研究的意義進行了分析。他們這樣寫道：“如果我們具有了這樣的原則，歷史學家就可以此為依據(jù)對實際歷史與理想狀況之間的差距作出研究，從而發(fā)現(xiàn)這樣的有趣情況，在其間由于某些外部力量造成了對于方法論的偏離。另外，數(shù)學家們則可能會發(fā)現(xiàn)以下的研究具有一定的啟示意義，即他們所選擇的研究領(lǐng)域是如何由過去的數(shù)學演變而生成的，某些方法論的原則又如何在核心概念的更新中始終發(fā)揮了特別重要的作用。并非言過其實的是，這些答案……—還可能對數(shù)學家關(guān)于各種研究途徑合理性及某些觀念意義的爭論起到一定的啟發(fā)作用。”顯然，這一認識與現(xiàn)代科學哲學中對于方法論的強調(diào)是完全一致的。

三、數(shù)學哲學的革命

從整體上說，與先前的基礎(chǔ)主義數(shù)學哲學相比，新方向上的研究無論就基本的數(shù)學觀，或是就研究問題、研究方法和基本的研究立場而言，都已發(fā)生了十分重要的變化。我們就可以說，數(shù)學哲學已經(jīng)歷了一場深刻的革命。

1.研究立場的轉(zhuǎn)移，即由與實際數(shù)學活動的嚴重分離轉(zhuǎn)移到了與它的密切結(jié)合。

由于深深地沉溺于對已有的數(shù)學理論和方法可靠性的疑慮或不安，因此，邏輯主義等學派在基礎(chǔ)研究中普遍地采取了“批判和改造”的立場，即都認為應當對已有的數(shù)學理論和方法進行嚴格的批判或?qū)彶椋⑼ㄟ^改造或重建以徹底解決數(shù)學的可靠性問題。從而，基礎(chǔ)主義的數(shù)學哲學主要地就是一種規(guī)范性的研究，而也正因為此，基礎(chǔ)研究在整體上就暴露出了嚴重脫離實際數(shù)學活動的弊病。

與此相對照，在新方向上工作的數(shù)學哲學家普遍采取了相反的立場，即是認為數(shù)學哲學應當成為實際數(shù)學工作者的“活的哲學”，也即應當“真實地反映當我們使用、講授、發(fā)現(xiàn)或發(fā)明數(shù)學時所作的事”（赫斯語）。顯然，基本立場的上述轉(zhuǎn)移事實上也就意味著數(shù)學哲學性質(zhì)的重要改變：這已不再是實際數(shù)學工作者所必須遵循的某些先驗的、絕對的教條。

2.對于數(shù)學史的高度重視。

由于邏輯主義等學派所關(guān)注的主要是數(shù)學的邏輯重建，因此，在這些學派看來，數(shù)學的真實歷史就不具有任何的重要性，或者說即是與數(shù)學的哲學分析完全不相干的，而數(shù)學哲學家所唯一應當重視的則就是邏輯分析的方法。

與基礎(chǔ)主義者的上述作法相對立，在新方向上工作的數(shù)學哲學家則普遍地對數(shù)學史給予了高度的重視。例如，這就正如Echeverria等人所指出的：“對于數(shù)學活動的歷史和社會層面的關(guān)注清楚地表明了‘新’的數(shù)學哲學與傳統(tǒng)的新弗雷格主義傾向的區(qū)別，而后者在本世紀前半葉曾在這一學科中占據(jù)支配的地位?！憋@然，這事實上也就可以被看成上述的基本立場的一個直接表現(xiàn)。

更為一般地說，人們并逐步確立了這樣的認識：“沒有數(shù)學史的數(shù)學哲學是空洞的；沒有數(shù)學哲學的數(shù)學史是盲目的?！保ɡㄍ兴拐Z）這不僅標志著方法論的重要變革，而且也為深入開展數(shù)學哲學（和數(shù)學史）的研究指明了努力的方向。

3.研究問題的轉(zhuǎn)移。

由于對已有的數(shù)學理論和方法可靠性的極大憂慮構(gòu)成了邏輯主義等學派的基礎(chǔ)研究工作的共同出發(fā)點，因此，基礎(chǔ)主義的數(shù)學哲學主要地就是圍繞所謂的“數(shù)學基礎(chǔ)問題”展開的。這也就是指：如何為數(shù)學奠定可靠的基礎(chǔ)，從而徹底地解決數(shù)學的可靠性問題？

與此相對照，現(xiàn)代的數(shù)學哲學家一般不再關(guān)心數(shù)學的可靠性問題，而這事實上也就是數(shù)學工作者實際態(tài)度的直接反映。這就正如斯坦納（M.Steiner）等人所指出的，這是數(shù)學哲學研究的一個明顯和無可辯駁的出發(fā)點，即人們具有一定的數(shù)學知識，這些數(shù)學知識并已獲得了證實，從而就是可靠的。

對于力圖為實際數(shù)學工作者建立“活的哲學”的數(shù)學哲學家來說，數(shù)學哲學研究的核心問題無疑就在于：如何對數(shù)學（活動）作出合理的解釋？托瑪茲克說：“數(shù)學哲學始于這樣的思考，即是如何為數(shù)學提供一般的解釋，也即提供一種能揭示數(shù)學本質(zhì)特性并對人們?nèi)绾文軌驈氖聰?shù)學活動作出解釋的綜合觀點?！憋@然，這也就表明了，方法論的問題何以會在數(shù)學哲學的現(xiàn)代研究中占據(jù)特別重要的位置。

4.動態(tài)的、經(jīng)驗和擬經(jīng)驗的數(shù)學觀對于靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學觀的取代。

盡管邏輯主義等學派對什么是數(shù)學的最終基礎(chǔ)有著不同的看法，但是，從總體上說，他們所體現(xiàn)的又都可以說是一種靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學觀，因為，他們都希望能通過自己的工作為數(shù)學奠定一個“永恒的、可靠的基礎(chǔ)”，這樣，數(shù)學的進一步發(fā)展也就可以被看成無可懷疑的真理在數(shù)量上的單純積累。

如果說靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學觀在基礎(chǔ)主義的數(shù)學哲學中占據(jù)了主導的地位，那么，由于把著眼點轉(zhuǎn)移到了實際的數(shù)學活動，人們現(xiàn)已不再把數(shù)學的發(fā)展看成是無可懷疑的真理在數(shù)量上的簡單積累；與此相反，作為人類的一種創(chuàng)造性活動，數(shù)學發(fā)展顯然是一個包含有猜測、錯誤和嘗試、證明和反駁、檢驗與改進的復雜過程，并依賴于個體與群體的共同努力。從而，這種動態(tài)的、經(jīng)驗和擬經(jīng)驗的數(shù)學觀就已逐漸取代傳統(tǒng)的靜態(tài)的和絕對主義的數(shù)學觀在這一領(lǐng)域中占據(jù)了主導的地位。

綜上可見，相對于基礎(chǔ)主義而言，現(xiàn)代的數(shù)學哲學無論就研究問題、研究方法，或是就研究的基本立場和主要觀念而言，都已發(fā)生了質(zhì)的變化。因而，我們可以明確地斷言：在數(shù)學哲學的現(xiàn)展中已經(jīng)發(fā)生了革命性的變化。由于所有這些變化都與來自科學哲學的影響有著十分緊密的聯(lián)系，因此，這也就最為清楚地表明了這種影響對于數(shù)學哲學現(xiàn)展的特殊重要性。

【參考文獻】

1.M.Hallett,"TowardsaTheoryofMathematicalResearchProgrammes",inTheBritishJournalforPhilosophyofScience,30[1979],p.2

2.H.Mehrtens,"T.Kuhn''''sTheoriesandMathematics:aDiscussionpaperonthe‘NewHistoriography’ofMathematics",inHistoriaMathematica,3[1976],p.301,305,312

3.P.Kitcher,"MathematicalNaturalism",inHistoryandPhilsophyofModernMathematics,ed.byW.Aspray&P.Kitcher,UniversityofMinnesotaPress,1988,p.299,315

數(shù)學研究論文范文第2篇

一、對中學數(shù)學思想的基本認識

“數(shù)學思想”作為數(shù)學課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內(nèi)涵與外延形成較為明確的認識。關(guān)于這個概念的內(nèi)涵，我們認為：數(shù)學思想是人們對數(shù)學科學研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現(xiàn)在以及將來有名與無名的數(shù)學家；而認識的客體，則包括數(shù)學科學的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質(zhì)世界的實際作用，內(nèi)部各種成果或結(jié)論之間的互相關(guān)聯(lián)和相互支持的關(guān)系等。可見，這些思想是歷代與當代數(shù)學家研究成果的結(jié)晶，它們蘊涵于數(shù)學材料之中，有著豐富的內(nèi)容。

通常認為數(shù)學思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數(shù)學活動經(jīng)驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學數(shù)學教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數(shù)思想貫穿中學數(shù)學內(nèi)容更有利于提高數(shù)學教學效果，還有人認為中學數(shù)學內(nèi)容應運用數(shù)學結(jié)構(gòu)思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數(shù)學材料的基礎(chǔ)上來論述數(shù)學思想，那么所得的結(jié)論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學數(shù)學教材中起到積極的促進作用的。

關(guān)于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。

屬于宏觀的，有數(shù)學觀(數(shù)學的起源與發(fā)展、數(shù)學的本能和特征、數(shù)學與現(xiàn)實世界的關(guān)系)，數(shù)學在科學中的文化地位，數(shù)學方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關(guān)于數(shù)學內(nèi)部各個部門之間的分流的原因與結(jié)果，各個分支發(fā)展過程中積淀下來的內(nèi)容上的對立與統(tǒng)一的相克相生的關(guān)系等；屬于微觀結(jié)構(gòu)的，則包含著對各個分支及各種體系結(jié)構(gòu)定內(nèi)容和方法的認識，包括對所創(chuàng)立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。

從質(zhì)的方面說，還可分成表層認識與深層認識、片面認識與完全認識、局部認識與全面認識、孤立認識與整體認識、靜態(tài)認識與動態(tài)認識、唯心認識與唯物認識、謬誤認識和正確認識等。

二、數(shù)學思想的特性和作用

數(shù)學思想是在數(shù)學的發(fā)展史上形成和發(fā)展的，它是人類對數(shù)學及其研究對象，對數(shù)學知識（主要指概念、定理、法則和范例)以及數(shù)學方法的本質(zhì)性的認識。它表現(xiàn)在對數(shù)學對象的開拓之中，表現(xiàn)在對數(shù)學概念、命題和數(shù)學模型的分析與概括之中，還表現(xiàn)在新的數(shù)學方法的產(chǎn)生過程中。它具有如下的突出特性和作用。

(一)數(shù)學思想凝聚成數(shù)學概念和命題，原則和方法

我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數(shù)學模型和數(shù)學結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成數(shù)學的知識系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)。在這個系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)中，數(shù)學思想起著統(tǒng)帥的作用。

(二)數(shù)學思想深刻而概括，富有哲理性

各種各樣的具體的數(shù)學思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導意義的共性。它比某個具體的數(shù)學問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高?，F(xiàn)實生活中普遍存在的運動和變化、相輔相成、對立統(tǒng)一等“事實”，都可作為數(shù)學思想進行哲學概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學的世界觀和方法論。

(三)數(shù)學思想富有創(chuàng)造性

借助于分析與歸納、類比與聯(lián)想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結(jié)構(gòu)獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉(zhuǎn)化成極具規(guī)律的數(shù)學模型。從而將一種關(guān)系結(jié)構(gòu)變成或映射成另一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，又可反演回來，于是復雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題，便是典型的一例。當時，數(shù)學家們在作這些探討時是很難的，是零零碎碎的，有時為了一個模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會到創(chuàng)造的艱辛，發(fā)展頑強奮戰(zhàn)的個性，培養(yǎng)創(chuàng)造的精神。

三、數(shù)學思想的教學功能

我國《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數(shù)學的基礎(chǔ)知識主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學思想和方法”。根據(jù)這一要求，在中學數(shù)學教學中必須大力加強對數(shù)學思想和方法的教學與研究。

(一)數(shù)學思想是教材體系的靈魂

從教材的構(gòu)成體系來看，整個初中數(shù)學教材所涉及的數(shù)學知識點匯成了數(shù)學結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構(gòu)成的易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”，它是構(gòu)成數(shù)學教材的“骨架”；另一條是由數(shù)學思想方法構(gòu)成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構(gòu)成數(shù)學教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數(shù)學思想作靈魂，各種具體的數(shù)學知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數(shù)學思想能將“游離”狀態(tài)的知識點(塊)凝結(jié)成優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)，有了它，數(shù)學概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機的整體?？梢?，數(shù)學思想是數(shù)學的內(nèi)在形式，是學生獲得數(shù)學知識、發(fā)展思維能力的動力和工具。教師在教學中如能抓住數(shù)學思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進行再創(chuàng)造，才能使教學見效快，收益大。

(二)數(shù)學思想是我們進行教學設(shè)計的指導思想

筆者認為，數(shù)學課堂教學設(shè)計應分三個層次進行，這便是宏觀設(shè)計、微觀設(shè)計和情境設(shè)計。無論哪個層次上的設(shè)計，其目的都在于為了讓學生“參與”到獲得和發(fā)展真理性認識的數(shù)學活動過程中去。這種設(shè)計不能只是數(shù)學認識過程中的“還原”，一定要有數(shù)學思想的飛躍和創(chuàng)造。這就是說，一個好的教學設(shè)計，應當是歷史上數(shù)學思想發(fā)生、發(fā)展過程的模擬和簡縮。例如初中階段的函數(shù)概念，便是概括了變量之間關(guān)系的簡縮，也應當是滲透現(xiàn)代數(shù)學思想、使用現(xiàn)代手段實現(xiàn)的新的認識過程。又如高中階段的函數(shù)概念，便滲透了集合關(guān)系的思想，還可以是在現(xiàn)實數(shù)學基礎(chǔ)上的概括和延伸，這就需要搞清楚應概括怎樣的共性，如何準確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對于這些問題，都需要進行預測和創(chuàng)造，而要順利地完成這一任務，必須依靠數(shù)學思想作為指導。有了深刻的數(shù)學思想作指導，才能做出智慧熠爍的創(chuàng)新設(shè)計來，才能引發(fā)起學生的創(chuàng)造性的思維活動來。這樣的教學設(shè)計，才能適應瞬息萬變的技術(shù)革命的要求?？恳回炄绱嗽O(shè)計的課堂教學培養(yǎng)出來的人才，方能在21世紀的激烈競爭中立于不敗之地。

(三)數(shù)學思想是課堂教學質(zhì)量的重要保證

數(shù)學思想性高的教學設(shè)計，是高質(zhì)量進行教學的基本保證。在數(shù)學課堂教學中，教師面對的是幾十個學生，這幾十個智慧的頭腦會提出各種各樣的問題。隨著新技術(shù)手段的現(xiàn)代化，學生知識面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學生所提的問題，教師只有達到一定的思想深度，才能保證準確辨別各種各樣問題的癥結(jié)，給出中肯的分析；才能恰當適時地運用類比聯(lián)想，給出生動的陳述，把抽象的問題形象化，復雜的問題簡單化；才能敏銳地發(fā)現(xiàn)學生的思想火花，找到閃光點并及時加以提煉升華，鼓勵學生大膽地進行創(chuàng)造，把眾多學生牢牢地吸引住，并能積極主動地參與到教學活動中來，真正成為教學過程的主體；也才能使有一定思想的教學設(shè)計，真正變成高質(zhì)量的數(shù)學教學活動過程。

有人把數(shù)學課堂教學質(zhì)量理解為學生思維活動的質(zhì)和量，就是學生知識結(jié)構(gòu)，思維方法形成的清晰程度和他們參與思維活動的深度和廣度。我們可以從“新、高、深”三個方面來衡量一堂數(shù)學課的教學效果?！靶隆敝笇W生的思維活動要有新意，“高”指學生通過學習能形成一定高度的數(shù)學思想，“深”則指學生參與到教學活動的程度。

數(shù)學研究論文范文第3篇

[論文摘要]:愛因斯坦說過“興趣是最好的老師”。數(shù)學概念引入的好壞往往直接影響著學生對整個概念理解的效果，好的引入可以集中學生的注意力，啟發(fā)他們的學習動機，使學生聽課能抓住重點，產(chǎn)生強烈的求知欲望。文章主要針對數(shù)學概念的引入舉例講授幾種常見的方法并且分析其優(yōu)點。

數(shù)學概念是數(shù)學思維的細胞，是形成數(shù)學知識體系的基本要素，是數(shù)學基礎(chǔ)知識的核心。數(shù)學定理、公式和方法都是反映數(shù)學對象和數(shù)學概念間的關(guān)系，只有具有正確明晰的概念，才能牢固的掌握基礎(chǔ)知識。同時，在深入理解數(shù)學概念的過程中使得學生的抽象思維得到發(fā)展。在教學過程中，學生學習概念有一個準備過程，這個過程就稱為“概念的引入”。

一、從與概念有關(guān)的趣事引入

興趣可以喚起某種動機，興趣可以培養(yǎng)人的意志，改變?nèi)说膽B(tài)度，引導學生成為學習的主人。因此我們在備課時要充分挖掘知識的趣味因素，找一些有關(guān)本節(jié)概念的，易于理解的趣題作引例，牢牢抓住學生注意力，調(diào)動其積極思維，使學生既對概念感興趣，又大致了解這個概念的知識用途。

舉例說明：介紹“點的軌跡”。老師事先準備好一段麻繩和一個彩色小球，將彩球綁在麻繩的一端。教師從一進教室可以邊走邊演示——彩色小球不停地旋轉(zhuǎn)。這樣一來，學生注意力一下子被吸引，并且表現(xiàn)出極大興趣。老師在講桌前站定后，便立即停止演示，隨后要求學生解釋剛才的現(xiàn)象。學生的思維被調(diào)動起來。在對學生的解釋作出評價后，引出課題“點的軌道”然后引導學生結(jié)合生活中常見的“點的軌道”現(xiàn)象給下定義。這樣，一個抽象的概念就在有趣的實驗中得到充分的展示，學生對于點的軌跡也有了形象的理解。從實物引入概念，反映了概念的物質(zhì)性、現(xiàn)實性，符合認識規(guī)律，給學生留下的印象比較深刻持久。

二、問題引入

波利亞說過：問題是數(shù)學的心臟。先提出一個典型問題，讓學生動腦思考，在問題的解決中引入概念，使得學生對概念的理解更加深入。

舉例說明：按比例分配的概念。在學習按比例分配時，老師可以提出這樣的問題：“同學們，今天老師帶了12個乒乓球作為禮物送給3個同學，應該如何分配？”“平均分。”“假如把這12個乒乓球作為獎品，獎給在運動會中獲得一二三等獎的同學，又該如何分配呢？”在學生積極思考后，老師可以說：“其實，在我們的日常生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟建設(shè)等各項工作中，都會遇到很多不能平均分配的問題。例如，我們喝的酸奶中的水、牛奶、糖的成分會一樣多嗎？”由此就可以引出按照比例分配的概念，這樣使得學生在思考的過程中加深對概念的理解！

三、舊知引入

中國古典小說，在每章節(jié)末說，“要知后事如何？且聽下回分解”。在每回開頭“上回講到------且說-------?！倍潭痰膸拙湓挘邢葐⒑?，銜接自然，使人看了上章想看下章，恨不得一口氣把這本書讀完。這種古老的說書技巧，也可以用來引入概念，使新舊概念自然街按，連為一體。

舉例說明：幾何概念的貫穿。在學習幾何知識時，按照一條線----二條線（平行與垂直）------三條線（三角形）-----四條線（四邊形）-----多于四條線（多邊形）-----圓這樣的結(jié)構(gòu)，且用數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系作支柱，隨著知識的增加，新知識不斷納入原有的認知結(jié)構(gòu)中去。比如還可以在已經(jīng)學習了“平行四邊形”的概念的基礎(chǔ)上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”等等。利用學生已有的知識經(jīng)驗，以定義的方式給出，讓學生主動地與自己的頭腦中原有的知識相互聯(lián)系、相互作用，理解它的意義，從而獲得新概念。

四、聯(lián)系實際引入

新課程標準要求：“數(shù)學教育應努力激發(fā)學生的學習情感，將數(shù)學與學生生活、學習聯(lián)系起來，學習有活力的、活生生的數(shù)學”。那么，用生活中的實際例子來引入數(shù)學概念，聯(lián)系生活實際講數(shù)學，把生活經(jīng)驗數(shù)學化，把數(shù)學問題生活化，更有利于學生掌握和理解概念。

舉例說明：比例的意義與性質(zhì)。老師說：“同學們，我們已經(jīng)學習了比，在我們?nèi)梭w上有許多有趣的比。例如：拳頭滾動一周的長度與腳的長度的比是1：1，身高和胸圍長度比大約是2：1。這些有趣的比作用非常大，比如你到商店去買襪子，只要將襪底在你的拳頭上繞一周，就會知道這雙襪子是否適合你穿。而這些奧秘是用比例知識來計算的，今天我們就來研究比例的意義和性質(zhì)?！崩蠋熯x取一些生動形象的實際例子來引入數(shù)學概念，既可以激發(fā)學生的學習興趣和學習動機，又符合學生由感性到理性的認識規(guī)律。

五、通過類比引入

根據(jù)新舊知識的連結(jié)點、相似點，采用類比的方法引入概念。數(shù)學有著嚴密的科學體系，數(shù)學知識的連貫性很強，多數(shù)概念都產(chǎn)生于或者發(fā)展與相應的原有知識的基礎(chǔ)上，所以用類比引入新概念有利于學生在思維中將一定的知識和技能從已知的對象遷移到未知的對象上去，有利于培養(yǎng)學生的探索發(fā)現(xiàn)能力。

舉例說明：（1）類比“方程”和“不等式”：方程：含有未知數(shù)的等式；不等式：表示兩個數(shù)或兩個代數(shù)式不相等的算式。（2）類比“分數(shù)”和“分式”：分數(shù)：把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。分母表示把一個物體平均分成幾份,分子表示取了其中的幾份；分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么稱為分式。這種方法導入自然，使學生能從類推中促進知識的遷移，發(fā)現(xiàn)新知識，從而掌握新知識。

參考文獻

[1]吳憲芳.中學數(shù)學教學概論[M].湖北教育出版社,2005.

數(shù)學研究論文范文第4篇

1.創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)興趣

以創(chuàng)設(shè)情境為主線，根據(jù)教材的特點、教學的方法和學生的具體學情，把學生引入一種與問題有關(guān)的情境中，讓學生通過觀察，不斷積累豐富的感性認識，讓學生在實踐感受中逐步認知，發(fā)展，乃至創(chuàng)造，以提高學生的數(shù)學素質(zhì)。在數(shù)學課堂教學中情境教學的運用，可以達到提高學生的數(shù)學素質(zhì)的目的。教育學家烏申斯基說：沒有絲毫興趣的強制學習，將會扼殺學生探求真理的欲望。興趣是學習的重要動力，也是最好的老師。在實踐中，我經(jīng)常巧妙地創(chuàng)設(shè)情境，引導學生從害怕數(shù)學到愛學數(shù)學，提高學生學習數(shù)學的興趣，取得了事半功倍的效果。如常常用實際問題或設(shè)置懸念導入新課來激發(fā)學生的求知欲；或者在教學過程中為研究需要而臨時產(chǎn)生一些嘗試性的研究活動，以及在教學過程中，學生提出了意想不到的觀點或方案等。顯然，關(guān)鍵在教師要創(chuàng)設(shè)好問題情境，必須要從學生的學習興趣出發(fā)，

要從知識的形成過程出發(fā)，要貼近學生生活，要帶有激勵性和挑戰(zhàn)性。只有這樣，才能引發(fā)學生的自主性學習，使學生的認知過程和情感過程統(tǒng)一起來。

2.自主探究，建構(gòu)新知

“以學生的發(fā)展為本”是新課程理念的最高境界，要發(fā)展學生智力，培養(yǎng)學生能力，教師在教學過程中，始終把學生放在主體的位置，教師所做的備課、組織教學、教學目標的確定、教學過程的設(shè)計、教學方法的選用等等工作，都從學生的實際出發(fā)，要在課堂上最大限度地盡量地使學生動口、動手、動腦，極大地調(diào)動學生學習的積極性和主動性，養(yǎng)成良好的自學習慣，培養(yǎng)刻苦鉆研精神。促進學生主動參與、主動探索、主動思考、主動實踐。如果創(chuàng)設(shè)的情境達到了前面的要求，那么學生會自然地產(chǎn)生一種探究的欲望。教師只要適當?shù)亟M織引導，把學習的主動權(quán)交給學生，讓學生自主地嘗試、操作、觀察、動手、動腦，完成探究活動。因為學生是信息加工的主體，是意義的主動建構(gòu)者，教師是學生意義建構(gòu)的幫助者、促進者。

3.合作交流，完善認知

在教學中，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，合作小組內(nèi)自主探索、交流、對話，獲得成效。小組之間互相交流、評價，達到教學互動、互促，形成比、學、趕、幫的學習氛圍，從而使學生在合作交流的過程中學會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果，體會在解決問題過程中與他人合作的重要性和感受獲得成功的喜悅。組織學生合作交流要注意以下幾點：①合理分組。按學生學習可能性水平與學生品質(zhì)把學生分成不同層次，實行最優(yōu)化組合，組建“學習合作小組”；②培養(yǎng)和訓練學生的合作技能。即要提出合作建議讓學生學會合作，小組合作交流要充分體現(xiàn)學生的自主性，而且要求學生按一定的合作程序有效地開展活動；③教師的激勵性的評價是進一步促進合作的催化劑。評價應是更多地重視對小組的評價，注重小組成員的參與度及活動結(jié)果中的成果，從而培養(yǎng)學生的合作精神，縮小優(yōu)差生的距離；④教師要參與學生的小組活動。教師既要巡視并檢查學生對問題的解決情況，又要收集學生的學習信息，以便適時引導、點撥，促進其思維的不斷深化，完善認知。

數(shù)學研究論文范文第5篇

關(guān)鍵詞：新課改疑慮問題

新一輪基礎(chǔ)教育改革給我們每一位教師帶來了嚴峻的挑戰(zhàn)和不可多得的機遇。本次課程改革，不僅改變了教師的教育觀念，而且還改變了老師們每天都在進行著的習以為常的教學方式、教學行為。因此，對我們每一位教師提出了更高的要求，教師只有在教學中解決了這幾方面的問題，才能更好地開展教學。

一、課堂教學中探究學習實施的疑慮

疑慮一:關(guān)于探究中的錯誤

傳統(tǒng)教育是"永遠正確"的教育，是消滅錯誤、鄙視錯誤的教育，這種教育讓學生在錯誤面前得到的是緊張、羞愧，而不是理性的分析與反思?？茖W的歷程正是在無數(shù)的失敗與對成功的批判中發(fā)展的。教育背景中學生的失敗是讓他們掌握得到真理方法的重要途徑，美國教育家杜威說過："失敗是有教導性的。真正懂得思考的人，從失敗和成功中學得一樣多。"所以，教師要善待學生在探究中的錯誤，要指導學生去發(fā)現(xiàn)錯誤，并以此引導他們掌握驗證的方法與對錯誤的坦誠態(tài)度。

疑慮二：關(guān)于學生探究前的知識基礎(chǔ)

探究學習不僅需要一定的知識為基礎(chǔ)，而且要求學習者具備應用知識的能力。但是，我們不能因為學生缺乏知識基礎(chǔ)，就放棄探究學習本身，實際上，科學家在進行某項科學探究活動前，也不一定就完全具備了進行探究的知識基礎(chǔ)，他必須在探究中不斷學習，才能彌補知識上的缺陷。所以，在學生進行探究活動前，教師要做充分的準備，特別需要了解：

（1）即將進行的探究學習需要的知識基礎(chǔ)是什么？

（2）目前學生的知識基礎(chǔ)能夠達到什么水平？還缺少哪些？

（3）學生可以通過什么途徑掌握那些知識？

（4）不同基礎(chǔ)的學生可能存在的差異是什么？

疑慮三：關(guān)于探究能力

能力的形成需要一個過程，這一點大多數(shù)教師都有親身體會，不論是培養(yǎng)學生解數(shù)學題的能力，還是解決物理問題的能力，或者是語文教師提高學生寫作的能力，都需要一個較長的過程。探究能力也是如此，應當盡可能早地進行這種能力的培養(yǎng)，最好從幼兒園、小學就開始?？上У氖牵^去幼兒園與小學還不夠重視，因此進入初中的學生非常缺乏探究的經(jīng)驗與能力。這就需要我們教師們花費一定的時間補上這一課。

疑慮四：關(guān)于教學進度

要花時間，必然影響教學進度。問題是：大多數(shù)學校在安排每學年教學進度時，并沒有考慮這一點。還是按照大綱中的知識要求與課本知識章節(jié)排出一學年的教學進度。這種以知識為中心的進度安排，本身就違背了新課程以能力發(fā)展為核心的要求。因此，要面對本地本校的實際，實事求是地構(gòu)建切實可行的課改方案。我認為：每學期開頭的幾周要將進度放慢一點，特別是起始年級，要調(diào)查研究這個年級學生探究能力的基本水平，選擇本學習期望達到的能力目標，在開學的三周內(nèi)，進行必要的探究技能，包括：自學、討論、圖書資料查詢、網(wǎng)絡(luò)運用、解釋、實驗等）培訓。后面的教學再進一步強化學科探究的技能，一旦學生能力形成，學習的效率必然會得到提高，教學進度的問題也就好解決了。

疑慮五：關(guān)于探究學習的尺度

在探究學習的視野中，課本就是探究的資源之一，但是，僅僅坐在課堂里，是得不到探究學習所需要的豐富資源的。探究學習需要學生走出教室，走進大自然、走進社會、走進圖書館、走進實驗室、走進網(wǎng)絡(luò)世界。不過，不論學生走到哪里，學校與教師依然要重視資源的開發(fā)問題。教師可以篩選確定適合學生水平的資源庫。當然，學生親身經(jīng)歷對自然或社會的探究，收集第一手的資料，與在圖書館、網(wǎng)絡(luò)或資源庫的第二手資料結(jié)合起來，因為，這兩種資料及其收集能力，都有不可替代的價值。

疑慮六：關(guān)于探究學習的資源開發(fā)

在探究學習的視野中，課本就是探究的資源之一，但是，僅僅坐在課堂里，是得不到探究學習所需要的豐富資源的。探究學習需要學生走出教室，走進大自然、走進社會、走進圖書館、走進實驗室、走進網(wǎng)絡(luò)世界。這就要求學校與教師依然要重視資源的開發(fā)問題，精心選擇最有利于學生進行探究學習的教學平臺，教師還可以篩選確定適合學生水平的資源庫。當然，學生親身經(jīng)歷對自然或社會的探究，收集第一手的資料，要與在圖書館、網(wǎng)絡(luò)或資源庫的第二手資料結(jié)合起來，因為，這兩種資料及其收集能力，都有不可替代的價值。

疑慮七：關(guān)于考試與評價制度改革

考試與評價改革似乎是教師們反對探究學習最有力的理由，但是，高考已經(jīng)發(fā)展到能力為評價核心的階段，注重能力的培養(yǎng)將逐步成為教學的中心任務，考試與評價制度本身將進行改革，學分制等更注重學習過程的發(fā)展性評價，將取代過去以考試為主的評價。新的評價機制主要突出兩點：一是強調(diào)綜合評價；二是強調(diào)過程性評價。用發(fā)展的眼光對學生進行評價。在強調(diào)綜合性評價，過程性評價的同時，也不要忽視必要的甄別和選拔考試，只是不要把它看成唯一的標準。目前，我國還沒有取消甄別和選拔考試，選拔考試仍然是我國選拔人才有效的辦法之一。

二、課堂教學中教師存在問題

問題一：流于形式。教師已經(jīng)有意識地把新課程引入課堂，但是，仔細觀察就會發(fā)現(xiàn)，在部分教師的課堂上，只是一種形式，缺乏實質(zhì)性改變。教學只求“表面熱鬧”。有的教師上課表面看起來課堂氣氛異?；钴S，盲目追求課堂教學中提問題的數(shù)量，一定程度上忽視了學生的參與度不均衡，學生間的合作不夠主動等問題，不能給學生充裕的時間，忽視對學生技能的訓練與培養(yǎng)。其實，“活而不亂”才是新課程背景下課堂教學追求的理想目標。

問題二：過于追求教學的情境化。創(chuàng)設(shè)教學情境，不僅可以使學生容易掌握數(shù)學知識和技能，而且可以使學生更好地體驗教學內(nèi)容中的情感，使原來枯燥的、抽象的數(shù)學知識變得生動形象、饒有興趣。但部分教師過于注重教學的情境化，為了創(chuàng)設(shè)情境可謂是“冥思苦想”，好像數(shù)學課脫離了情境，就不是新課程理念下的數(shù)學課。事實說明，有些教師辛辛苦苦創(chuàng)設(shè)的情境，并沒有起到應有的作用。往往因為被老師創(chuàng)設(shè)的情境所吸引，而久久不能進入學習狀態(tài)。

問題三：教師在課堂上不敢張口講話。不知從何時起，我們的數(shù)學教學很忌諱老師的“講”。不少老師把“少講”或“不講”作為平時教學的一個原則，因為他們知道，講了就會有“灌輸”“填鴨”之嫌。從學習方式看，學生的數(shù)學學習可以分為兩種基本形式：一種是有意義的接受學習，一種是有意義的發(fā)現(xiàn)學習。無論是有意義的發(fā)現(xiàn)學習，還是有意義的接受學習都是數(shù)學學習中的重要學習方式。在改革的同時，我們要注意對傳統(tǒng)的繼承和發(fā)展。課堂上是不是講，真正的問題在于講什么、怎樣講。一般來說，陳述性的、事實性的知識，可以讓學生運用接受學習的方法進行學習。教師該引導的要引導，該問的要問，該點的要點，該講的要講，要充分發(fā)揮教師和學生兩方面的主動性和創(chuàng)造性。

問題四：教學過于追求手段現(xiàn)代化。運用多媒體計算機輔助教學，能較好地處理好大與小，遠與近，動與靜，快與慢，局部與整體的關(guān)系，使學生形成鮮明的表象，啟迪學生的思維，擴大信息量，提高教學效率。為此，講課教師不惜花費一周甚至數(shù)周的時間精心制作課件?？山Y(jié)果并不理想，有的課件不過是課本搬家，只是起到了替代小黑板的作用；有的教師把界面搞得五彩繽紛，以為這樣可以吸引學生的學習興趣，結(jié)果適得其反，學生的注意力被鮮艷的色彩所吸引，忘記了聽老師講課，而忽略了課堂教學中應掌握的知識。計算機輔助教學要用在點子上，要注重實效。使用新技術(shù)并不一定代表新的教學思想。屏幕不能代替必要的板書，學具操作不能代替必要的教具演示，教師只有把現(xiàn)代化教學手段與傳統(tǒng)的教學手段（教具、學具、黑板）有機結(jié)合起來使用，優(yōu)勢互補，使教學手段整體優(yōu)化，才能提高課堂教學效率。