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分類討論的思想方法范文第1篇

關(guān)鍵詞：分類討論思想；一次函數(shù)；應(yīng)用

當(dāng)前，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想方法多種多樣。一個好的數(shù)學(xué)思想能輕松的解決生活中的實(shí)際問題，一種好的數(shù)學(xué)思想方法能便捷的使我們學(xué)習(xí)理解一個數(shù)學(xué)思想。本篇論文主要論述分類討論思想和一次函數(shù)及分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用。目前國內(nèi)外論述分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用的論文不勝枚舉，大多都是從函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像、實(shí)際應(yīng)用和解題需求這五個方面分類。首先，分類討論思想是基本數(shù)學(xué)思想方法之一。它是一種解決生活中的實(shí)際問題的邏輯方法。合理地使用分類討論思想，我們可以使繁瑣的問題簡單化，使解決問題的思路更有條理。分類討論思想在教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)際就是“化整為零，各個擊破”的教學(xué)策略。這也是為什么教材每個章節(jié)需要分各個小節(jié)。同時，分類討論思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，有助于提高學(xué)生的邏輯性、條理性、概括性，對于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和邏輯的數(shù)學(xué)思維有重要意義。使學(xué)生掌握分類討論的思想方法有助于提高學(xué)生解題能力和分析問題的效績。其次，一次函數(shù)是重要的幾類函數(shù)之一，合理的利用好一次函數(shù)可以便捷的解決生產(chǎn)和生活中的諸多問題。近年來的考綱都有應(yīng)用書本知識解決實(shí)際問題的考點(diǎn)，諸如成本最小化、經(jīng)濟(jì)效益最大化、方案最優(yōu)化等等?？梢娬莆蘸瘮?shù)思想的重要性，因此學(xué)生應(yīng)該學(xué)好一次函數(shù)。最后，學(xué)習(xí)一次函數(shù)常用到分類討論的思想方法。分類討論思想應(yīng)用到一次函數(shù)中使教學(xué)思路更有條理，教學(xué)方案更清晰明了。

一、淺談分類討論思想

（一）分類討論思想的起源

大家都知道數(shù)學(xué)思想方法的兩大源頭分別是中國的《九章算術(shù)》和古希臘的《幾何原本》。隨著古今學(xué)者的研究發(fā)展，數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)出現(xiàn)了很多種。分類討論思想方法就是眾多的基本數(shù)學(xué)思想方法之一。

分類現(xiàn)象自古就存在。遠(yuǎn)古時期，人們收集到的食物會分類保存。能長時間保存的和不能長時間保存的、可以播種的和不能播種的植物，能圈養(yǎng)和不能圈養(yǎng)的動物。一個狩獵團(tuán)體根據(jù)體質(zhì)差異也有分工，行動敏捷的成員負(fù)責(zé)吸引獵物的注意力，身體壯實(shí)的負(fù)責(zé)對獵物造成傷害，臂力大的負(fù)責(zé)投擲標(biāo)槍等等。現(xiàn)在分類現(xiàn)象隨處可見，各種各樣的職業(yè)共同推動社會發(fā)展，大小不一的零件使機(jī)器正常運(yùn)行。正是因?yàn)榉诸愃枷?，人們有條理的生活著，避免了很多的差錯與混亂現(xiàn)象。分類思想是古老文明的基本思想。

司馬遷編撰的《史記》 [1]卷六十五《孫子吳起列傳第五》曾記載“田忌賽馬”的故事，齊王與田忌賽馬，雙方按馬的速度將馬分為三等，齊王同等次的馬的速度均高于田忌。田忌將馬出場次序換位以下等馬對齊王的上等馬，以上等馬對齊王的中等馬，以中等馬對齊王的下等馬贏得比賽。田忌這種根據(jù)對方的馬出場次序而相應(yīng)的對自己的馬出場次序作出調(diào)整的思想方法就是分類討論思想。正是因?yàn)檫@一思想，田忌巧妙地贏得了比賽的勝利。為古代人的智慧史添上了絢麗的一筆。通過這個事例我們知道分類討論思想的重要性，分類討論思想其實(shí)與我們的生活息息相關(guān)。

現(xiàn)在已經(jīng)有很多的學(xué)者專家都有總結(jié)分類思想的含義，在《數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究導(dǎo)論》的第253頁指出：“分類是基本的邏輯方法之一，數(shù)學(xué)中的分類是按照數(shù)學(xué)對象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類以比較為基礎(chǔ)，通過比較識別出數(shù)學(xué)對象之間的異同點(diǎn)，然后根據(jù)相同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對象歸并為較大的類，根據(jù)差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對象劃分為較小的類，從而將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為具有一定從屬關(guān)系的等級系統(tǒng)?！?/p>

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，分類討論思想方法逐漸演化成數(shù)學(xué)思想方法的主要思想方法之一。同時，也正使得數(shù)學(xué)這門學(xué)科使得分類思想方法更加地深化與細(xì)化。如今，分類討論思想方法已經(jīng)是中高考試中的?？键c(diǎn)。

（二）分類討論思想的概念界定

我們先了解分類討論思想的漢語釋義。“分類”一詞在辭海中的釋義為根據(jù)事物的特點(diǎn)分別歸類。“討論”一詞在辭海中的釋義為就某一問題進(jìn)行商量或辯論。“思想”一詞在辭海中指思維活動的結(jié)果，屬于理性認(rèn)識。從分類討論思想的漢語釋義可以知道分類討論思想先分別歸類再逐一商量討論。

分類思想和分類討論有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？按從屬關(guān)系劃分，分類討論是一個種概念，分類思想是一個屬概念。分類思想并不專屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它是人們早期認(rèn)識世界面貌、改善生活條件的一種思維形態(tài)，即把復(fù)雜的事物依據(jù)其種類、性質(zhì)或品級進(jìn)行劃分或歸類。分類討論是分類思想實(shí)際應(yīng)用的一種具體形式，它要求把事物進(jìn)行劃分歸類，把分類的若干個種類進(jìn)行逐一的研究討論，最后把分類的若干討論結(jié)果歸納總結(jié)。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域各學(xué)者對于分類討論思想方法的概念界定幾乎大同小異，對于分類討論思想方法的概念幾乎不存在爭議。顧泠沅教授所著的《數(shù)學(xué)思想方法》有提到分類討論這一思想方法。在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)化整為零、集零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題是比較繁瑣復(fù)雜的，通常安排在解答題板塊，所占分值比較高。所以在高考試題中占有重要的位置。

（三）分類討論思想的分類原則與方法

分類討論思想的分類原則：（1）所要分類的對象必須是確定的（2）分類出的各級內(nèi)容必須是完整的，不能犯遺漏某一級這種錯誤（3）應(yīng)該按同一標(biāo)準(zhǔn)分類（4）各個集域應(yīng)當(dāng)是互斥的，不出現(xiàn)重復(fù)的集域（5）分類必須逐級進(jìn)行，不能越級分類。分類討論思想的分類方法：明確分類討論的對象，確定對象的所有內(nèi)容，明_分類的標(biāo)準(zhǔn)，將對象正確進(jìn)行分類；逐級進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果，歸納小結(jié)，綜合結(jié)論。

三、分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用

分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在一次函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像與實(shí)際應(yīng)用這幾個方面。

（一）分類討論思想在一次函數(shù)概念方面的應(yīng)用

如何來辨別一個函數(shù)關(guān)系是不是一次函數(shù)？前面已經(jīng)給出了一次函數(shù)的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)（linear function）.當(dāng)y=kx+b中的k是變量或者x的指數(shù)是變量時，該變量取不同的值會有不同的結(jié)果，因此就需要是用分類討論的思想方法逐一討論。

那么我們來看這道例題：

例4 已知函數(shù)y=（m-5）x2m-1+3x-1，當(dāng)m為何值時，該函數(shù)是一次函數(shù)？

分析：根據(jù)函數(shù)概念，本題應(yīng)該分為三種情況討論：當(dāng)m-5=0時，函數(shù)是一次函數(shù)；當(dāng)2m-1=1時，函數(shù)是一次函數(shù)；當(dāng)2m-1=0時，函數(shù)是一次函數(shù)。綜上所述，m=5或1或 。

（二）分類討論思想在一次函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用

我們已經(jīng)知道一次函數(shù)具有單調(diào)增減性，一次函數(shù)的增減性在生活中經(jīng)常用到。一次函數(shù)要么遞增要么遞減，因此又是也需要用到分類討論思想。

例5 一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)2≤ x ≤ 4時，10≤ y ≤ 14。求的值。

分析：此題中一次函數(shù)的單調(diào)性尚不明確，因此需要分為兩種情況討論：

當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時，即當(dāng)x=5時，y=10，當(dāng)x=4時，y=14，因此k=2， b=6

故=3，當(dāng)函數(shù)是單調(diào)遞減時，即當(dāng)x=2時，y=14，當(dāng)x=4時，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。

（三）分類討論在一次函數(shù)圖像位置方面的應(yīng)用

如果一次函數(shù)y=kx+b中的k或b不明確那么一次函數(shù)圖像在平面直角坐標(biāo)系中的位置也將不明確，因此很多時候需要用到分類討論思想來解決相關(guān)問題。

例6 已知正比例函數(shù)y=x和一次函數(shù)y=kx+2的函數(shù)圖像與x軸圍成了一個面積為1的三角形，求一次函數(shù)的解析式。

分析：此題中一次函數(shù)的斜率并不明確，因此函數(shù)圖像的位置需要分為兩類。因?yàn)橐呀?jīng)知道兩個函數(shù)圖像與x軸圍成的三角形面積是1，且一次函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）根據(jù)斜率將一次函數(shù)分為遞增和遞減兩類：當(dāng)一次函數(shù)單調(diào)遞增時，一次函數(shù)經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A（-1，0），一次函數(shù)解析式為y=2x+2；當(dāng)一次函數(shù)單調(diào)遞減時，一次函數(shù)經(jīng)過x軸上的點(diǎn)E（2，0），一次函數(shù)的解析式為y=-x+2。所以總結(jié)兩類討論，一次函數(shù)的解析式為y=2x+2或y=1x+2。作圖如圖3.1和圖3.2。

（四）分類討論在一次函數(shù)實(shí)際問題方面的應(yīng)用

一次函數(shù)應(yīng)用到實(shí)際問題中已經(jīng)是?？键c(diǎn)，這使數(shù)學(xué)更貼近生活，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力。而在一些典型題型中常需要用到分類討論思想。

例7 小明準(zhǔn)備換電話卡，現(xiàn)在他已經(jīng)了解了兩種電話卡的套餐。A卡套餐為每月通話不超過100分鐘，則按每分鐘0.2元收費(fèi)，若每月通話大于100分鐘則超出時長按每分鐘0.16元收費(fèi)；B卡套餐為每月通話不超過200分鐘按每分鐘0.2元收費(fèi)，若每月通話超過200分鐘超出時長則按每分鐘0.12元收費(fèi)。如果小明每月通話 分鐘，請問他該如何選擇套餐最劃算？

分析：此題尚不明確小明每月通話時長，因此需要分三種情況討論：

當(dāng)0≤ x ≤ 100時，顯然兩種卡消費(fèi)一樣。

當(dāng)100≤ x ≤ 200時，A卡有優(yōu)惠，B卡無優(yōu)惠，因此選擇A卡。

當(dāng)x>200時，設(shè)A、B兩卡消費(fèi)分別為y1、y2。A卡消費(fèi)為y1=0.16x+20，B卡消費(fèi)為y2=0.12x+40，當(dāng)y1=y2時，x=500因此又需要分三種情況討論：當(dāng)x=500時，A、B兩卡消費(fèi)一樣，當(dāng)200500時，y1>y2選B卡更劃算。

分類討論思想這是數(shù)學(xué)基本思想方法之一。學(xué)生熟練掌握了這一思想方法，將更有邏輯有條理的分析處理問題。一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它對于解決實(shí)際生活生產(chǎn)需要有重要意義。教師在教學(xué)一次函數(shù)時應(yīng)當(dāng)科學(xué)的選取適當(dāng)?shù)慕蘔方法，務(wù)必是學(xué)生理解掌握一次函數(shù)，并將其遷移到實(shí)際問題中去。

參考文獻(xiàn)：

[1]司馬遷，史記，北京聯(lián)合出版社，2016.

[2]王鴻鈞，孫宏安，數(shù)學(xué)思想方法引論，人民教育出版社，1992.

[2]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教師學(xué)習(xí)指導(dǎo)，2011.

[3]數(shù)學(xué)八年級下冊，人民教育出版社，2013.

[4]顧泠沅，數(shù)學(xué)思想方法，中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.

[5]潘興偉，初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，分類思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用，2015.

[6]姬梁飛，科教文匯，論分類討論思想方法，2017.

分類討論的思想方法范文第2篇

一、符號表述與換元的思想王鵬方法

符號表述是數(shù)學(xué)語言的重要特色，它能使數(shù)學(xué)思維過程更加概括、簡明.一句復(fù)雜的數(shù)學(xué)語言在用數(shù)學(xué)符號來表述時，讓人一看就明白.如“甲乙兩數(shù)和的三倍與它們差的兩倍的差”可簡單記為“3（x+y）-2（x-y）”，可見符號表述反映了數(shù)學(xué)思維的概括性和簡潔性.初一學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識剛剛從數(shù)過渡到式，用字母代替數(shù)的過程是從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的轉(zhuǎn)化過程.列代數(shù)式、求代數(shù)式的值是換元思想方法的初始時期，由此開始，換元的思想方法便貫穿在整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如在方程、方程組、不等式教學(xué)中，都可強(qiáng)化對“元”的認(rèn)識，滲透換元的思想方法.

二、化歸的思想方法

化歸，就是把問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，將其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或者比較容易解決問題的思想方法.這種方法的關(guān)鍵在于尋找待求問題與已有知識結(jié)構(gòu)的邏輯關(guān)系.中學(xué)數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出化歸的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為己知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想.在具體內(nèi)容上，有加法與減法的轉(zhuǎn)化，乘法與除法的轉(zhuǎn)化，乘方與開方的轉(zhuǎn)化，以及添加輔助線等都是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體手段.因此，在教學(xué)中首先要讓學(xué)生認(rèn)識到，常用的很多數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化的方法，從而確信轉(zhuǎn)化是可能的，而且是必須的.其次要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有意識的訓(xùn)練，使學(xué)生掌握這一具有重大價值的思想方法.在具體教學(xué)過程中設(shè)出問題讓學(xué)生去觀察，探索轉(zhuǎn)化的路子.例如在求解分式方程時，運(yùn)用化歸的方法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，進(jìn)而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程組時的“消元”，解一元二次方程時的“降次”都是化歸的具體體現(xiàn).

三、數(shù)形結(jié)合的思想方法

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛……”.數(shù)形結(jié)合的思想，可以使學(xué)生從不同的側(cè)面理解問題，加深對問題的認(rèn)識，提供解決問題的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

1.用“數(shù)”解“形”，利用數(shù)解決圖形的問題

利用數(shù)形結(jié)合思想解題時，常用代數(shù)知識去解決圖形問題.這時，應(yīng)利用代數(shù)知識的運(yùn)算法則或固定的數(shù)量關(guān)系圖分析圖形中的量，找到各個量之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而明確圖形特征.對相反數(shù)、絕對值的概念、有理數(shù)的大小比較、函數(shù)等知識的學(xué)習(xí)時，充分利用了數(shù)形結(jié)合的思想，很大程度上減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識的難度，更加便于對知識的理解.

2.以“形”示“數(shù)”，用形解決數(shù)的問題

對于一些較抽象的代數(shù)問題，我們常利用已知信息去構(gòu)造與之相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形特征來找到代數(shù)問題的答案.

例如若m，n（m

分析本題從方程的角度求解，難度較大，將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y1=1和y2=（x-a）（x-b）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即：利用函數(shù)圖象求解方程組.

解函數(shù)圖象如圖1.

所以，m，n，a，b 的大小關(guān)系是 m

3.“數(shù)”“形”結(jié)合

“數(shù)”“形”結(jié)合是指在一些問題中不僅僅只是以“數(shù)”解“形”，或以“形”示“數(shù)”，而是需要“數(shù)”“形”互變，既要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到直觀的“形”，還要由直觀的“形”聯(lián)系到“數(shù)”的嚴(yán)密，這類問題在解決過程中常需要同時從已知和未知條件入手，分析其中的聯(lián)系，找到“數(shù)”“形”的內(nèi)在聯(lián)系，這方面的運(yùn)用在解析幾何中較常見.例如：如在學(xué)習(xí)完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2時，我們可構(gòu)造出他們的直觀模型，通過“數(shù)”與“式”之間的對比來驗(yàn)證、理解，從而讓學(xué)生掌握公式.因此數(shù)形結(jié)合能夠更直觀、更形象地實(shí)現(xiàn)已知與未知之間的轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)解題的技巧性.

四、類比的思想方法

類比是最有創(chuàng)造性的一種思想方法，它是根據(jù)兩個或兩類對象之間有部分屬性相同，從而推出它們的某種屬性也相同的推理形式.類比不僅是思維的一種重要形式，而且是引入新概念的一種重要方法.例如，分式基本性質(zhì)的引入是通過具體例子引導(dǎo)學(xué)生回憶小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)通分、約分的根據(jù)――分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，再用類比的方法得出分式的基本性質(zhì).

五、分類的思想方法

中學(xué)數(shù)學(xué)分代數(shù)部分和幾何部分兩大類，采用不同方法進(jìn)行研究，就是分類思想的體現(xiàn)；從具體內(nèi)容上看，初中數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的分類，式的分類，三角形的分類，方程的分類，函數(shù)的分類等等，也是分類思想的具體體現(xiàn).對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行分類，降低了學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的針對性，在教學(xué)需要時啟發(fā)學(xué)生按不同的情況去對同一對象進(jìn)行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想.在初中數(shù)學(xué)中，分類討論的問題主要表現(xiàn)三個方面：（1）有的概念、定理的論證包含多種情況，這類問題需要分類討論，如幾何中三角形的分類、四邊形的分類、角的分類、圓周角定理等的證明，都涉及到分類討論.（2）解含字母系數(shù)或絕對值符號的方程、不等式，討論算術(shù)根，正比例和反比例函數(shù)中的比例系數(shù)，二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)a與圖象的開口方向等，由于這些系數(shù)的取值不同或要去掉絕對值符號就有不同的結(jié)果，這類問題需要分類討論.（3）有的數(shù)學(xué)問題，雖然結(jié)論唯一，但導(dǎo)致這結(jié)論的前提不盡相同，這類問題也要分類討論.分類時要注意①標(biāo)準(zhǔn)相同；②不重不漏；③分類討論應(yīng)當(dāng)逐級進(jìn)行，不能越級.

分類討論的思想方法范文第3篇

中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法有：函數(shù)與方程的思想方法、分類討論的思想方法、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法。

一、函數(shù)與方程的思想方法

1、函數(shù)與方程思想方法的含義

函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想。

（1）函數(shù)的思想，是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，集合與對應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。

（2）方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中的變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。

（3）函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的。對于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看作二元方程y- f（x）=0。方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決，如解方程f（x）=0，就是求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。

二、函數(shù)與方程思想方法的應(yīng)用

1、用函數(shù)觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題。

（3）公比q為參數(shù)的等比數(shù)列前n項(xiàng)和及求極限問題。

（4）解析幾何中含參數(shù)的直線與圓錐曲線的方程問題。

如：對軌跡方程中參數(shù)a 的討論，確定曲線的類型。對直線的斜率分存在和不存在進(jìn)行討論。

（5）在立體幾何中，根據(jù)直線和平面所成角的概念，根據(jù)線與線，線與面，面與面的位置關(guān)系分類討論。

如：在同一平面的兩條直線的位置關(guān)系分平行或相交進(jìn)行討論。

（6）排列組合應(yīng)用問題，根據(jù)加法原理分類計(jì)算。

注意區(qū)分“分類”與“分段”的區(qū)別：分類是解決兩個對象的方法，結(jié)果對于每一類情況都要給出問題的結(jié)論；分段是解決一個對象的方法，結(jié)果對于每種情況的結(jié)論要合并。

三、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法

分類討論的思想方法范文第4篇

一、應(yīng)用實(shí)例講解數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與掌握必須由聽講、練習(xí)、復(fù)習(xí)等過程鞏固，數(shù)學(xué)思想方法必須經(jīng)過反復(fù)的練習(xí)才能讓學(xué)生真正領(lǐng)悟。通過反復(fù)的練習(xí)、逐步完善才能讓學(xué)生形成利用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識，構(gòu)建自我數(shù)學(xué)思想方法解題系統(tǒng)。函數(shù)章節(jié)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，開展函數(shù)教學(xué)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合思維方法，有利于學(xué)生依據(jù)已知條件，分析、討論對知識進(jìn)行整合，幫助學(xué)生建構(gòu)整體的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)獲得的成就感。

解析：這是一道較為典型的函數(shù)例題，老師根據(jù)數(shù)學(xué)思想的要求傳授學(xué)生解題的方法，也可以依據(jù)這一道例題對其它相關(guān)例題的解題方法進(jìn)行概括性的講授，確保學(xué)生遇到這類題目可以快速、準(zhǔn)確的找出解題方法。

本例題構(gòu)造出奇函數(shù)g（x），再借助奇函數(shù)定義解題非常容易。這道例題也展現(xiàn)出構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想，實(shí)際解題時，我們一般會構(gòu)造一個比較熟悉的模式，從而將不熟悉的轉(zhuǎn)化為所熟悉的問題進(jìn)行思考、解答。例如，學(xué)習(xí)三角函數(shù)時，經(jīng)常會運(yùn)用輔助角公式構(gòu)造一角一函數(shù)已有的模式。由此可知，構(gòu)造法有助于學(xué)生多方位的思考問題，對提升學(xué)生學(xué)習(xí)的深度和廣度具有重要意義。

二、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)解題中比較常見的思想方法，運(yùn)用這種方法可將部分抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變成可直觀的內(nèi)容，促使問題求解的問題更加簡潔。

解析：數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想之一，主要包括“以形助數(shù)、以數(shù)輔形”這兩方面的內(nèi)容，求解幾何問題也是研究數(shù)形結(jié)合的重要手段。同時，在求解方程解的個數(shù)及函數(shù)零點(diǎn)問題中也能應(yīng)用。以形助數(shù)和以數(shù)輔形可以讓繁雜的問題變得更加直觀、形象，提升數(shù)學(xué)問題的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性。因此，對部分抽象的函數(shù)題目，數(shù)學(xué)教師應(yīng)正確引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，使得解題思路峰回路轉(zhuǎn)，變得清晰、簡單。

三、應(yīng)用分類討論思想

分類討論思想就是依據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)與不通電，把豎向?qū)ο髣澐殖啥鄠€種類實(shí)施求解的一種數(shù)學(xué)思想。高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)教學(xué)中使用分類思想方法，有利于學(xué)生形成縝密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S模式，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題時，如果無法從整體角度入手解決問題，可以從局部層面解決多個子問題，從而有效解決整體的問題。

分類討論就是對部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，但所給出的對象不能展開統(tǒng)一研究時，必須依據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的特點(diǎn)，把問題對象劃分為多個類別，隨之逐類展開談?wù)摵脱芯?，從而有效解決問題。對高中數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行教學(xué)過程中，經(jīng)常根據(jù)函數(shù)性質(zhì)、定理、公式的限制展開分類討論，問題內(nèi)的變量或包含需要討論的參數(shù)時，必須實(shí)施分類討論。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須循序漸進(jìn)的滲透分類思想，在潛移默化的情況下提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。

解析：本例題解法可以根據(jù)函數(shù)圖象，借助偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱進(jìn)行解決，也可以根據(jù)兩個變量所處的區(qū)間，展現(xiàn)出分類討論的思想。對復(fù)雜的問題進(jìn)行分類和整合時，分類標(biāo)準(zhǔn)與增設(shè)的已知條件相等，完成有效的增設(shè)，把大問題轉(zhuǎn)換成小問題，優(yōu)化解題思路，降低解決問題的難度。

四、結(jié)語

總之，高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)是整個數(shù)學(xué)教育的重要部分，對其日后學(xué)習(xí)高等函數(shù)發(fā)揮著重要作用。高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識涵蓋多種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的鑰匙和重要工具，因此，數(shù)學(xué)老師必須對函數(shù)實(shí)施合理的教學(xué)，讓學(xué)生更全面的掌握數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法，從而提升學(xué)生的綜合思維能力。

參考文獻(xiàn)：

分類討論的思想方法范文第5篇

其中分類討論思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類是以比較為基礎(chǔ)的，它能揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，對培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性，提高學(xué)生全面、周密地分析問題和解決問題的素質(zhì)和能力起到十分關(guān)鍵的作用，故“分類討論”思想在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位。但初中學(xué)生常常分類討論的意識不強(qiáng)，不知道哪些問題需要分類及如何合理的分類。這就需要教師在教學(xué)中結(jié)合教材，創(chuàng)設(shè)情景，予于強(qiáng)化，需要區(qū)分種種情況進(jìn)行討論的問題，啟發(fā)誘導(dǎo)，揭示分類討論思想的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生自覺應(yīng)用分類討論的意識。

分類討論一般應(yīng)遵循以下的原則：

1.對問題中的某些條件進(jìn)行分類，要遵循同一標(biāo)準(zhǔn)。

2.分類要完整：不重復(fù)，不遺漏。

3.有時分類并不是一次完成，還須進(jìn)行逐級分類，對于不同級的分類，其分類標(biāo)準(zhǔn)不一定統(tǒng)一。

而在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中我們常在以下情況中應(yīng)用分類討論思想：

一、在概念教學(xué)中滲透分類討論意識和原則

分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，由于數(shù)學(xué)中的許多概念的定義是分類給出的或是不少概念都有一定的限制，如實(shí)數(shù)的分類：

例：比較a與-a的大小。

分析：易得a〉-a 的錯誤，導(dǎo)致錯誤在于沒有注意到數(shù)a可表示不同類型的數(shù)。應(yīng)分a〉0，a= 0，a

又例：在學(xué)習(xí)絕對值的定義時，要有意識地啟發(fā)學(xué)生從有理數(shù)分類進(jìn)行認(rèn)知的遷移，幫助學(xué)生概括出a>0，a=0，a

二、在法則、定理、公式導(dǎo)出過程中體現(xiàn)分類討論思想

有些數(shù)學(xué)性質(zhì)、公式或定理在不同條件下有不同的結(jié)論，或是結(jié)論在一定限制條件下才成立，這就要在教學(xué)的過程中逐步體現(xiàn)分類討論思想。

例：方程kx2-2x+5=0有幾個實(shí)數(shù)根？

學(xué)生往往不注意k對方程性質(zhì)的影響，討論或講評中，使學(xué)生明確系數(shù)k決定方程的次數(shù)，從而分k=0，k≠0兩類討論。當(dāng)k≠0時，再分>0，=0，

例：解關(guān)于x的不等式：ax+3>x+a

分析通過移項(xiàng)不等式化為（a-1）x>a-3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a-1>0，a-1=0，和a-1

當(dāng)a-1>0，即a>1時，不等式的解是x>a-3>/a-1；

當(dāng)a-1=0，即a=1時，不等式的左邊=0，此時不等式不成立；

當(dāng)a-1

又例：二次函數(shù)y=kx+b的圖像過哪幾個象限？

這道題勢必要考慮圖像的變化趨勢，又要考慮圖像與y軸交點(diǎn)的位置。要對字母k和b進(jìn)行分類討論。怎么分，則應(yīng)由學(xué)生討論，互相補(bǔ)充，互相評價，逐步完善。

三、在幾何中，常常由于圖形的的形狀、位置的不同而要進(jìn)行分類討論

例如：若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長。

簡析：已知條件并沒有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，應(yīng)有兩種情形。若設(shè)這個等腰三角形的腰長是xcm，底邊長為ycm，可得或解得或即當(dāng)腰長是6cm時，底邊長是9cm；當(dāng)腰長是8cm時，底邊長是5cm。

又例如：已知半徑為a的兩圓外切，半徑為2a且和這兩圓都相切的圓共有多少個？