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分類討論的方法范文第1篇

（一） 整體代換

當(dāng)需要分類討論的問題涉及到若干個體時，如能把若干個體視作一個整體處理，即采用整體代換這種常用的換元技巧，往往可使討論得到簡化．

例1已知函數(shù) f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，求實數(shù) a的取值．

分析 運用整體思想可知，一元二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值只能在區(qū)間端點處取得，若分別令端點值或頂點值等于2，即可優(yōu)先求出字母參數(shù) ，再檢驗求出的 a值是否與前提矛盾就不難了，這樣就避免了對字母參數(shù) a的分類討論．

解 f(x)=1-sin2x+asinx-a2+2a+5

=-(sinx-a2)2-34a2+2a+6

令 sinx=t，t[-1,1] ．

則

f(t)=-(t-a2)2-34a2+2a+6(t[-1,1] )．

（1）令 ymax=f(1)=2，即 -a2+3a+5=2，則 a=3±212．當(dāng)a= 3-212時，關(guān)于t 的一元二次函數(shù)的 f(t)的對稱軸 t0=a2[-1,1] ，此時應(yīng)有ymax=f (a2)，矛盾，舍去；當(dāng) a=3+212時，函數(shù) f(t)的對稱軸 t0=a2＞1，此時 ymax=f(1)，滿足題意．

（2）令 ymax=f(-1)=2，即 -a2+a+5=2，則 a=1±132．當(dāng) a=1-132時，關(guān)于 t的一元二次函數(shù) f(t)的對稱軸 t0=a2＞1，此時應(yīng)有 ymax=f(1)，矛盾，舍去；

（3）令 ymax=f (a2)=2，即 -34a2+2a+6=2，則 a=-34或 a=4．當(dāng) a=-34時，關(guān)于t 的一元二次函數(shù)f(t) 的最大值應(yīng)為 f(a2)，滿足題意．當(dāng) a=4時，函數(shù) f(t)的對稱軸 t0=a2＞1．此時應(yīng)有ymax=f(1) ，矛盾，舍去．

綜上，當(dāng) a=3+212或a= -34時，能使函數(shù) f(x)的最大值為2.

評析 這種放眼全局、避重就輕的做法解決了受局部牽制的被動，抓住了最大值的本質(zhì)，也就占據(jù)了“至高點”．

（二）挖掘隱含條件

在解分類討論問題中，如利用顯條件解題比較繁雜時，不妨調(diào)整思維角度，著力挖掘題目中的隱含條件，變隱含為明顯，常常能突破解題難關(guān)，開辟解題捷徑，這對于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性必然有益．

例2 已知函數(shù) f(x)=-12x2+x，是否有實數(shù) m,n(m＜n)使得函數(shù) f(x)的定義域、值域分別是[m,n] 和 [2m,2n]？若存在，求出m , n的值；若不存在，說明理由．

分析 定義域、值域都是兩個動態(tài)的區(qū)間，按常規(guī)做法需討論對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系，得出函數(shù)f(x) 在所給區(qū)間的單調(diào)性，從而求出函數(shù) f(x)在區(qū)間 [m,n] 上的值域，再與所給值域比較即可，這一過程需分三種情況討論，無法回避一個復(fù)雜的程序化的運算過程，但若能從題意中挖掘出“ n≤1”（即對稱軸在所給區(qū)間右側(cè)）這一隱含條件，則可得出函數(shù) f(x) 在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，從而避免繁瑣的分類討論．

解 一方面， f(x) =-12(x-1)2+12在 (-∞,+∞)上的最大值是12 ；另一方面，若存在滿足條件的 m,n,則 f(x) 在 [m,n] 上的最大值是 2n．所以[2m,2n] (-∞,1)，即有 2n≤12，得 n≤14＜1．從而函數(shù) f(x)在區(qū)間 [m,n] 上是增函數(shù)，

所以

f(m)=-12m2+m=2m,f(n)=-12n2+n=2n,

解得 m1=-2,n1=-2.

或 m2=0,n2=0.

又因為 m＜n，所以 m=-2，n=0 ．

評析 本題依據(jù)“函數(shù)在整體區(qū)間上的最大值不小于在局部區(qū)間上的最大值”這一個基本事實，挖掘出 n≤14＜1，從而避免了討論函數(shù) f(x)在所給區(qū)間上的單調(diào)性．

（三）逆向思維

有些問題直接討論可能情況較為復(fù)雜，而它的反面情形則較為簡單，這時根據(jù)“正難則反”的原則，我們應(yīng)逆向思維，從反面尋找簡化或避免討論的途徑．

例3 若函數(shù) f(x)=mx2+(m-3)x+1的圖像與 x軸的兩個交點中至少有一個在 的正半軸上，試求實數(shù) m范圍．

分析 由于要求“ f(x)的圖像與 x軸的兩個交點中至少有一個在 x軸的正半軸上”，所牽涉到的情況較為復(fù)雜，它包括：（1）兩個交點都在正半軸上；（2）只有一個交點在正半軸上，且后者又有另一交點在負(fù)半軸上或在原點．因此，求解過程顯然較繁．故從反面考慮，改求“使交點都不在 軸的正半軸上”的 m的取值范圍．

解 先考慮有兩個交點，則

m≠0,Δ=(m-3)2-4m＞0,

解得 m ＜1或 m＞9且 m≠0．

又當(dāng)兩個交點都不在 x軸的正半軸上時，有

3-mm＜0,1m＞0,

解得m＞3 ．

從而可知當(dāng) m＞9時， f(x)的圖像與 x軸的兩個交點都不在 軸的正半軸上．那么其反面的結(jié)果就是當(dāng) m ＜0或 0 ＜m＜1時，圖像與 x軸的正半軸至少有一個交點．

評注 上述方法從反面進行思考，從全集中去掉那些不符合題設(shè)的解集，而前提條件 Δ＞0及 m≠0在采用這種方法時極易被忽視．

（四）變換主元

有些分類討論問題中，往往有幾個變元，其中常有一個變元處于較為有利的位置，不妨稱其為主元．受思維定勢的影響，學(xué)生在解題時，總是抓住主元不放，結(jié)果造成分類復(fù)雜，解題過程繁瑣．如能采用變換主元，反客為主的策略，則往往化繁為簡，避免了討論．

例4 當(dāng) ｜m｜≤1時，不等式2x-1 ＞m(x2-1)(x≠±1)恒成立，求實數(shù) x的取值范圍．

分析 本題若以 x為主元對m 進行討論，則問題的解決就繁瑣得多，若以 m為主元則可避免對 x進行分類討論．

解 因為 2x-1＞m(x2-1)，所以m(x2-1) ＜0．

令 g(m)=m(x2-1)-(2x-1)，則g(m) ＜0在 m[-1,1]上恒成立．

因為 x≠±1，所以 x2-1≠0，故函數(shù) g(m) 為關(guān)于 m的一次函數(shù)，要使函數(shù)g(m) ＜0 在 m[-1,1]內(nèi)恒成立，需討論函數(shù) g(m) 在 m[-1,1]的單調(diào)性及其最大值．若能結(jié)合一次函數(shù)圖像，則易知只需端點值恒負(fù)，故

g(1) ＜0g(-1)＜0.

由 g(1)＜0，得：0 ＜x＜2；

由g(-1)＜0 ，得： x＞3-1或x ＜1-3．

分類討論的方法范文第2篇

關(guān)鍵詞：高考；數(shù)學(xué)；思想方法；分類討論

中圖分類號：G622 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）10-063-01

分類討論在數(shù)學(xué)的解題中具有十分重要的作用，在歷年的高考中都有考到，各題型都有出現(xiàn)，現(xiàn)就對其進行簡單小結(jié)，希望大家在此基礎(chǔ)上更加豐富數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)容。

一、分類討論的概念

1、所謂分類討論。就是當(dāng)問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，需要根據(jù)問題的條件和結(jié)論所涉及到的概念、定理、公式、性質(zhì)以及運算的需要、圖形的位置等進行科學(xué)合理的分類，然后對每一類分別研究，得出每一類的結(jié)論，最后匯總各類的結(jié)果，得到整個問題的解答.分類討論思想本質(zhì)上是一種“邏輯劃分思想”，即把所要研究的數(shù)學(xué)對象劃分成若干不同的情形，然后再分類進行研究和求解的一種數(shù)學(xué)思想，同時它也是一種重要的化難為易，化繁為簡的解題策略和方法，體現(xiàn)了化整為零，集零為整的思想。

2、分類原則。標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏、分清主次

3、分類討論的步驟。（1）判斷是否需要分類討論，明確討論的對象，確定所討論對象的取值范圍；（2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，進行科學(xué)合理分類，注意做到不重不漏；（3）逐類進行討論，分級進行，獲取階斷性結(jié)果及得出各類結(jié)果；（4）歸納各類結(jié)果，總結(jié)出結(jié)論。

分類討論的方法范文第3篇

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；分類討論；思想方法

【中圖分類號】G268【文章標(biāo)識碼】B【文章編號】1326-3587（2012）06-0102-01

數(shù)學(xué)家喬治• 波利亞說過：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”。隨著課程改革的深入，應(yīng)試教育“向”素質(zhì)教育“轉(zhuǎn)變的過程中，對學(xué)生的考察，不僅考查基礎(chǔ)知識，基本技能，更為重視考查能力的培養(yǎng)。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點。

數(shù)學(xué)分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中，應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學(xué)生研究問題，探索規(guī)律的能力。但是分類思想不象一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識

每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。比如在“有理數(shù)”這一章的教學(xué)中，反復(fù)滲透，強化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯誤。在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級討論。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

1、根據(jù)某些數(shù)學(xué)概念的定義進行分類

在初中階段的教學(xué)內(nèi)容中，一些數(shù)學(xué)概念的定義，如有理數(shù)的建立，絕對值的化簡，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，兩圓的五種位置關(guān)系等等……，都滲透著分類討論的數(shù)學(xué)思想，對涉及到分類討論思想的概念，教師在講授這些概念時要準(zhǔn)確、科學(xué)，要讓學(xué)生對分類討論思想的概念有正確的認(rèn)知、理解和牢固的掌握。

例1：已知a是有理數(shù)，那么 |a| 與a的關(guān)系是（ ）

（A）|a| > a（B）|a| < a（C）|a| = a （D|a| ≥ a

分析：絕對值概念是一種需要進行簡單的分類討論的概念

（1）當(dāng)a為正有理數(shù)或零時，|a| = a；

（2）當(dāng)a為負(fù)有理數(shù)，即a< 0時，|a|= -a > 0，|a| =-a> a．得正確答案：D。

但我們會發(fā)現(xiàn)，總有一部分學(xué)生會選C，究其原因，是沒弄清絕對值這一概念，認(rèn)為求一個數(shù)的絕對值，如：|5|=5；|-7。5|=7。5；……，只要去掉絕對值里面的負(fù)號．實際上，要講清絕對值這一概念應(yīng)從絕對值的幾何意義說起，也就是一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離，這樣學(xué)生自然而然的會得出絕對值的三種分類討論情況。

為了使學(xué)生能牢固掌握初中數(shù)學(xué)中有關(guān)涉及到分類討論思想的概念，有時可以采用讓學(xué)生操作、分組討論、師生一起加以歸納總結(jié)，同時增加變式訓(xùn)練的教學(xué)方法。

2、根據(jù)運算性質(zhì)的適用范圍或運算的特殊規(guī)定而分類

例2：知：（a+b）2011=-1，（a-b）2012=1，試求 a2011+b2012的值。

分析：由（a+b）2011=-1，得a+b=-1；由（a-b）2012=1，得a-b=1或-1

因此要分兩種情況進行求解：a+b=-1，a-b=1或a+b=-1，a-b=-1，所以a2011+b2012 的值為1或-1。

3、根據(jù)字母的不同取值進行分類

對于具體問題，如函數(shù)、方程、不等式中的解、求代數(shù)式的值等，它們隨著題中所給字母的不同取值而變化，這時要對字母的取值進行討論。

例3：當(dāng)m=________時，函數(shù)y=（m+5）x 2m＿1 +7x-3（x≠0）是一個一次函數(shù)。

分析：（m+5）x 2m＿1可能是一次項或常數(shù)項，也可能m+5=0，因此，分三種情況討論：

（1）2m-1=1；m=1

（2）2m-1=0；m=

（3）m+5=0； m= -5

只有抓住了分類討論的動因，把握住了分類的標(biāo)準(zhǔn)，才能做到分類時條理清楚、標(biāo)準(zhǔn)一致，在解答問題時就不會重復(fù)或遺漏，保證解題的準(zhǔn)確率。

4、根據(jù)某些定理或公式的限制條件進行分類

例4：已知：等腰三角形的一條腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角為________。

分析：這個等腰三角形的高的位置可能在其內(nèi)部或外部，這條高等于該三角形某一條邊的長度的一半，某一條邊又可分為底邊或腰兩種情況，所以要對高在三角形的內(nèi)部或外部以及高是底邊或腰的長度的一半進行分類討論，最后得出頂角為30º、120º或150º。

正確解答此類問題要分析清楚符合條件的圖形的各種可能位置，緊扣條件，分類出各種符合條件的圖形．是正確解答此類分類討論問題的關(guān)鍵，教學(xué)中應(yīng)注意對學(xué)生畫圖能力和空間想象能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生多操作、多思考，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，同時通過對開放性問題的討論，對條件的不確定性與結(jié)論多樣性的探索、猜想，充分拓展學(xué)生的思維空間，使他們的思維更深刻、廣闊、活躍。

5、根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況，這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法，是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

分類討論的方法范文第4篇

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點。

數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。

分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，就其引起分類的原因，可歸結(jié)為：①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；②運用的數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；③求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；④數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學(xué)生研究問題，探索規(guī)律的能力。

分類思想不象一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。

教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應(yīng)用

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識

每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機會。

整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、零、負(fù)有理數(shù)。教授完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法，如分為：有理數(shù)、有理數(shù)。為下一步分類討論奠定基礎(chǔ)。認(rèn)識數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a進行分類，得出正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三類。通過對正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對值的認(rèn)識，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。

又如，兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較是新的知識點，這就突出了學(xué)習(xí)的重點。結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯誤。在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級討論。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強學(xué)生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題

例1、已知函救y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m是實數(shù)）.如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個交點，求m的值.

分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分m-1=0和m-110兩種情況來研究解決問題。

解：當(dāng)m=l時函數(shù)就是一個一次函數(shù)y=-x-1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

當(dāng)m11時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y=（m-1）x2+（m-2）x-1

當(dāng)=（m-2）2+4（m-1）=0，得m=0.

拋物線y=-x2-2x-1，的頂點（-1，0）在x軸上

例2、函數(shù)y=x6–x5+x4-x3+x2–x+1，求證：y的值恒為正數(shù)。

分析：將y的表達式分解因式，雖可證得結(jié)論但較難。分析可發(fā)現(xiàn)，若將變量x在實數(shù)范圍內(nèi)適當(dāng)分類，則問題容易解決。

證明：⑴當(dāng)x≤0時

x5-x3-x≥0，y≥1恒成立；

⑵當(dāng)0

y=x6+（x4–x5）+（x2–x3）+（x–1）

x4>x5，x2>x3，1>xy>0成立；

⑶當(dāng)x=1時，y=1>0成立；

⑷當(dāng)x>1時

y=（x6–x5）+（x4–x3）+（x2–x）+1

x6>x5，x4>x3，x2>xy>1成立

綜上可知，y>0成立。

例3、已知ABC是邊長為2的等邊三角形，ACD是含30°角的直角三角形。ABC和ACD拼成一個凸四邊形ABCD。（1）畫出四邊形ABCD；（2）求四邊形ABCD的面積。

分析含30°角的直角三角形ACD中我們可以把AC作為斜邊、AC作為直角邊二類情況來研究。如圖1是以AC為斜邊和等邊三角形ABC拼成的四邊形ABCD（DDAC=30°和DDAC=60°這兩種圖形算出的四邊形ABCD面積相同的，故歸納為同一類）.AC為直角邊又可分為二種不同情況如圖2和3。從圖1，S四邊形ABCD=；從圖2，可算得S四邊形ABCD=；可算得S四邊形ABCD=3

分類討論的方法范文第5篇

孫峰春

（泰州市許莊初級中學(xué)，江蘇  泰州  225300）

摘  要：分類討論是解決數(shù)學(xué)問題的方法，也是處理復(fù)雜問題的有效途徑之一。所以，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中提高學(xué)生分類討論思想的引導(dǎo)，讓學(xué)生通過分類討論更好的掌握數(shù)學(xué)知識，這對于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)具有十分重要的意義。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；分類討論；教學(xué)

在解決數(shù)學(xué)問題時，由于受到各種條件的制約與變化因素的影響。我們一般會根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點與不同點，把它們分成不同種類進行討論。這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類思想方法。這種思想方法在數(shù)學(xué)中運用的十分廣泛，它不僅是解決數(shù)學(xué)問題的策略之一，還能訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與能力。

一、滲透分類思想，培養(yǎng)分類意識

生活中有很多現(xiàn)象都有分類知識，如人群的分類、動物的分類等。把生活中的分類現(xiàn)象遷移到數(shù)學(xué)中，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材中的分類現(xiàn)象，滲透分類的意識。如數(shù)的分類，不等式的性質(zhì)等，都屬于分類思想。例如：認(rèn)識字母a表示數(shù)后，就對數(shù)a進行分類，得出數(shù)a可表示正數(shù)、零、負(fù)數(shù)等。兩個有理數(shù)進行大小比較，可分為正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，這樣學(xué)生通過對兩個有理數(shù)大小比較、分類討論后，就能系統(tǒng)的掌握兩個有理數(shù)大小比較的運用。結(jié)合“有理數(shù)”內(nèi)容的教學(xué)，這樣來強化數(shù)學(xué)分類思想，讓學(xué)生逐步形成分類的意識。并能在分類討論中掌握基本原則。如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，否則就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)現(xiàn)象的發(fā)生。如：把有理數(shù)分成正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，那就犯下了分類標(biāo)準(zhǔn)錯誤。在確定分類對象后，還要分清它們的層次，弄清概念的內(nèi)涵與外延。

二、創(chuàng)設(shè)情境誘導(dǎo)，分類討論概念

在初中生 思維意識中還沒有分類討論的意識，遇到問題時不知道把問題進行怎樣的分類。這就需要我們結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，給他們創(chuàng)設(shè)分類的情境來啟發(fā)誘導(dǎo)，培養(yǎng)自覺應(yīng)用分類討論解決問題的意識。許多數(shù)學(xué)概念與定義都需要分類討論，如實數(shù)與有理數(shù)的分類、一元二次方程概念中對二次項系數(shù)的限定、平方根中對被開方數(shù)的限定、一元二次標(biāo)準(zhǔn)方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式、兩圓的位置關(guān)系等等。這些內(nèi)容都包含著分類討論的思想，對涉及到能分類討論的數(shù)學(xué)問題，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該準(zhǔn)確、科學(xué)，讓學(xué)生在對分類討論后的概念有正確的認(rèn)知，從而牢固的理解并掌握。例如：在一元二次方程一般式ax2+bx+c=0（a≠0）中有a≠0的規(guī)定，教學(xué)時就先讓學(xué)生討論當(dāng)a=0和a≠0時，方程是如何變化的。這樣，再讓學(xué)生討論關(guān)于x的一元二次方程 kx2-（k-1）x-2（3k-1）=0 中 k 的取值范圍，接著對概念的變式，去掉“一元二次”幾個字。提出問題：這是個什么樣的方程，如何進行求解。當(dāng)學(xué)生理解了概念中關(guān)鍵字詞以及補充條件后，就能分別對 a=0與a≠0兩種情況進行分類討論了。

三、分類已知條件，解決實際應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)中，用方程解應(yīng)用題很多。應(yīng)用題類型眾多，如工程問題、行程問題、濃度問題等。方程應(yīng)用題就是列出代數(shù)式方程對實際問題進行解答的一種題型。它包括一元一次方程組、二元一次方程、分式方程、一元二次方程等。一般解方程的步驟是：首先審題，然后設(shè)未知數(shù)，并列出方程，再解方程，最后是檢驗與作答。在這應(yīng)用題型中，常考的內(nèi)容多是聯(lián)系一些實際生活與社會熱點話題，如商品銷售與打折、儲蓄、環(huán)保問題等。例如：二元一次方程應(yīng)用題：①某一款式的衣服，平均每天能銷售20件，而每件服裝有25元的盈利，如果每件衣服降價一元，那么每天能多賣出2件，若每天需盈利600元，那么每件衣服應(yīng)降價多少元？② 甲、乙兩名員工承擔(dān)的生產(chǎn)任務(wù)數(shù)量相同，開始時，乙員工比甲員工每天少做4件任務(wù)，乙比甲多用了2天時間，如此甲、乙員工每人剩下642件任務(wù)。而后，乙員工對自己的生產(chǎn)技術(shù)進行了改進，每天能夠比原來多做6件生產(chǎn)任務(wù)，而甲的工作量保持不變，于是兩員工以相同時間完成了所有的生產(chǎn)任務(wù)，請問原來甲、乙兩人每天分別作多少件任務(wù)？每人的所有任務(wù)為多少？

四、總結(jié)反思延伸，挖掘分類思想

數(shù)學(xué)教育家弗賴母登塔爾說：“反思是數(shù)學(xué)活動的核心與動力。”在數(shù)學(xué)思維活動過程中，表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想方法我們應(yīng)該不失時機地進行討論、啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟出思想方法。首先，通過解題與反思活動，從具體數(shù)學(xué)問題與范例中概括、歸納解題方法，充分挖掘出隱含在所要教學(xué)內(nèi)容中的分類討論思想；其次，在解決問題的過程中，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)分類討論思想方法，對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想與轉(zhuǎn)化功能，實現(xiàn)舉一反三、觸類旁通。培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成反思的良好習(xí)慣，對于課本中的例題與習(xí)題，在教學(xué)后進行充分的反思：（1）這種方法是如何想出來的？關(guān)鍵的地方在哪？為什么有時想不出來？（2）還能找到更好的解題方法嗎？這個方法有實用性嗎？（3）通過解決一個問題，我們得到了什么？這樣的反思能較好的體現(xiàn)思維本質(zhì)，從而形成數(shù)學(xué)思想。例如：在教學(xué)“四邊形”后，就對整章內(nèi)容進行總結(jié)，學(xué)生對平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理與判定定理一般會很混淆，但是，如果按照邊、角、對角線來分類記憶，就可以有效的避免混淆現(xiàn)象的發(fā)生。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強分類討論訓(xùn)練，能有效的培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性與科學(xué)性。學(xué)生一旦形成優(yōu)良的思維品質(zhì)就必將產(chǎn)生深刻的影響。因此，我們在制訂教學(xué)目的與選擇教學(xué)方法時，應(yīng)該有意識的滲透分類思想，并在實際教學(xué)過程中加以運用。

參考文獻：

[1]楊繼梓.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類討論思想[J].陜西教育,2011,(05).