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摘要：作為研究隨機(jī)現(xiàn)象、統(tǒng)計規(guī)律的重要數(shù)學(xué)分支，概率論與數(shù)理統(tǒng)計在社會生產(chǎn)、生活中發(fā)揮著重要的作用。然而在傳統(tǒng)的教學(xué)理念下，概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)普遍存在“重理論、輕實踐”的現(xiàn)象。本文筆者將在充分結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科特點的基礎(chǔ)上，從具體教學(xué)案例出發(fā)，深入探究案例教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中所發(fā)揮的重要作用，旨在為促進(jìn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)改革與創(chuàng)新提供充足的理論依據(jù)與實踐借鑒。

關(guān)鍵詞：案例教學(xué)法；概率論與數(shù)理統(tǒng)計；教學(xué)研究；應(yīng)用

作為研究社會隨機(jī)現(xiàn)象、統(tǒng)計普遍規(guī)律的重要數(shù)學(xué)分支，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)理論其方法被普遍應(yīng)用于社會科學(xué)發(fā)展、生產(chǎn)生活及國民經(jīng)濟(jì)各個領(lǐng)域，從子彈的命中率問題、航天器的碰撞概率問題到硬幣投擲問題、彩票中獎問題都需要用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析和解答。正如法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾所言：“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率問題。”可見，概率論與數(shù)理統(tǒng)計在我們的生產(chǎn)生活中發(fā)揮著不可忽視的重要作用。這就需要高等數(shù)學(xué)中的概率與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)要充分結(jié)合本學(xué)科特點，在充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動性的基礎(chǔ)上，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效率、學(xué)習(xí)質(zhì)量、學(xué)習(xí)水平的不斷提高，為他們用概率論與數(shù)理統(tǒng)計理論知識解決實際問題奠定扎實的基礎(chǔ)。然而，我國當(dāng)前部分高校的概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中普遍存在“重理論講解、輕實踐操作，重技巧應(yīng)運用、輕數(shù)學(xué)思維”的現(xiàn)象，使學(xué)生花費大量精力學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計相關(guān)理論知識后，即便是得到較高的書面分?jǐn)?shù)，卻很難在實際生活中應(yīng)用所學(xué)知識靈活地解決實際問題，而無法達(dá)到學(xué)以致用的目的。這種傳統(tǒng)的教學(xué)模式不僅不利于學(xué)生綜合素質(zhì)和全面能力的培養(yǎng)及提高，而且還會因為枯燥的課堂教學(xué)扼殺學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、降低概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂教學(xué)的實效性。因此，新時代背景下的概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)，應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知水平、實際情況出發(fā)，在理論與實踐緊密結(jié)合思想的指導(dǎo)加強(qiáng)實用性教學(xué)。而案例教學(xué)法，即通過在課堂教學(xué)過程中引入有代表性的、學(xué)生感興趣的、與課堂內(nèi)容緊密結(jié)合的實際問題，實現(xiàn)對理論知識的分析和講解。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)過程中應(yīng)用案例教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，在發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、分析問題、解決問題的過程中，提高將概率論與數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)用于實際問題解決的相關(guān)能力。

一、案例教學(xué)法的特征及優(yōu)勢

案例教學(xué)法就是教師在課堂中通過引入與教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合的實際問題，并將其作為教學(xué)案例，引導(dǎo)學(xué)生參與案例分析和討論，實現(xiàn)理論知識與生活實踐的緊密結(jié)合，并促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、分析問題、解決問題及將理論知識應(yīng)用于生活實踐等相關(guān)能力的不斷提高。與其他數(shù)學(xué)課程一樣，概率論與數(shù)理統(tǒng)計也具有理解起來難度高、理論內(nèi)容豐富抽象、相關(guān)試題復(fù)雜多樣等特征?；谶@些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特征，傳統(tǒng)的教學(xué)方法不僅加大了教師的教學(xué)難度，而且也不利于教學(xué)效果的提高。這就需要教師積極的創(chuàng)新教學(xué)理念和教學(xué)方法，結(jié)合案例教學(xué)法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和積極性，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的不斷提高，以最終獲得理想的教學(xué)效果。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)，可以讓學(xué)生在生動形象的實際問題中，加深對抽象、難懂理論知識的理解。此外，學(xué)生還可以在具體案例的討論分析和探究過程中，獲得更高的學(xué)習(xí)熱情和興趣，以最終促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量和教師教學(xué)效果的全面提高。從教學(xué)的層面而言，案例教學(xué)法充分發(fā)揮了學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的主體作用，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、合作學(xué)習(xí)能力、探究學(xué)習(xí)能力。因此，案例教學(xué)法是溝通概率論與數(shù)理統(tǒng)計理論知識與生活實際相聯(lián)系的重要橋梁。

二、在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)法需注意的問題

再好的教學(xué)方法都應(yīng)該與教學(xué)內(nèi)容相適應(yīng)、與學(xué)生的認(rèn)知水平、興趣愛好相一致，案例教學(xué)法同樣也要滿足這些要求。因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)過程中應(yīng)用案例教學(xué)法需注意以下幾個問題：

1、案例的選擇

案例教學(xué)法的實施過程中，要特別注重對案例的選擇。要選擇與所學(xué)理論知識聯(lián)系密切且難易程度適中、便于學(xué)生理解的案例。同時，在課堂教學(xué)中的應(yīng)用的案例，還要具有一定的延伸性和拓展性，讓學(xué)生一方面可以在生動有趣的案例中，提高學(xué)習(xí)熱情；同時，也可以在經(jīng)典案例的指引下，開闊思維、拓展視野。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展史上，有很多像“平分賭金”一類的經(jīng)典案例。當(dāng)然教師也可以根據(jù)專業(yè)背景、社會趨勢的具體變化，審時度勢地選擇與教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合的案例，以為學(xué)生營造一個輕松、自由、和諧的課堂氛圍，最終實現(xiàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂教學(xué)的有效性的不斷提高。

2、案例教學(xué)的具體組織在應(yīng)用案例教學(xué)法時，教師要特別注意案例引入的時機(jī)和方法。教師要通過提出問題的方式，先為學(xué)生設(shè)下懸念，以調(diào)動起他們的學(xué)習(xí)欲望。然后，再帶領(lǐng)新生開始了解和認(rèn)識新知識，等他們對新知識有了初步的了解后，再結(jié)合之前案例中的問題，組織學(xué)生進(jìn)行討論、分析，自由發(fā)言。在學(xué)生討論過程中教師要做好巡場指導(dǎo)和問題解決工作；在學(xué)生發(fā)表觀點后，教師要及時地就發(fā)現(xiàn)的問題做深入的分析和解答，幫助學(xué)生建立其解決實際問題的具體思路和有效方法。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)過程中，應(yīng)用案例教學(xué)法的教師要特別注重對課堂時間的整體把握，要把握好案例討論和觀點表達(dá)的時間，要充分結(jié)合多媒體教學(xué)方式，以聲音、圖像、視頻等方式，將原本枯燥無味的理論知識形象生動地展示出來，為學(xué)生進(jìn)一步研究和深入探討奠定基礎(chǔ)。

三、案例教學(xué)法的運用實例

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中，從每道例題到專題討論都可以使用案例教學(xué)法。下文筆者將結(jié)合幾個具體案例，對案例教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用展開分析。結(jié)合經(jīng)典的“平分賭金問題”，引入數(shù)學(xué)期望和古典概率的相關(guān)知識。

案例1: 保羅和德梅爾是兩個賭技術(shù)相當(dāng)?shù)馁€徒，現(xiàn)他們各出六個金幣做賭注，賭前約定：誰先贏三局，就可以拿走所有的12枚金幣。而已知共堵了三局，保羅一勝兩負(fù)，但由于特殊原因要結(jié)束賭博，問如何分配這十二枚金幣，才能達(dá)到最大程度的公平。在引入這一案例后，教師可以留給學(xué)生幾分鐘的時間用于思考和討論，并表達(dá)自己的意見。根據(jù)學(xué)生的回答發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生是根據(jù)已經(jīng)比賽的結(jié)果來對金幣進(jìn)行分配，即保羅可以拿到1/3（4枚金幣），而德梅尓可以拿到2/3（8枚金幣）。在同學(xué)們表達(dá)完自己的想法之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對這一問題進(jìn)行深入的探討，來分析這種分法是否正確。教師引導(dǎo)學(xué)生思考如果再賭兩局會有以下四種結(jié)果：德德，德保，保德，保保。前三種情況都是德梅尓先勝三局，那么他就可以獲得12枚金幣。只有最后一種情況是保羅先勝3局，可以得到12枚金幣。因此，整體看來，德梅爾和保羅能分別獲勝的概率為 和 ，那么該案例中金幣合理的分配方法應(yīng)該是，德梅尓得到 （9枚金幣），保羅得到 （3枚金幣）。接下來教師就可以接著這個案例再進(jìn)步一步引出古典概率的相關(guān)理論知識。同時，從另一個角度而言，如果，引入一個隨機(jī)變量 ，用來代表再繼續(xù)賭兩局后德梅尓所得，則 的取值為0或12，概率分別是 和 。因此，德梅尓的期望所得為： 。接下來教師就可以順勢引出的 期望值就是 可能值和其概率相乘的累加，并引出“數(shù)學(xué)期望”的相關(guān)概念。此外，概率論與數(shù)理統(tǒng)計中還有經(jīng)典的“三門問題”，教師可以在教學(xué)過程中通過對“三門問題”的引用，以加深學(xué)生對概率統(tǒng)計原理和思想的認(rèn)識及理解，促進(jìn)學(xué)生運用知識能力的進(jìn)一步提高。

案例2: 美國二十世紀(jì)70年代有一個電視節(jié)目中有三扇門，在這三扇門后面有且僅有一扇門有獎品，節(jié)目參與者可以在這三扇門中任意選擇一扇門，主持人把另外兩扇門中沒有獎品的一扇門打開，然后問參賽者：“是否要換另外一扇門，還是堅持選擇最初的那扇門?！边@時大部分人憑直覺認(rèn)為，剩下兩扇未被打開的門中，有獎和沒獎的概率都是50%，因此沒有必要再做改變。然而用概率論的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析卻會得出相反的結(jié)論。原因是在最初參與者進(jìn)行選擇時，能選中有獎門的概率為 ，其余兩扇門的中獎概率是 。然而當(dāng)主持人打開確定沒有獎品的門之后， 的概率都集中到另外一扇參與者沒選的門上，而不會與參與者最初所選進(jìn)行二次概率分配。也就是說如果參賽者能堅持最初的選擇，那么中獎概率僅為 ，而如果參賽者改變選擇，中獎概率為 。因此，主持人打開一扇門之后，如果參賽者改變最初的選擇，則會提高中獎概率。

參考文獻(xiàn)：

【1】謝安，淺析概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)改革【J】，統(tǒng)計教育2005（04）：331-334.

作者：帕提古麗·木沙 米合甫孜·胡達(dá)拜地 單位：和田師范專科學(xué)校數(shù)學(xué)與信息學(xué)院