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1關于命題的兩個定義

關于命題，初中的定義是：判斷一件事情的語句叫命題；高中的定義是可以判斷真假的語句叫命題．這兩個定義都不嚴格．兩個定義中使用的“判斷”一詞，與語文中通常的意義不盡相同．在邏輯學上，它的意義是：判斷是對客觀事物有所肯定或否定的思維形式，判斷有真有假．所以，初中和高中的兩個定義在意義上是完全相同的：命題是這樣一個語句，這個語句能夠判斷真假．例如語句“4的平方根是2”，作為一個判斷，它是錯誤的，所以它是命題，是假命題．

2關于“或”、“且”的含義

復合命題“p或q”與“p且q”是用邏輯聯(lián)結詞“或”與“且”聯(lián)結兩個命題p與q，既不能用“或”與“且”去聯(lián)結兩個命題的條件，也不能用它們去聯(lián)結兩個命題的結論．

例1（1）已知p：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1；

q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2，

寫出“p或q”．

（2）p：四條邊相等的四邊形是正方形；

q：四個角相等的四邊形是正方形，

寫出“p且q”．

錯解：（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或x=2；（2）p且q：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形．

分析：（1）（2）兩題中的p、q都是假命題，所以“p或q”、“p且q”也都是假命題，而上述解答中寫出的兩個命題卻都是真命題．錯誤的原因是：（1）聯(lián)結了兩命題的結論；（2）聯(lián)結了兩命題的條件．

正確的答案是：

（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2．

（2）p且q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形．

這兩個命題都是假命題．

但是，在不影響命題真值的情況下，又可省略第二個命題的主語，這是符合語言習慣的．

例2已知p：菱形的對角線互相平分；

q：菱形的對角線互相垂直，

寫出“p且q”．

解：p且q：菱形的對角線互相平分且（菱形的對角線互相）垂直．

這個命題中括號內的部分可以省略．

文［1］中“4的平方根是2，或4的平方根是-2”，就不能簡寫成“4的平方根是2或-2”．

3關于“非”的含義

“非”的含義有下列四條：

3．1“非p”只否定p的結論

“非”就是否定，所以“非p”也叫做命題p的否定，但“非p”之“非”只否定命題的結論，不能否定命題的條件，也不能將條件和結論都否定，這也是“非p”與否命題的區(qū)別．所以欲寫“非p”應先搞清p的條件與結論．

例3p：有些質數(shù)是奇數(shù)．寫出“非p”．

錯解：有些質數(shù)不是奇數(shù)．

分析：因為p是真命題，所以“非p”應為假命題，上述命題不假，故答案錯．錯誤的原因是對p的條件與結論沒有搞清楚．這個命題的條件是“質數(shù)”，結論是“有些是奇數(shù)”，正確的解法：先將p寫成等價形式，質數(shù)有些是奇數(shù)，“非p”：質數(shù)無奇數(shù)．

不是用“不”否定“是”，而是用“無”否定“有些是”．

例4p：方程x2－5x＋6＝0有兩個相等的實根．寫出“非p”

錯解：方程x2－5x＋6＝0有兩個不相等的實根．

分析：命題p的條件是“方程x2－5x＋6＝0”，結論是“有兩個相等的實根”，所以“非p”應否定“有”，而不能否定“相等”，所以“非p”應為：方程x2－5x＋6＝0沒有兩個相等的實根．

3．2p與“非p”真假必須相反

例5寫出例1（2）中命題p的否定“非p”．

錯解：非p：四條邊都相等的四邊形不是正方形．

因為p是假命題，“非p”必須是真命題，而上述命題也是假命題，所以上述命題不是“非p”．

正確答案為

“非p”：四條邊都相等的四邊形不都是正方形．

“是”的否定有時為“不是”，有時為“不都是”，要視“是”的含義而定，此例的“是”，其含義是“都是”，故其否定為“不都是”．

3．3“非p”必須包含p的所有對立面邏輯聯(lián)結詞“非”相當于集合在全集中的補集．假定p與“非p”的結論所確立的集合分別是A、B，則A、B必須滿足A∪B=U（全集），A∩B=Ф．“非p”的結論必須包含p的結論的所有對立面．這一點如果不注意，使用反證法證題時就可能發(fā)生錯誤．因為反證法的理論依據(jù)是欲證p為真，可證“非p”為假，如果“非p”不包括p的所有對立面，反證法就站不住腳了．

例6p：方程x2－5x＋6＝0有兩個相等的實根．寫出“非p”．（與例4相同）

正像寫一個集合的補集必須先搞清全集一樣，這個題目也面臨類似的問題．因為實系數(shù)一元二次方程的解的情況有三種，任何一種的否定都應該包含另外的兩種，所以p的對立面是“方程x2－5x＋6＝0有兩個不相等的實根或無實根”．但“非p”不能這樣寫，而寫成等價形式：方程x2－5x＋6＝0沒有兩個相等的實根．

3．4“非p”必須使用否定詞語

寫“非p”時還要注意，必須使用否定詞語對正面敘述的詞語進行否定．

例7p：方程x2－5x＋6＝0有實根．寫出“非p”．

錯解：方程x2－5x＋6＝0有虛根．

盡管“虛”是對“實”的否定，但“虛”不是否定詞，“方程x2－5x＋6＝0有虛根”仍是簡單命題，正確答案為：方程x2－5x＋6＝0無實根．

4給定一個復合命題，寫出構成它的簡單命題時應注意的問題

例8指出構成下列復合命題的簡單命題：

（1）實數(shù)的平方是正數(shù)或0；

（2）4的平方根是2或-2；

（3）方程（x－1）（x－2）＝0的根為1或2；

（4）四邊相等且四個角相等的四邊形是正方形.

解：（1）p：實數(shù)的平方可能是正數(shù)；

q：實數(shù)的平方可能是0．

注：因為實數(shù)的平方只有正數(shù)或0兩種情況，所以由p、q構成的“p或q”中，“可能”一詞就可省略而成為“實數(shù)的平方是正數(shù)或0”，文［1］中認為它是簡單命題，這種認識是錯誤的．同樣，后三個小題的答案為：

（2）p：4的平方根可能是2；

q：4的平方根可能是-2

（3）p：方程（x-1）（x-2）=0的一個根是1；

q：方程（x-1）（x-2）=0的一個根是2．

（4）p：四邊相等的四邊形可能是正方形；

q：四個角相等的四邊形可能是正方形．

在由p、q寫“p或q”、“p且q”時，有些詞語可以省略，反過來由“p或q”、“p且q”寫p、q時，省略的詞語必須補上．而由“非p”寫p時，必須先搞清“非p”的條件和結論．

結束語：命題的結構問題是很復雜的，中學只研究結構簡單的命題，本文的一些觀點只是筆者的一點教學體會，不當之處，歡迎同行專家指正．

參考文獻

1關于命題的困惑，中學數(shù)學教學參考，2002，1～2合期

2能力培養(yǎng)與測試，高一數(shù)學第一冊（上）北京：人民教育出版社