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摘要：本文回顧了常用的幾種巖石粘彈性本構(gòu)模型，依據(jù)蠕變?nèi)崃康母拍睿梦灰坪腿渥內(nèi)崃績刹椒捶治龇◤恼硰椥员緲?gòu)模型的一般表達(dá)式中辨識出巖石的本構(gòu)模型.先由相應(yīng)的位移實(shí)測值用解析法反演巖石的蠕變?nèi)崃?，再由巖石的蠕變?nèi)崃窟\(yùn)用非線性優(yōu)化技術(shù)辨識出巖石本構(gòu)模型表達(dá)式，最后進(jìn)一步由模型參數(shù)反算出巖體的粘彈性參數(shù).文中最后給出了工程實(shí)例.

關(guān)鍵詞：粘彈性本構(gòu)模型蠕變?nèi)崃績刹椒捶治龇ǚ磫栴}巖石

巖體屬于各向異性流變介質(zhì)，由于其客觀復(fù)雜性，在巖體理論分析和數(shù)值模擬方面，參數(shù)和模型的正確給定是巖石力學(xué)研究中的兩大難題，它們的合理性將大大增強(qiáng)巖體工程分析設(shè)計(jì)的可靠性.新奧法施工及目前廣泛應(yīng)用的現(xiàn)場監(jiān)控法或信息反饋施工法是把巖石的變形觀測作為對原設(shè)計(jì)及施工方案進(jìn)行修正的依據(jù)[1，2].這些方法緊密結(jié)合工程實(shí)際指導(dǎo)修改原設(shè)計(jì)，收到了良好的效果，已廣泛應(yīng)用于巖土工程實(shí)踐領(lǐng)域.參數(shù)取值，傳統(tǒng)的方法大多憑經(jīng)驗(yàn)、工程類比來進(jìn)行，常常不能作出科學(xué)的判斷.參數(shù)反演作為參數(shù)辨識的一種方法，是基于實(shí)測位移反求系統(tǒng)某種參數(shù)的一種逆問題，對確定認(rèn)識系統(tǒng)和進(jìn)一步正演分析相當(dāng)重要.參數(shù)的辨識，包括模型參數(shù)的辨識，是在模型的結(jié)構(gòu)式給定的情況下進(jìn)行的，模型的給定與實(shí)際相符合的程度顯然相當(dāng)重要.工程巖體是復(fù)雜的不確定系統(tǒng)，巖體的流變力學(xué)模型較多，模型識別的問題有著重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值.在巖體本構(gòu)模型的辨識，尤其是與時(shí)間有關(guān)的粘彈性本構(gòu)關(guān)系辨識方面當(dāng)前還有許多問題值得研究.

本文回顧了工程應(yīng)用和科學(xué)研究中幾種常用的巖石粘彈性本構(gòu)模型，然后依據(jù)蠕變?nèi)崃扛拍睿梦灰坪腿渥內(nèi)崃績刹椒捶治龇◤恼硰椥员緲?gòu)模型的一般表達(dá)式中辨識巖石本構(gòu)模型，第一步由相應(yīng)的位移實(shí)測值用解析法反演巖石的蠕變?nèi)崃浚诙接蓭r石的蠕變?nèi)崃窟\(yùn)用非線性優(yōu)化技術(shù)辨識出巖石本構(gòu)模型的表達(dá)式，最后進(jìn)一步由模型參數(shù)與粘彈性參數(shù)的關(guān)系反算出巖石的粘彈性參數(shù).

1粘彈性本構(gòu)模型回顧

工程巖體的長期穩(wěn)定性是當(dāng)今巖土工程領(lǐng)域的一個十分重大的前沿問題[3].工程巖體的變形破壞是有時(shí)間過程的，具有時(shí)間效應(yīng)，巖體流變是巖體的重要基本力學(xué)特性和行為，對于某些實(shí)際巖體工程，研究變形的時(shí)間效應(yīng)有著極其重要的意義[8,9].真實(shí)巖體是一種非連續(xù)、非均質(zhì)、各向異性的流變介質(zhì)，目前很難用數(shù)學(xué)手段作出適當(dāng)精確描述.在一定情況下，可將巖體視為似連續(xù)、均勻化、類各向同性介質(zhì)，采用經(jīng)驗(yàn)與理論相結(jié)合，定量分析定性使用的原則，對工程設(shè)計(jì)與施工起重要的定性指導(dǎo)作用[10,11].在這一前提下，在巖土工程應(yīng)用和科學(xué)研究中提出的粘彈性本構(gòu)模型主要包括經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃徒M合模型[5](彈性和粘性元件的不同組合而成).表1列出了常用的幾種微分型組合模型的公式及其特征(h代表彈性元件，n代表粘性元件).在一般狀態(tài)下，這些組合模型的本構(gòu)方程微分形式的一般式可表示為[5]

表1常用巖石粘彈性微分型組合本構(gòu)模型

式中：

式(1)即線粘彈性微分型本構(gòu)關(guān)系的一般表達(dá)式.

2粘彈性模型識別

2.1巖體介質(zhì)蠕變?nèi)崃康拇_定在彈性巖體中開挖任意形狀斷面的隧道，應(yīng)用平面復(fù)變影射、保角變換方法可得圍巖內(nèi)任一點(diǎn)在曲線坐標(biāo)中的位移為[7]

由彈性理論確定.其中：ω(ζ)為垂直隧道軸線的物理平面z上的非圓形洞室外域到數(shù)學(xué)平面ζ內(nèi)單位圓外域的映射函數(shù)；φ(ζ)和ψ(ζ)為滿足應(yīng)力邊界條件的復(fù)勢函數(shù).

應(yīng)用彈性—粘彈性對應(yīng)原理，對照式(2)，得出任意斷面的隧洞內(nèi)任一點(diǎn)因開挖引起的粘彈性位移在曲線坐標(biāo)中的表達(dá)式為[8]

d(x)為荷載逐步釋放系數(shù)，若計(jì)算斷面遠(yuǎn)離開挖面，則可作為平面應(yīng)變問題處理；若接近開挖面，則嚴(yán)格說來是空間問題.為使問題簡化，考慮了開挖面空間效應(yīng)后，仍作為平面問題來處理.開挖面空間效應(yīng)通過洞周釋放荷載逐步釋放代替瞬間完全釋放來體現(xiàn).據(jù)研究資料[4]表明，其取如下形式：d(x)=1-0.7exp(-3.15x/2a).其中，a為隧洞半徑；p0為垂直向初始地應(yīng)力；g為剪切模量；r為所考慮點(diǎn)到隧道軸線的距離；λ為側(cè)壓力系數(shù)；k為體積模量，d(x)為應(yīng)力釋放系數(shù)，x為計(jì)算斷面距開挖面距離.

在流變巖體中開挖任意形狀的隧道，在開挖之前布置量測儀器，可測到由于開挖引起的全部位移，在ti時(shí)刻可測到n個測點(diǎn)由于開挖引起的相對徑向全部位移，記為uk(ti),k=1,2,，…，n,i=1,2,,…，l(假定量測了l個時(shí)段)，代入式(4)，則有蠕變?nèi)崃縥l(ti)和廣義蠕變?nèi)崃縥2(ti)的線性方程組

2.2粘彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的確定線粘彈性微分型本構(gòu)關(guān)系的一般表達(dá)式如式(1)所示，對其進(jìn)行拉氏變換，考慮光滑化假定，得[7]

對于(s)=0有重根或虛根的情況，j(t)中含有時(shí)間t的階次項(xiàng)和正余弦項(xiàng)，且未知參量個數(shù)增加，給反演優(yōu)化大大增加了難度，收斂性差，不利于程序的統(tǒng)一編制，這里作了一些簡化，在工程實(shí)際中，復(fù)雜的高階次模型也不必要.

式(10)中，在模型階次確定時(shí)，參數(shù)ai(i=1～2m+1)與模型式(1)中的模型參數(shù)p0,p1,p2,…,pm,q0,q1,q2,…,qn有一定的對應(yīng)關(guān)系，由式(9)和式(10)可推導(dǎo)得出，模型參數(shù)均可用ai簡單運(yùn)算表達(dá).

表2常用巖石粘彈性模型參數(shù)表

利用實(shí)測位移由式(6)可求出眾多不同時(shí)段ti的蠕變?nèi)崃縥i(ti)的最佳估計(jì)值，又由式(10)可得相對應(yīng)的j(ti)(i=1～l)，因而構(gòu)造如下的非線性優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

（11）

式(10)是ai的非線性函數(shù)，該問題是一非線性最小二乘優(yōu)化問題，帶約束的隱式非線性優(yōu)化問題，這里采用了可變?nèi)莶顑?yōu)化方法，它是在單純形法和復(fù)合形法的基礎(chǔ)上變化而來，具體見文獻(xiàn)[6].

上述模型參數(shù)估計(jì)是在模型已經(jīng)確定的情況下進(jìn)行的，即偏微分方程的階次m,n為已知的.這里模型的最佳階次m,n的確定不是通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)求出，而是通過試驗(yàn)來確定的.令模型階次m,n的取值從1開始，分別以步長1遞增，比較m,n取不同值時(shí)最優(yōu)估計(jì)式(11)的值，即擬合誤差.通常隨著階次增大，擬合誤差下降.但當(dāng)階次為最佳階次時(shí)，擬合誤差達(dá)到最?。蝗缓箅S著m,n的增大，擬合誤差趨向增大.

3粘彈性參數(shù)的反算

粘彈性力學(xué)本構(gòu)模型中的模型參數(shù)為粘彈性參數(shù)的函數(shù)，若辨識出巖石的粘彈性微分型模型，則可反算出巖石的粘彈性參數(shù)，這里粘彈性參數(shù)包括彈性模量和粘性系數(shù).在研究和工程應(yīng)用中，常用的幾種粘彈性模型已在表1中列出，它們的模型參數(shù)與粘彈性參數(shù)的關(guān)系如表2，可以反算出相應(yīng)的巖體力學(xué)參數(shù).

4工程實(shí)例

某地下工程開挖一條半徑為2.0m的試驗(yàn)洞，圍巖體可視為均勻各向同性粘彈性體.圍巖垂直初始應(yīng)力為4.5mpa，側(cè)壓力系數(shù)為1.5，泊松比為0.26.實(shí)測數(shù)據(jù)由通過圓中心的水平和豎直兩條測線l1和l2得到.以某斷面被開挖瞬間作為時(shí)間起點(diǎn)進(jìn)行觀測，實(shí)測數(shù)據(jù)如表3所示.

表3各測線的位移實(shí)測值(單位：mm)

將上述實(shí)測結(jié)果及洞室?guī)缀纬叽绲葦?shù)據(jù)輸入到用本文方法編制的程序中，進(jìn)行迭代計(jì)算.第一步利用位移量測值由式(6)得出不同時(shí)段的蠕變?nèi)崃恐?，第二步由?jì)算出的不同時(shí)段的蠕變?nèi)崃恐低ㄟ^式(11)優(yōu)化計(jì)算，得到如表4所示結(jié)果.由表4可得出，模型的階次為1階，相應(yīng)辨識出的模型為0.329×10-8σ+0.366×10-4=0.843×10-3ε+

由實(shí)測數(shù)據(jù)初始時(shí)刻位移及辨識的模型形式初步確定，該巖體粘彈性模型可作為三參量kelvin-voigt模型，由表2反算粘彈性參數(shù)為e1=2.73e+4，e2=4.14e+5，η=4.91e+8，彈模型單位為mpa，粘性系數(shù)單位為mpa·d.

上述結(jié)果同已有的勘測和試驗(yàn)成果較一致，室內(nèi)試驗(yàn)的結(jié)果為e1=2.51e+4，e2=4.62e+5，η=5.36e+8.

如果量測數(shù)據(jù)較多，可多算出幾組結(jié)果，統(tǒng)計(jì)出其中擬合誤差最小的階次所占的百分比，通過百分比最高的階次來得出模型的階次及模型參數(shù).

表4模型辨識計(jì)算結(jié)果

5結(jié)語

巖體本構(gòu)模型辨識及參數(shù)反演是巖石力學(xué)理論和工程實(shí)踐的重要問題，本文依據(jù)蠕變?nèi)崃棵鞔_的物理意義，初步探討了通過兩步反分析辨識出巖體的粘彈性模型，并對于常用的粘彈性模型反算出其粘彈性參數(shù)，粘彈性模型的表達(dá)式取自于線粘彈性模型的一般形式.算例表明有較好的工程實(shí)用價(jià)值.對于工程巖體，完全符合某一種力學(xué)模型是難以做到的，但可以根據(jù)一定的匹配原則，在允許誤差內(nèi)選取最恰當(dāng)?shù)牧W(xué)模型.巖體本構(gòu)模型辨識當(dāng)前研究相對較少，如何選取適當(dāng)?shù)钠ヅ錅?zhǔn)則來獲得最佳模型仍是今后需要進(jìn)一步深入研究的課題.