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進(jìn)階式數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練范文第1篇

1.研究的背景

幾何課程改革歷來是人們關(guān)注的焦點(diǎn)。2005年第四期《數(shù)學(xué)通報(bào)》刊登了一些數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)：初中是青少年智力發(fā)展最為迅猛的階段，此階段如果推理論證能力訓(xùn)練不足，那么學(xué)生后續(xù)的理性概括能力、抽象能力、科學(xué)精神都會(huì)不足。同年，《光明日報(bào)》教育周刊上報(bào)道了姜伯駒院士的類似觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)家們基本上都對平面幾何部分的改革提出質(zhì)疑，反對刪掉過多的內(nèi)容。一線教師也特別青睞平面幾何在解決問題時(shí)所表現(xiàn)出的優(yōu)越性：難度的層次性、結(jié)果的可預(yù)見性，特別是其對于學(xué)生的推理能力培養(yǎng)具有良好的價(jià)值。而課標(biāo)修訂組的專家認(rèn)為，所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容都具有培養(yǎng)學(xué)生的推理能力的價(jià)值。2011年頒布的《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂）》進(jìn)一步削弱了對平面幾何的要求，如刪除了梯形、等腰梯形的相關(guān)內(nèi)容，視點(diǎn)、視角、盲區(qū)，計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積等。這更加引發(fā)了許多一線教師和從事教育的專家學(xué)者對平面幾何改革的討論。

本研究通過調(diào)查學(xué)生的幾何推理能力與學(xué)生的幾何思維水平之間的關(guān)系以及不同思維水平的學(xué)生在幾何推理能力方面的差異，試圖診斷八年級(jí)學(xué)生幾何推理能力屬于哪個(gè)幾何思維水平，以及不同推理能力的思維水平特點(diǎn)，進(jìn)而為中學(xué)數(shù)學(xué)教育提供一些建設(shè)性的建議，讓中學(xué)數(shù)學(xué)教師更好地了解學(xué)生，從而促使其在實(shí)踐中更加科學(xué)、有效地運(yùn)用現(xiàn)代教育理念組織課堂教學(xué)。

2.概念界定

（1）幾何推理

幾何推理是課程改革中的關(guān)鍵概念，它是課程改革中為取代幾何證明提出的一個(gè)概念。一般認(rèn)為，幾何推理就是幾何證明，其實(shí)幾何推理并不等價(jià)于幾何證明，幾何證明就是嚴(yán)密的邏輯演繹推理，需要有充足的已知條件和理論依據(jù)，才能對問題進(jìn)行求解。而幾何推理在解決問題時(shí)對條件的要求相對較低，它可以是在少量已知條件的情況下對問題的結(jié)果進(jìn)行大膽猜想，然后小心求證。因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)問題通常都是欠缺條件的，所以課程改革提倡幾何推理更具有一般性，有利于提高學(xué)生的思維品質(zhì)，掌握思維方法，特別是分析問題和解決問題的能力。

目前，中外學(xué)者關(guān)于幾何推理的方式研究，比較一致的看法有：圖形推理、類比推理、自然推理、歸納推理、形式邏輯推理等[1]。圖形推理也稱直觀推理，就是由一個(gè)或若干個(gè)已知圖形而推出另外一些圖形或信息的思維過程。一個(gè)圖形推理由三要素構(gòu)成：前提、推理要求和結(jié)論。類比推理簡稱類推、類比，是根據(jù)兩個(gè)或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理。自然推理，也可稱為描述性推理，是運(yùn)用日常語言，對事物進(jìn)行描述論證、說理。歸納推理是人根據(jù)已掌握的圖形知識(shí)及觀察到的圖形變化規(guī)律，推導(dǎo)出未觀察到的圖形知識(shí)。關(guān)于形式邏輯推理，中小學(xué)教材中的幾何證明通常都屬于形式邏輯推理，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S推理能力。

（2）幾何推理的層次劃分

上世紀(jì)50年代，荷蘭的范希爾夫婦劃分的幾何思維理論對幾何課程具有重要的指導(dǎo)意義，范希爾幾何分類理論把幾何思維分成以下幾個(gè)水平[2]。

水平0，視覺。這個(gè)階段兒童能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，并能操作其幾何構(gòu)圖元素（如邊、角）；能畫圖或仿畫圖形，使用標(biāo)準(zhǔn)或不標(biāo)準(zhǔn)名稱描述幾何圖形；能根據(jù)對形狀的操作解決幾何問題等。水平1，分析。該階段兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質(zhì)間的關(guān)系，也無法了解圖形的定義；能根據(jù)組成要素比較兩個(gè)形體，利用某一性質(zhì)做圖形分類等。水平2，非形式化的演繹。該階段兒童能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，可以提出非形式化的推論，了解建構(gòu)圖形的要素，能進(jìn)一步探求圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做演繹推論。水平3，形式的演繹。該階段學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測并嘗試用演繹方式證實(shí)其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的公理、定義、定理等。水平4，嚴(yán)密性。在這個(gè)層次能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ硪苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較。

范希爾的幾何思維理論反映出學(xué)生幾何能力的發(fā)展分為五個(gè)水平，學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，具有從低到高發(fā)展的次序性和進(jìn)階性，范希爾幾何理論是指導(dǎo)幾何課程改革和幾何教學(xué)實(shí)踐的重要理論依據(jù)。幾何思維理論怎樣才能走進(jìn)課堂教學(xué)實(shí)踐中？關(guān)鍵在于立足我國數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，充分了解學(xué)生的幾何思維水平的情況，并與課標(biāo)理念相結(jié)合才能更好地指導(dǎo)當(dāng)前的幾何課程改革。這樣，理論才能具有實(shí)質(zhì)性的指導(dǎo)意義并且才能得到更有效的應(yīng)用和推廣。

二、 研究方法

1.研究工具

本文對幾何推理能力的研究主要包含圖形推理能力、類比推理能力、自然推理能力、歸納推理能力、邏輯演繹推理能力五種。按照范希爾幾何層次各編制15道試題，總計(jì)75道題。每道題5分，總分375分，題型設(shè)計(jì)上都采用選擇題，測驗(yàn)時(shí)間2小時(shí)。試題是經(jīng)高校從事數(shù)學(xué)教育的三位專家和二位從事多年一線數(shù)學(xué)教學(xué)工作的中學(xué)高級(jí)教師商討確定的。在幾何能力各具體因素的幾何思維水平劃分上采用如下方式：其中每一層次3道試題，每一層次學(xué)生正確解答2道試題及以上，就判斷學(xué)生在該推理方式上到達(dá)該層次水平，如果學(xué)生僅能夠正確做出1道試題及以下，就把該學(xué)生的幾何層次歸屬為下一等級(jí)。如學(xué)生在歸納推理中第四層次上正確解答出2道試題，就認(rèn)為學(xué)生的歸納推理能力達(dá)到第四層次，若學(xué)生在第四層次上正確解答出1道試題，就判定其歸納推理能力為第三層次。在0層次上無論是否正確解答試題都劃歸為0層次。

2.取樣

本研究從貴陽、興義、畢節(jié)三個(gè)城市分別隨機(jī)抽取農(nóng)村、城市各一所初中學(xué)校，在每所學(xué)校八年級(jí)里隨機(jī)抽取一個(gè)班級(jí)進(jìn)行測試。本次參加調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為751人，其中測試問卷答題無法辨認(rèn)或無法歸屬其幾何思維發(fā)展水平的有59人。如在第一層次水平上沒能夠正確解答2道題，而在第二層次上能夠正確解答2道或3道題。剔除這些樣本后，有效試卷692份，有效率92.1%。

3.統(tǒng)計(jì)工具

本研究主要采用SPSS13.0對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析。

三、 研究結(jié)果

1.八年級(jí)學(xué)生幾何推理能力與范希爾幾何思考層次相關(guān)性

表1 八年級(jí)學(xué)生幾何推理能力和范希爾幾何思維水平相關(guān)性分析

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由表1可知，范希爾幾何思維水平與學(xué)生的幾何推理能力成顯著的正相關(guān)。說明學(xué)生的幾何推理能力強(qiáng)，幾何思維的水平就高。觀察學(xué)生的幾何推理能力各因素，其相互之間也存在顯著的相關(guān)性，歸納推理和類比推理、自然推理也存在中度的相關(guān)性（相關(guān)系數(shù)分別是0.428、0.437），這說明學(xué)生的推理能力是相互影響、相互促進(jìn)的，發(fā)展學(xué)生的幾何推理能力需要整體考量。

2.不同幾何思維水平學(xué)生的幾何推理能力平均分和標(biāo)準(zhǔn)差

本研究中，對學(xué)生幾何推理能力劃分的主要標(biāo)準(zhǔn)是，若學(xué)生在幾何推理的五個(gè)因素測驗(yàn)上，有三個(gè)及以下因素歸屬某水平，則其幾何推理能力歸屬到下一水平，若有四個(gè)或五個(gè)因素歸屬某水平，則幾何推理能力就歸屬某水平。如學(xué)生在幾何推理能力測驗(yàn)中，歸納推理、類比推理和圖形推理都屬范希爾幾何思維理論2水平，而自然推理、形式邏輯推理歸屬范希爾幾何層次3水平，則其幾何推理能力歸為范希爾幾何層次2水平。學(xué)生的幾何能力最低劃歸為0層次水平。八年級(jí)學(xué)生幾何推理能力所處的幾何思維水平見表2。

表2不同幾何思維水平的學(xué)生在幾何推理能力方面的具體表現(xiàn)

從表2數(shù)據(jù)中可以看出，我國八年級(jí)學(xué)生幾何推理能力在思維水平上主要集中在2、3兩個(gè)層次。這說明，大多數(shù)學(xué)生具備較好的識(shí)別圖形能力，能運(yùn)用基本的公式定理進(jìn)行簡單的演繹推理，但在幾何推理中缺乏嚴(yán)密性和規(guī)范性。其原因一方面是青少年思維品質(zhì)受到學(xué)生身心發(fā)展程度的限制，八年級(jí)學(xué)生的思維方式具體直觀思維占主體地位，抽象思維有所發(fā)展，但學(xué)生在處理幾何問題時(shí)容易出現(xiàn)觀察圖形片面，思維缺乏嚴(yán)密性；另一方面是幾何教育課程和教育方式對學(xué)生思維的影響，學(xué)生解決幾何問題時(shí)思路狹隘，方法呆板，條件難以有效地利用。

3.學(xué)生的幾何思維水平對其幾何推理能力的影響

（1）不同幾何思維水平學(xué)生在幾何推理能力方面的變異系數(shù)分析

表3 幾何推理各因素間的變異系數(shù)分析

由表3知，不同幾何思維水平在幾何推理能力方面的表現(xiàn)F值，達(dá)到極其顯著性水平。這表明，學(xué)生的幾何推理成績會(huì)因?yàn)槠鋷缀嗡季S水平的不同而不同。

（2）不同幾何思維水平的學(xué)生在幾何推理能力方面的比較

表4 不同幾何思維水平的學(xué)生在幾何推理能力方面的比較

由表4知，幾何思維居于0層次的學(xué)生和其它各層次的學(xué)生在幾何推理能力測驗(yàn)上都會(huì)表現(xiàn)出差異；1層次和3層次、4層次在幾何推理能力上也會(huì)表現(xiàn)出極其顯著的差異；2層次和3層次、4層次的學(xué)生也會(huì)在幾何推理能力測驗(yàn)上表現(xiàn)出顯著的差異。

四、 結(jié)論和建議

本研究表明，八年級(jí)學(xué)生的幾何推理能力和范希爾幾何思維水平成正相關(guān)，而且存在著交互影響的作用。八年級(jí)學(xué)生的幾何思維水平主要集中在層次2、層次3水平上。不同的幾何思維水平在學(xué)生的幾何推理能力測驗(yàn)上也存在著顯著性差異。

因此，在幾何教學(xué)中應(yīng)并行發(fā)展學(xué)生的幾何推理能力和提高其幾何思維水平。一方面，學(xué)生的幾何推理能力需要學(xué)生能夠從整體上把握圖形間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。因此，幾何教學(xué)時(shí)，要重視學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，加強(qiáng)其對圖形的感知和辨識(shí)，進(jìn)而要求學(xué)生能夠自主探索幾何圖形結(jié)構(gòu)間的關(guān)系及其性質(zhì)，運(yùn)用螺旋上升的方式幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)。另一方面，要充分關(guān)注學(xué)生的幾何思維發(fā)展層次來組織幾何教學(xué)。幾何教學(xué)不但要關(guān)注其幾何本質(zhì)和數(shù)學(xué)特點(diǎn)，更要關(guān)注學(xué)生不同的思維發(fā)展水平，在不同圖形的教學(xué)中考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維發(fā)展規(guī)律的特點(diǎn)，采用循序漸進(jìn)的方式促使學(xué)生的幾何思維水平向更高水平發(fā)展。

總之，學(xué)生的幾何思維水映了學(xué)生獨(dú)立分析問題、解決問題能力的強(qiáng)弱，學(xué)生的幾何推理能力是反映其對數(shù)學(xué)信息的捕捉，促進(jìn)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)行為和習(xí)慣的關(guān)鍵。對八年級(jí)學(xué)生進(jìn)行幾何思維訓(xùn)練，能夠促進(jìn)其幾何推理能力的發(fā)展，提高學(xué)生的幾何推理能力也有助于其幾何思維層次的提高。學(xué)生的幾何思維能力和推理能力薄弱會(huì)對學(xué)生整個(gè)學(xué)業(yè)造成消極影響，消除這種負(fù)面的影響，是每一個(gè)從事數(shù)學(xué)教育的工作者的追求。

參考文獻(xiàn)