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反三角函數(shù)范文第1篇

1. 忽視反三角函數(shù)的存在性

例1:求函數(shù)y=2sin(2x-■)-3(-■π≤x≤-■x)的反函數(shù).

錯(cuò)解一:y=2sin(2x-■)-3, sin(2x-■)=■

2x-■=arcsin■,x=■arcsin■+■,則所求的反函數(shù)為y=■arcsin■+■.

錯(cuò)解二:由y=2sin(2x-■)-3解得x=■arcsin■+■,又-1≤■≤1,即-5≤y≤-1,則所求反函數(shù)是y=■arcsin■+■(-5≤x≤-1).

分析:錯(cuò)解一在沒有討論-■≤2x-■≤■是否正確的情況下,就得到2x-■=arcsin■,反映了對(duì)于記號(hào)“arcsin”的意義,即反正弦函數(shù)的定義理解不全面.同時(shí),也沒有求得已知函數(shù)的值域,使答案中不具所求反函數(shù)的定義域,反映了對(duì)于求一個(gè)函數(shù)就要求出它的三要素,特別是給出解析式和定義域(此時(shí)的值域也隨之確定,實(shí)際上它就是已知函數(shù)的定義域)的概念,解題規(guī)格不完全清楚.

錯(cuò)解二犯有與錯(cuò)解一同樣的第一個(gè)錯(cuò)誤,雖然注意到并求出已知函數(shù)的值域,但運(yùn)算依據(jù)不正確,不知道應(yīng)該從已知函數(shù)的定義域和解析式去確定值域,而是無根據(jù)地默認(rèn)■可以取足區(qū)間[-1,1]上的每一個(gè)值,與實(shí)際情況不相符,即使把解析式的正確結(jié)果求出來,整個(gè)反函數(shù)的答案仍有差錯(cuò).

正確答案為:y=-■arcsin■-■π(-2≤x≤-1).

2. 忽視隱含因素

例2:設(shè)方程x2+3■x+4=0的兩個(gè)實(shí)根為x1和x2,記α=arctgx1,β=arctgx2,求α+β.

錯(cuò)解:x1+x2=-3■,x■x■=4

tg(α+β)=■=■=■

又-■

-π

分析:已知條件中隱含著α

事實(shí)上,由x1+x2=-3■0,知x1

-■

-π

正確答案應(yīng)為:α+β=-■.

3.忽視值域的有界性

例3:已知P(x,y)滿足arcsinx+arccosy=π,求P點(diǎn)的軌跡方程.

錯(cuò)解:arcsinx=π-arccosy,

x=■≥0,即x2+y2=1(x≥0),

分析:在已知關(guān)系式里隱含著重-1≤y≤0,這是因?yàn)?若0

x2+y2=1(0≤x≤1,-1≤y≤0).

4.忽視變形的等價(jià)性

例4:若arccosx-arcsinx=■,求x.

錯(cuò)解:對(duì)原式兩邊同取余弦可得4·x■=■,兩邊平方得16x4-16x2+3=0,解得x2=■或x2=■,所以x=±■或x=±■.

分析:對(duì)已知式兩邊平方或?qū)蛇呁∮嘞?或正弦)時(shí),都會(huì)擴(kuò)大解集出現(xiàn)增根,這是因?yàn)?兩角相等,這兩角度同名三角函數(shù)值必相等,但反過來不成立,比如cos■=cos■=■,顯然由此得不到■=■.

此題若利用arcsinx+arccosx=■(x≤1),則始終為同解變形,可避免增根.

解法如下:arcsinx=■-arccosx,

反三角函數(shù)范文第2篇

同時(shí)，在研究銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用時(shí)，需要學(xué)生對(duì)圖形結(jié)構(gòu)相互關(guān)系進(jìn)行觀察和分析，對(duì)圖形整體或部分進(jìn)行必要的變換.有了前面的知識(shí)做鋪墊，學(xué)生已經(jīng)建立了各種解直角三角形的知識(shí)儲(chǔ)備和一定的推理能力基礎(chǔ)，有能力采用直觀與理性相結(jié)合的方式學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容.

一、教學(xué)實(shí)錄

上課開始，屏幕上以動(dòng)畫形式播放一個(gè)氣球在天空停留，一學(xué)生站在A點(diǎn)處觀測(cè)氣球，測(cè)得仰角為30°，然后他向著氣球的方向前進(jìn)了100m，此時(shí)小明再次觀測(cè)氣球，仰角為45°，若小明的眼睛離地面1.6m，小明如何計(jì)算氣球的高度呢？（精確到0.1m）

教師與學(xué)生一起畫出草圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，學(xué)生一起看圖，逐一說出問題中的已知量與未知量.

師：要計(jì)算CD，可以利用RtCBE和RtCAE，先找出BE、CE與已知量的關(guān)系？

生：可以設(shè)CE長(zhǎng)為xm，則在RtCBE中，由“等角對(duì)等邊”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，然后在RtCAE中，利用tan30°=，算出x+1.6的值，即為旗桿的高度.

師：根據(jù)上述方程，大家以最快的速度解這個(gè)方程，不會(huì)的相互幫忙一下.

點(diǎn)評(píng)：以上的分析過程簡(jiǎn)潔明了，根據(jù)30°角的正切值列出方程也很容易理解，但是具體在解這個(gè)方程的過程中，學(xué)生卻遇到了很大的麻煩。有很多學(xué)生不會(huì)解決此類方程，因?yàn)榉匠讨衳的系數(shù)帶有根號(hào)，而且要先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，最后還要經(jīng)歷分母有理化的過程，分母有理化本身是書本上的選修內(nèi)容，中間還滲透了平方差公式，對(duì)于一些對(duì)平方差公式不熟練的學(xué)生而言，這是解此類方程的一個(gè)難點(diǎn).

教師邊引導(dǎo)學(xué)生解方程的一般步驟，邊引導(dǎo)學(xué)生找出分母的有理化因式，從而保證結(jié)果的最簡(jiǎn)，師生一起努力共同完成解答過程.

生：解：設(shè)CE長(zhǎng)為xm，在RtCBE中，

∠CEB=90°，∠CBE=45°，

∠CBE=∠BCE=45°，

由“等角對(duì)等邊”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，

在RtCAE中，∠CEA=90°，tan∠CAE=，

tan30°=，

即=

3x=100+x

（3-）x=100

x===50（+1）

CD=CE+DE=50（+1）+1.6≈138.2m.

教師點(diǎn)評(píng)：這一種方案是先在RtCBE中設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)“邊角關(guān)系”用的代數(shù)式表示BE，從而表示AE，最后在RtACE中利用tan30°的函數(shù)值列出方程，從而達(dá)到解決問題的目的.除了用以上方法解決問題外，同學(xué)們觀察一下圖形的特點(diǎn)，能否找出已知線段與未知線段之間存在的相等關(guān)系？

生：AE-BE=AB.

師：能否根據(jù)這一相等關(guān)系列方程呢？大家先獨(dú)立研究，然后把自己的研究成果與同組同學(xué)交流.

學(xué)生開始探究，教師巡視.巡視過程中發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)能利用第一種方案中的兩個(gè)直角三角形展開思維，也有的同學(xué)在“AE-BE=AB”的基礎(chǔ)上重新設(shè)未知數(shù)，結(jié)果得出的方程與第一種方案一致.

師：請(qǐng)想出不同方案的同學(xué)把你的研究成果寫在黑板上，其他小組進(jìn)行補(bǔ)充.

全體同學(xué)一起努力，最后得到如下結(jié)果：

設(shè)CE=xm，在RtACE中，∠AEC=90°，

tan30°=，AE==x.

在RtCBE中，∠CEB=90°，tan45°=，BE==x，由AE-BE=AB可知，x-x=100，（-1）x=100，x===50（+1）.

教師總結(jié)：以上給出了兩種方案，從解題的技巧和解題方法來看，第一種方案利用小RtBEC的邊角關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再由大RtAEC的邊角關(guān)系列方程，由內(nèi)而外地展開大家很容易理解，但是得出方程后解此方程有一定的困難.第二種方案由兩個(gè)直角三角形同時(shí)進(jìn)行，利用邊角關(guān)系表示AE，BE，再根據(jù)“AE-BE=AB”直接列出方程，而且這個(gè)方程比第一種方案中的方程容易解，由此評(píng)價(jià)方案二比較可行，但是方案二中表示AE，BE時(shí)必須注意方式方法.

師：將問題中的特殊角改為27°與40°，其他數(shù)據(jù)不變，求氣球的高度，選擇一種你認(rèn)為比較合適的方案，自己先試一試.

（在巡視的過程中，選兩位用不同方法解答完成的學(xué)生上黑板板演.）

生甲：設(shè)CE=xm，

在RtBEC中，∠BEC=90°，tan40°=，BE==.

在RtAEC中，∠AEC=90°，tan27°=，AE==.

AE-BE=100，-=100.

tan40°x-tan27°x=100?tan27°?tan40°.

x=.

生乙：設(shè)CE=xm，

在RtBEC中，∠BEC=90°，

tan40°=，BE==.

在RtAEC中，∠AEC=90°，

tan27°=，tan27°=.

100?tan27°+=x.

100?tan27°?tan40°+tan27°?x=tan40°?x.

x=.

教師與學(xué)生一起點(diǎn)評(píng)，生甲的方案是建立在“AE-BE=100”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，方程比較簡(jiǎn)單，解題的過程簡(jiǎn)潔明了.生乙的方案是由內(nèi)而外展開，由小RtBEC內(nèi)的邊角關(guān)系設(shè)未知數(shù)，由大RtAEC的邊角關(guān)系列方程，所列方程稍微有點(diǎn)復(fù)雜，但是只要細(xì)心，照樣可以解出答案.

師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)直角三角形有著一條公共的邊呢？

生：有，是線段CE.

師：能否根據(jù)公共邊相等列方程呢？此時(shí)設(shè)哪條線段為未知數(shù)比較合適呢？

生：設(shè)BE=xm，則AE=（100+x）m，在RtBEC中，∠BEC=90°，tan40°=，CE=BE?tan40°=x?tan40°.

在RtAEC中，∠AEC=90°，

tan27°=，

CE=AE?tan27°=（100+x）?tan27°，

x?tan40°=（100+x）?tan27°.

解得x=.

CE=?tan40°=.

最后求出氣球的高度即可.

教師總結(jié)：本節(jié)課我們主要研究了銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，學(xué)會(huì)了從各種不同的角度分析問題，抓住問題的突破口，步步逼近.今天我們一起探究了解決銳角三角函數(shù)的三種方案：方案一，由內(nèi)而外，利用三角函數(shù)列方程求解；方案二，根據(jù)兩線段之差等于已知線段列方程求解；方案三，抓住兩個(gè)三角形的公共邊列方程.這三種方案各有千秋，平時(shí)解題時(shí)我們要具體問題具體對(duì)待.

二、總評(píng)

反三角函數(shù)范文第3篇

【關(guān)鍵詞】基本初等函數(shù)；乘積；不定積分；初等函數(shù)

【課題論文】湖北省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2011年立項(xiàng)課題（項(xiàng)目編號(hào)2011B266）

一、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積的不定積分

1。∫xnaxdx=ax∑ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。

二、冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積的不定積分

2?！襵nlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。

三、冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的不定積分

3?！襵ncosxdx=∑ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。

4?！襵nsinxdx=-∑ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。

四、冪函數(shù)與反三角函數(shù)乘積的不定積分

5。∫xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx-∫xn+11-x2dx。

6?！襵narccosxdx=1n+1xn+1arccosx+∫xn+11-x2dx。

其中：In+1=∫xn+11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1,…,

五、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積的不定積分

7。∫axlogbxdx=1lnbax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。

六、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的不定積分

8?！襡axcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。

9?！襡axsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。

七、指數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)乘積的不定積分

10?！襛xarcsinbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。

11?！襛xarccosbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。

八、對(duì)數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的不定積分

12?！襝osbxlnxdx=∑∞i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。

13。∫sinbxlnxdx=-∑∞i=01bi+1(cosbx)(i)(lnx)(i)+C。

九、對(duì)數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)乘積的不定積分

14。∫arcsinxlnxdx=(lnx-1)(xarcsinx+1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2+C。

15?！襛rccosxlnxdx=(lnx-1)(xarccosx-1-x2)+ln1-1-x2x+1-x2+C。

十、三角函數(shù)與反三角函數(shù)乘積的不定積分

16?！襰inxarcsinxdx=-cosxarcsinx+∫cosx1-x2+C。

17?！襰inxarccosxdx=-cosxarccosx-∫cosx1-x2+C。

18。∫cosxarcsinxdx=sinxarcsinx-∫sinx1-x2+C。

19。∫cosxarccosxdx=sinxarccosx+∫sinx1-x2+C。

十一、冪函數(shù)與冪函數(shù)乘積的不定積分

20。∫xmxndx=1m+nxm+n+c(m+n≠-1),∫xmxndx=ln|x|+c(m+n=-1)。

十二、指數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積的不定積分

21?！襛xbxdx=axbxlna+lnb+C。

十三、對(duì)數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)乘積的不定積分

22。∫logaxlogbx=1lnalnb∫ln2xdx,

∫ln2xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2xlnx+2x+C。

十四、三角函數(shù)與三角函數(shù)乘積的不定積分

23。∫sinxsinxdx=12∫（1-cos2x)dx=12x-14sin2x+C。

24。∫sinxcosxdx=12sin22x+c。

25?！襝osxcosxdx=12∫(1+cos2x)dx=12x+14sin2x+C。

十五、反三角函數(shù)與反三角函數(shù)乘積的不定積分

26。∫(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2∫xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)2+2∫arcsinxd1-x2=x(arcsinx)2+21-x2?arcsinx-2x+C。

27?！襛rcsinxarccosxdx=∫arccosxd(xarcsinx+1-x2)=arccosx(xarcsinx+1-x2)-∫xarcsinx+1-x21-x2dx=arccosx(xarcsinx+1-x2)-x+∫arcsinxd 1-x2=arccosx(xarcsinx+1-x2)+1-x2arcsinx-2x+C。

28?！?arccosx)2dx=x(arccosx)2+2∫xarccosx1-x2dx=x(arccosx)2-2∫arccosxd1-x2=x(arccosx)2-21-x2arccosx+2x+C。

上面15種情況中：有11種情況（一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五）的積分結(jié)果可以用初等函數(shù)表示出來，有4種情況（五、七、八、十）的積分結(jié)果不能用初等函數(shù)表示出來。

例 求∫x3(e-x+lnx+cosx)dx。

解 ∫x3(e-x+lnx+cosx)dx=e-x∑3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i+1+x44lnx-14+∑3i=0(x3)(i)(sinx)(i)=-e-x(x3+3x2+6x+6)+x44lnx-14+(x3-6x)sinx+(3x2-6)cosx+c。

【參考文獻(xiàn)】

反三角函數(shù)范文第4篇

2014年11月26—27日，我校成功舉辦了省“教學(xué)新時(shí)空·名校課程”現(xiàn)場(chǎng)推進(jìn)會(huì)暨江蘇省海門中學(xué)第30屆教學(xué)“百花獎(jiǎng)”全國(guó)展示活動(dòng)（江蘇教育網(wǎng)進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)直播）。筆者有幸執(zhí)教《三角函數(shù)的周期性》一課。三角函數(shù)的周期性作為三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的起始課，概念性強(qiáng)，本節(jié)課是筆者基于“給學(xué)生需要的數(shù)學(xué)概念課堂”的需求進(jìn)行的一次實(shí)踐和嘗試。

一、課堂實(shí)錄

1.創(chuàng)設(shè)情境

同學(xué)們，作為一個(gè)海門人，我們身處長(zhǎng)江邊，你有沒有在長(zhǎng)江邊看過日出，今天老師請(qǐng)大家看一段長(zhǎng)江邊日出的視頻。

下面是兩個(gè)同學(xué)看完視頻后的對(duì)話

甲：日出美嗎？

乙：美。

甲：那我們?nèi)ラL(zhǎng)江邊看日出去？

乙：明天不行，我要上學(xué)。

甲：后天？

乙：不行，我要上學(xué)。

甲：沒關(guān)系，日出天天可以看，等你放假后一起去？

乙：好的。

師：從兩同學(xué)的對(duì)話中，你認(rèn)為日出這一自然現(xiàn)象具有什么規(guī)律？

生：過了一定時(shí)間現(xiàn)象重復(fù)出現(xiàn)（定期重現(xiàn)），可用成語“周而復(fù)始”。

師：自然界和生活有許多“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，我們的課前音樂《花心》的歌詞中也有類似周而復(fù)始現(xiàn)象的描述，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：“春去春回來”“花謝花會(huì)再開”“黑夜又白晝”“潮起又潮落”。

師：很好，那我們最近研究的三角函數(shù)中有沒有這種“周而復(fù)始”的現(xiàn)象？

生：有，三角函數(shù)線。

2.概念生成

那我們一起研究一下三角函數(shù)線的變化，以正弦線為例，利用幾何畫板演示正弦線的變化(如圖1)。

師：正弦線的變化有什么特征？

圖1每轉(zhuǎn)過一圈，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)。

師：很好，如果用代數(shù)式表示？

生：sinx=sin(x+2π)=sin(x+4π)=。。。

師：上述等式成立與x的取值有關(guān)系嗎？

生：沒有。

師：如果我們記f(x)=sinx，那么上式就可以表示成f(x)=f(x+2π)=f(x+4π)=。。。

那么自變量x的取值范圍是什么？

生：任意角。

師：很好，那么你能用語言表述一下嗎？

生：自變量每增加2π，函數(shù)值不斷重復(fù)出現(xiàn)。

師：非常棒，這是不是和我們剛才研究的“日出”的周而復(fù)始現(xiàn)象很像，那么是不是只有正弦函數(shù)具有這一特征？如果還有其他函數(shù)，那么它增加的量是多少？

生：余弦函數(shù)也有這一特征，也是自變量每增加2π，函數(shù)值不斷重復(fù)出現(xiàn)。

師：還有么？

生：正切函數(shù)也有這一特征，不過增量為π。

師：三角函數(shù)具有的這種自變量每增加一定的量，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)稱為三角函數(shù)的周期性。

板書課題：三角函數(shù)的周期性。

師：如果有一個(gè)函數(shù)，自變量每增加1，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，你認(rèn)為它是否具有周期性？

生：有周期性。

師：也就是說，定量并不一定是“2π,π”，那么對(duì)于這些一般函數(shù)的周期性我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫？

沉默

師：大家可以討論一下？

學(xué)生討論，約2分鐘后。

師：你們有結(jié)論么？

生：我們組的結(jié)論是“對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在常數(shù)T，使f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，常數(shù)T叫做周期函數(shù)的周期”。

師：很好，對(duì)這一小組的結(jié)論，大伙還有沒有補(bǔ)充？

生：我們認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)是非零常數(shù)T。

師：理由？

生：若T為0，則自變量就沒有增量。

師：非常好。還有么？

生：自變量x應(yīng)為定義域內(nèi)的任意值。

師：太棒了，這樣我們就得到了周期函數(shù)的定義：“一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期”。

3.概念理解

師：請(qǐng)看問題

問題1填空：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足，那么函數(shù)f(x)為函數(shù)。

生：我認(rèn)為可以填 “f(x+T)=f(x)（T≠0）”；周期。

師：很好。還有其他答案么？

沉默，突然某學(xué)生提出。

生：我認(rèn)為，根據(jù)以前學(xué)的奇偶性的定義，可以填“f(－x)=f(x)”；偶。

師：很好，函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的周期性有些條件完全一樣，我們可以類比學(xué)習(xí)。研究奇偶性時(shí)，我們要求函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，你知道為什么嗎？

生：這是因?yàn)橐沟脁在定義域的同時(shí)，-x也要在定義域內(nèi)。

師：非常好。那么你認(rèn)為周期函數(shù)對(duì)定義域有什么要求？

生：x在定義域的同時(shí)，x+T也要在定義域內(nèi)。

師：正確。

請(qǐng)看下一問題：

問題2函數(shù)y=sinx(0≤x≤10π)是不是周期函數(shù)？

生：不是，當(dāng)x=10π時(shí)，10π+2π不在定義域內(nèi)。

師：很好。看下一問題：

問題3判斷下列說法是否正確，并簡(jiǎn)述理由。

（1）x=π3時(shí)，sin(x+2π3)≠sinx，則2π3一定不是函數(shù)y=sinx的周期；

（2）x=7π6時(shí)，sin(x+2π3)=sinx，則2π3一定是函數(shù)y=sinx的周期。

生：第一個(gè)正確，第二個(gè)不正確。判定一個(gè)常數(shù)不是周期函數(shù)的周期，舉一個(gè)反例即可。

判定一個(gè)常數(shù)是周期函數(shù)的周期，要使定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f(x+T)=f(x)。

師：回答的很好，理由總結(jié)的不錯(cuò)。這兩個(gè)問題主要是考察大家對(duì)定義中每一個(gè)值的理解。再看下一問題：

問題4判斷下列函數(shù)是否為周期函數(shù)？

（1）f(x)=cos2x;（2）f(x)=x;（3）f(x)=1。

生：第一個(gè)是周期函數(shù)，2π是它的周期；

師：f(x)=x是不是周期函數(shù)？

生：我找不到它的周期，不知道是不是？

師：f(x)=x的圖像是遞增的一直線，自變量增加一定量，函數(shù)值也在增加。所以不是周期函數(shù)。由此可見：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)。

生：f(x)=1應(yīng)該是的，但我發(fā)現(xiàn)有很多數(shù)都可以作為它的周期。

師：能不能說的更具體點(diǎn)？

生：所有非零常數(shù)都是它的周期。

師：很不錯(cuò)，常數(shù)函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為非零常數(shù)。你認(rèn)為正弦函數(shù)y=sinx的周期為多少？

生：2π,4π,。。。都是它的周期，應(yīng)該是k·2π(k∈Z,k≠0)。

師：余弦函數(shù)y=cosx呢？正切函數(shù)呢？周期函數(shù)的周期是否唯一？

生：余弦函數(shù)周期k·2π(k∈Z,k≠0)，正切函數(shù)為kπ(k∈Z,k≠0)。周期函數(shù)的周期不唯一。

師：已知定義在R上周期函數(shù)f(x)的周期為T，則2T是f(x)的一個(gè)周期嗎？你能推廣么？

生：是，f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)， kT(k∈Z,k≠0)也是它的周期。

師：由于周期函數(shù)有無數(shù)個(gè)周期，對(duì)我們的進(jìn)一步研究帶來不便，你能否選擇一個(gè)最具有代表性的來表述？

生：正周期，最小的。

師：那我們統(tǒng)一一下，規(guī)定：“最小正周期：對(duì)于周期函數(shù)f(x)，如果在它的所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做函數(shù)f(x)的最小正周期”。

師：你知道：正弦函數(shù)的最小正周期為多少？余弦函數(shù)呢？ 正切函數(shù)呢？

生：2π，2π，π。

師：周期函數(shù)的最小正周期一定存在么？理由？

沉默

師：那大家討論一下。

生：我們組認(rèn)為，最小正周期不一定存在，如y=sinx(x≤0)沒有正周期，當(dāng)然也就沒有最小正周期。

師：很好，這是從有沒有正周期的角度進(jìn)行否定。那如果一個(gè)周期函數(shù)有正周期，是不是有最小正周期？

生：我們認(rèn)為，還是不一定存在，反例是常數(shù)函數(shù)f(x)=1，就沒有最小正周期。

師：非常棒。周期函數(shù)的最小正周期不一定存在，我們的定義“如果……，那么……”

從現(xiàn)在開始，我們研究的周期沒有特別說明就是指函數(shù)的最小正周期。

4.概念運(yùn)用

師：請(qǐng)看問題：求函數(shù)f(x)=cos2x的周期。

師：你認(rèn)為我們可以用什么知識(shí)求函數(shù)周期？

生：周期函數(shù)的定義。

板演：解：設(shè)f(x)的周期為T，則f(x+T)=f(x)，即cos2(x+T)=cos2x對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立。

cos(2x+2T)=cos2x對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立。

師：下面怎么辦？還能用什么知識(shí)？

生：y=cosx最小正周期為2π這一結(jié)論。

師：怎么用？

生：把2x看成一個(gè)整體，

令u=2x，cos(u+2T)=cosu對(duì)任意實(shí)數(shù)u都成立。

又y=cosu的周期為2π，

所以使得cos(u+2T)=cosu對(duì)任意實(shí)數(shù)u都成立的最小正值為2π,

所以2T=2π,即T=π。

所以函數(shù)f(x)=cos2x的周期為π。

師：利用了周期函數(shù)的定義，結(jié)合y=cosx最小正周期為2π這一結(jié)論，采用整體的觀點(diǎn)研究，非常棒。

師：你能快速的求出下列函數(shù)的周期么？（1）f(x)=2cos2x;（2）f(x)=cos(2x+π3)。

生：它們的周期為π。

師：你認(rèn)為函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ為常數(shù)，A≠0,ω>0)的周期和哪些元素有關(guān)？

生：只和ω有關(guān)，和A,φ都沒有關(guān)系。

師：不錯(cuò)，那函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ為常數(shù)，A≠0,ω>0)的周期是。

生：2πω。

師：那函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) (其中A,ω,φ為常數(shù)，A≠0,ω>0)的周期是多少？

生：也是2πω。

師：那如果函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的ω<0呢？

生：2π－ω。

師：函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù)，A≠0,ω≠0)的周期為2π|ω|。

這可以作為公式用來求正余弦函數(shù)的周期。

師：我們?cè)偻卣挂幌拢喝艉瘮?shù)y=f(x)的周期為T，則函數(shù)y=Af(ωx+φ)（A≠0,ω≠0）的周期為多少？

生：T|ω|。

師：求三角函數(shù)的周期有哪些方法？

生：利用定義求解，也可以用公式求解。

5.概念拓展

師：很好，從數(shù)的角度我們有兩種策略，那么形的角度呢？你認(rèn)為周期函數(shù)的圖像具有什么特征？

生：應(yīng)該也不斷重復(fù)。

師：非常好。你能不能根據(jù)圖2中函數(shù)f(x)=cos2x的圖像求出它的周期？

圖2

生：只需看間隔多久即可，應(yīng)該是π。

師：太棒了，這說明我們還可以利用圖像求出函數(shù)的周期。

6.課堂小結(jié)

師：請(qǐng)你用幾個(gè)關(guān)鍵詞談?wù)劚竟?jié)課的收獲？

生1：周期函數(shù)、最小正周期。

生2：如何求函數(shù)的周期。

師：大家說的都非常好，老師也總結(jié)了幾個(gè)關(guān)鍵詞概括“定義、公式、思想、方法”，請(qǐng)大家認(rèn)真體會(huì)。

下課。

二、執(zhí)教感悟

筆者認(rèn)為我們教學(xué)的對(duì)象是學(xué)生，因此數(shù)學(xué)概念課應(yīng)從學(xué)生的需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生需要的概念課堂。

1.給學(xué)生需要的概念引入

概念引入的目的是讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)概念不是憑空產(chǎn)生的，它來源于現(xiàn)實(shí)生活，具有廣泛性，我們有研究概念的必要性。因此在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，選擇符合學(xué)生熟悉的實(shí)例（或舊知）引入，從實(shí)例中提煉概念，讓學(xué)生自然的接受概念，意識(shí)到研究概念的必要性。本節(jié)課選擇日出引入，其實(shí)也可以選擇課程表、鐘表等其他實(shí)例引入，給學(xué)生需要的概念引入。

2.給學(xué)生需要的概念生成

學(xué)生需要什么樣的概念生成？這就回歸到另一個(gè)問題，我們的概念課為什么需要概念生成這一環(huán)節(jié)？概念生成的目的是通過概念生成過程培養(yǎng)學(xué)生能力的發(fā)展。因此筆者認(rèn)為概念生成應(yīng)由學(xué)生自主完成，如果是自然式生成，需要大量的時(shí)間投入，這是我們課堂不允許的，那么我們可以通過教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在我們預(yù)設(shè)下自主生成、發(fā)展。我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)中要依據(jù)認(rèn)知的需要，從特殊到一般，從具體到抽象，層層深入，設(shè)計(jì)問題。通過問題串逐步推進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，讓學(xué)生在自然而然學(xué)習(xí)中完成概念生成。

3.給學(xué)生需要的概念理解過程

數(shù)學(xué)概念是高度概括的，往往具有一定的抽象性。因此數(shù)學(xué)概念課應(yīng)給學(xué)生需要的概念理解過程。那么學(xué)生需要什么樣的概念理解過程？筆者認(rèn)為采用什么方式很重要，這一環(huán)節(jié)我們可以設(shè)計(jì)一些小題，用小題帶概念，強(qiáng)化概念。我們的小題應(yīng)基于概念，可以是概念辨析，也可以概念運(yùn)用，通過小題逐字逐句敲打概念，讓學(xué)生自然而然的理解概念。

4.給學(xué)生需要的概念學(xué)習(xí)方法及數(shù)學(xué)思想

與知識(shí)相比，概念學(xué)習(xí)的方法更重要。因此數(shù)學(xué)概念課堂還因給學(xué)生需要的概念學(xué)習(xí)方法。讓學(xué)生領(lǐng)悟從特殊到一般的歸納推理、特殊到特殊的類比推理、從一般到特殊的演繹推理；掌握獨(dú)立思考、自主探究，不斷反思、歸納、概括，大膽表述的學(xué)習(xí)方式；同伴互助、小組交流的合作研究模式。本課中對(duì)函數(shù)奇偶性的回顧，目的就是讓學(xué)生將奇偶性和周期性類比學(xué)習(xí)，加深對(duì)概念的理解。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)要注重方法的養(yǎng)成，數(shù)學(xué)思想的滲透。

5.給學(xué)生需要的數(shù)學(xué)知識(shí)

我們的數(shù)學(xué)課堂時(shí)間有限，學(xué)生的認(rèn)知水平，決定了對(duì)某些數(shù)學(xué)知識(shí)只能擱置，而給學(xué)生需要的數(shù)學(xué)知識(shí)。鑒于高中數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)周期性的要求，主要圍繞三角函數(shù)的周期性展開，因此本節(jié)課中對(duì)周期函數(shù)的定義的拓展，周期函數(shù)的某些性質(zhì)沒有過多深入。

總之，我們的概念課堂要從學(xué)生的實(shí)際需要出發(fā)，給學(xué)生于自然的概念引入，自由的概念生成，自主的概念探究，自在的學(xué)習(xí)過程，這正是李善良老師所強(qiáng)調(diào)的“教自然的數(shù)學(xué)，建自由的課堂”。

三、名師觀察

在評(píng)課過程中，省數(shù)學(xué)教研員李善良博士及特級(jí)教師石鑫等作了點(diǎn)評(píng)，現(xiàn)摘錄部分如下：

1.概念的引入自然

一節(jié)課的引入做的好不好，往往決定一節(jié)課的成敗。作為是概念課的引入應(yīng)當(dāng)解決幾個(gè)問題，學(xué)什么？為什么學(xué)？怎么讓學(xué)生自然的學(xué)？本節(jié)課利用日出這一自然現(xiàn)象引入，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，結(jié)合兩學(xué)生的對(duì)話，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)日出這一自然現(xiàn)象的規(guī)律的探究，結(jié)合課前音樂《花心》，進(jìn)一步讓學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛性，激發(fā)學(xué)生研究周期的欲望，比較完善解決了概念引入的三個(gè)問題。

2.概念生成過程自然

概念生成過程是學(xué)生能力提升的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的過程。這一過程要舍得，要流暢。本節(jié)課在這塊做足文章，通過問題鏈，從三角函數(shù)線到正弦函數(shù)的周期，拓展到三角函數(shù)的周期，再延伸到一般函數(shù)的周期定義，再?gòu)闹芷诤瘮?shù)的定義到最小正周期的概念，層層深入，逐步推進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，學(xué)生在不知不覺中完成了概念生成，過程自然流暢。

3.概念理解過程自然

概念理解過程是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)概念的環(huán)節(jié)，可以采用讓學(xué)生研讀概念和做題兩種方式，本節(jié)課處理這一問題的方式是小題強(qiáng)化。通過幾個(gè)小題，辨析、強(qiáng)化周期函數(shù)的定義中“非零常數(shù)T”“定義域內(nèi)的每一個(gè)自變量x”“ 恒等式f(x+T)=f(x)”。最小正周期概念“如果…,那么…”。逐字逐句敲打概念，讓學(xué)生自然的理解概念，起到很好的效果。

反三角函數(shù)范文第5篇

關(guān)鍵詞：聯(lián)系；新課；舊課

在以往的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，常常學(xué)生獲得的知識(shí)不容易得到鞏固，到了高三年級(jí)的時(shí)候，學(xué)生一方面要學(xué)習(xí)新的內(nèi)容，一方面還要系統(tǒng)地復(fù)習(xí)舊知識(shí)，因此很是困難. 鑒于這樣的情況，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該采取怎樣的教學(xué)方式呢？在授予新課的同時(shí)應(yīng)該怎樣復(fù)習(xí)舊的知識(shí)點(diǎn)呢？本文就高三數(shù)學(xué)新課中對(duì)舊課的復(fù)習(xí)，提出幾點(diǎn)合理化的建議.

找出本課或本單元與后面教材的聯(lián)系

教師在講課時(shí)，要善于找出本課或者本單元的教學(xué)內(nèi)容與后面教材之間的聯(lián)系，為以后的新課打下基礎(chǔ)，使以后的新課易于進(jìn)行. 例如，在立體幾何中講三面角時(shí)，布置“從三面角中相等的面角所夾的二面角的棱上一點(diǎn)向相對(duì)的面作垂線，則垂足必定在第三個(gè)面角的平分線上”的例題或者作業(yè)，使得以后棱錐的計(jì)算易于進(jìn)行；在講到棱錐、棱臺(tái)的概念時(shí)，指出棱錐中的三個(gè)直角三角形、棱臺(tái)中的三個(gè)直角梯形，為以后的計(jì)算打下基礎(chǔ)；講圓柱、圓錐側(cè)面積定義時(shí)，突出圓柱側(cè)面積定義，則圓錐側(cè)面積定義、圓柱圓錐體積的定義、球和它的部分的面積與體積的定義就不難理解了，突出了大圓定理，還可以為將來在大學(xué)學(xué)球面三角及航海術(shù)、天文學(xué)打下基礎(chǔ).其例子很多，不必一一列舉. 總之，如果在講授舊課時(shí)突出重點(diǎn)，那么以后進(jìn)行的新課復(fù)習(xí)就能順利進(jìn)行，但是突出重點(diǎn)不能堆砌教材，超出大綱的規(guī)定要求，以免給學(xué)生造成一定的負(fù)擔(dān).

找出新課與舊課之間的聯(lián)系

復(fù)習(xí)舊課也可以在講了新課之后進(jìn)行，找到新課與哪些舊課有相類似的地方，引導(dǎo)學(xué)生作出對(duì)比與類比，使新知識(shí)得到鞏固，并且系統(tǒng)化，學(xué)生容易掌握. 如立體幾何中，“三面角的任意兩個(gè)面角的和大于第三個(gè)面角”可與三角形中“任意兩邊之和大于第三邊”進(jìn)行對(duì)比；三面角的相等與三角形的全等進(jìn)行對(duì)比，因?yàn)閮蓚€(gè)三面角中對(duì)應(yīng)兩個(gè)面角；“同他們所夾的二面角相等，則兩個(gè)三面角相等”，等同于“兩個(gè)三角形中對(duì)應(yīng)的兩邊和一個(gè)夾角相等，則兩個(gè)三角形全等”，但是必須指出次序的關(guān)系；長(zhǎng)方體體積的求法可與矩形面積的求法對(duì)比，因?yàn)槎际且哉麛?shù)的乘積作為基礎(chǔ)，推廣到分?jǐn)?shù)的乘積、無理數(shù)的乘積；棱柱、圓柱求側(cè)面積、求體積的公式可以類比，因?yàn)榍罢呤堑酌嬷荛L(zhǎng)與高的乘積，后者是底面積與高的乘積；棱錐、圓錐求體積的公式可以類比，因?yàn)槎际堑酌娣e與高相乘積的三分之一；棱臺(tái)、球臺(tái)求體積的公式可以類比，因?yàn)槎际侨齻€(gè)椎體體積的和. 在三角形中，解斜三角形的討論可與平面幾何已知兩邊一對(duì)角作三角形的討論對(duì)比；三角方程的增根問題可以與代數(shù)方程的增根問題對(duì)比. 在代數(shù)中，排列與組合可以進(jìn)行對(duì)比；復(fù)數(shù)除法與有理化分母類比；解不等式與解方程對(duì)比；不等式的證明與恒等式的證明對(duì)比. 這樣做了之后，學(xué)生對(duì)新學(xué)的知識(shí)認(rèn)識(shí)就比較深刻，也易于識(shí)記. 但是要注意共性與特性，要分出相似與相同的地方，不能混淆.

在復(fù)習(xí)課上總結(jié)新舊知識(shí)的聯(lián)系

高中數(shù)學(xué)是一門比較系統(tǒng)的學(xué)科，每學(xué)完一個(gè)單元之后教師一定要進(jìn)行單元總結(jié)，整理所學(xué)的知識(shí)，分析特點(diǎn)和概括方法，以達(dá)到提高的作用. 如果方法不止一種，可以在講了幾個(gè)方法之后復(fù)習(xí)這些方法的特點(diǎn)，告之學(xué)生哪類問題應(yīng)該用哪種方法解答，然后再進(jìn)行新的方法的講解. 這樣一來，學(xué)生就不會(huì)學(xué)得多而不知如何用. 當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)較難的單元時(shí)，可以在告一段落的地方進(jìn)行復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)問題，及時(shí)解決.

例如，講了排列組合之后，可以進(jìn)行復(fù)習(xí)；講了二項(xiàng)式定理之后，除了復(fù)項(xiàng)式定理之外，還要復(fù)習(xí)排列與組合. 由于不斷的復(fù)習(xí)加強(qiáng)了學(xué)生的理解與記憶，使得知識(shí)得到了鞏固. 在復(fù)習(xí)時(shí)，還應(yīng)該有計(jì)劃地布置作業(yè)，使其逐漸深入，起到層層加深的作用.

遵循大綱，鉆研教材

在授予新課之前，教師應(yīng)該鉆研教材，找出新課與舊課的聯(lián)系，在復(fù)習(xí)舊知識(shí)的時(shí)候，逐漸加入新課的因素，用化整為零的方法來分散本課的難點(diǎn). 這樣一來，教師在講的時(shí)候不會(huì)感覺到費(fèi)力，學(xué)生在聽的時(shí)候也不會(huì)感覺到難懂.

例如，在講立體幾何棱臺(tái)體積的求法時(shí)，不要先講定理，只說出本課的目的要求即可. 教師可以先拿出一個(gè)棱臺(tái)的模型，問學(xué)生：“棱臺(tái)的定義是什么？”學(xué)生回答：“棱錐被平行于地面的平面所截，截面同原棱錐地面之間的多面體就叫做棱臺(tái).” 教師再問：“延長(zhǎng)棱臺(tái)的所有側(cè)棱會(huì)有什么樣的結(jié)果呢？”“他們會(huì)相交于一點(diǎn)，然后變成兩個(gè)棱錐”，緊接著教師提問：“棱錐的體積怎么計(jì)算？”棱錐是大家熟悉的，棱錐的體積等于其底面積與高相乘的三分之一. 求出棱錐的體積之后，此時(shí)教師才發(fā)問：“那么，棱臺(tái)的體積能否由棱錐的體積求得呢？”顯然，此時(shí)棱臺(tái)的體積是等于兩個(gè)棱錐的體積之差，這樣就可以順其自然的引入新課：棱臺(tái)體積的求法.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)：講三角形的邊角關(guān)系補(bǔ)助定理時(shí)，復(fù)習(xí)平面幾何的“同弧內(nèi)的弓角相等”；在講“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”時(shí)，可以復(fù)習(xí)直角三角形的解法；講到“余弦定理”時(shí)，可以復(fù)習(xí)平面幾何的勾股定理的推斷；講到反三角函數(shù)之前，教師可以系統(tǒng)地復(fù)習(xí)“角的概念、三角函數(shù)的概念、任意角的三角函數(shù)化成銳角的三角函數(shù)的求法”，使學(xué)生能夠理解反三角函數(shù)的均值性，并掌握反三角函數(shù)主值的求法；在講三角方程之前，可以復(fù)習(xí)“三角函數(shù)與反三角函數(shù)的關(guān)系”，使學(xué)生對(duì)已知的三角函數(shù)值求角的普遍值的方法能透徹理解并且牢固地掌握.

此外，在代數(shù)中，講到復(fù)數(shù)的幾何表示法時(shí)，教師可以復(fù)習(xí)“各個(gè)象限的角的三角函數(shù)的性質(zhì)”同“三角函數(shù)的周期性”；講二次三項(xiàng)式之前，系統(tǒng)地復(fù)習(xí)“二次三項(xiàng)式因式分解”，“二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)”. 總之，只要我們?cè)趥湔n時(shí)注意到教材的系統(tǒng)性，每一節(jié)課都可以找到復(fù)習(xí)舊課的機(jī)會(huì).

在新課中復(fù)習(xí)舊課，復(fù)習(xí)的方法應(yīng)有所不同. 若新課與舊知識(shí)聯(lián)系的地方不太多，就可以在進(jìn)行新課講解時(shí)復(fù)習(xí)與新課有聯(lián)系的各部分. 若新課所需要的舊知識(shí)較多，講過的時(shí)間相隔又是比較久的，就可以在講新課以前用幾個(gè)課時(shí)來進(jìn)行復(fù)習(xí).

例如，講反三角函數(shù)之前，用幾節(jié)課對(duì)角的概念和三角函數(shù)的概念進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)；講二次三項(xiàng)式之前，用幾節(jié)課對(duì)二次三項(xiàng)式的因式分解同二次函數(shù)的圖形進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí). 系統(tǒng)復(fù)習(xí)時(shí)，首先對(duì)關(guān)鍵問題重點(diǎn)講解；然后布置復(fù)習(xí)提綱，指定復(fù)習(xí)順序與范圍，使學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)能抓住重點(diǎn)；最后進(jìn)行依次提問，分段作出結(jié)論，使學(xué)生對(duì)舊知識(shí)能深刻地理解，系統(tǒng)地掌握；再布置作業(yè)，進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的鞏固. 這樣做了之后，學(xué)生不再感覺學(xué)習(xí)新課有困難，因而增加了學(xué)習(xí)的興趣.

這樣做的目的，不僅僅能使舊知識(shí)屢次重復(fù)出現(xiàn)，起到鞏固的作用，而且能使學(xué)生知道新知識(shí)從何而來，對(duì)新知識(shí)也比較容易理解，也能逐漸培養(yǎng)學(xué)生的理解能力. 因此，在復(fù)習(xí)舊知識(shí)時(shí)，必須與本單元或者本章節(jié)有所關(guān)聯(lián)，才不會(huì)打亂學(xué)科的系統(tǒng)性.

了解學(xué)生知識(shí)掌握情況

要復(fù)習(xí)的好，教師還必須了解學(xué)生的情況，如對(duì)舊知識(shí)的掌握情況、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法是否正確等等. 至于了解學(xué)生的途徑，教師可以從課外作業(yè)、復(fù)習(xí)提問、課代表的反映、個(gè)別詢問、課外輔導(dǎo)作業(yè)等多方面進(jìn)行. 遇到有不重視復(fù)習(xí)舊課、學(xué)習(xí)態(tài)度不端正的學(xué)生，必須進(jìn)行教育，使其在思想上得到糾正，才能收到復(fù)習(xí)的效果.

總之，復(fù)習(xí)舊課是保證牢固掌握知識(shí)的最好方法之一，因?yàn)榻?jīng)常使舊知識(shí)在學(xué)生記憶中重復(fù)出現(xiàn)，不但可以使得舊知識(shí)得到鞏固，還可以使它得到發(fā)展.同時(shí)，把已經(jīng)獲得的知識(shí)整理成為一個(gè)系統(tǒng)，這些知識(shí)就猶如釘?shù)睦卫蔚尼斪樱肋h(yuǎn)不會(huì)消失，運(yùn)用起來也靈活自如. 要做到這一點(diǎn)也不是非常困難，只要教師是有意識(shí)地、有計(jì)劃地處理教材，在高中三年級(jí)的教學(xué)中，進(jìn)行新課的同時(shí)，就可以使舊知識(shí)得到全部的復(fù)習(xí).