前言：本站為你精心整理了探討小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備的邏輯素養(yǎng)范文，希望能為你的創(chuàng)作提供參考價(jià)值，我們的客服老師可以幫助你提供個(gè)性化的參考范文，歡迎咨詢。

摘要：在近幾年參加的小學(xué)數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)由于教師邏輯知識(shí)缺失所導(dǎo)致的錯(cuò)誤。邏輯素養(yǎng)在小學(xué)數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的建構(gòu)中至關(guān)重要，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)掌握關(guān)于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)證明等邏輯知識(shí)，謹(jǐn)防在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)各種邏輯性錯(cuò)誤。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)　教師專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)　邏輯素養(yǎng)

在近幾年參加的小學(xué)數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)因教師專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)不足所導(dǎo)致的各種錯(cuò)誤，除不少錯(cuò)誤與教師的學(xué)科知識(shí)素養(yǎng)有關(guān)外，還有一些錯(cuò)誤與教師的邏輯素養(yǎng)有關(guān)，這不得不引起我們的警覺(jué)和重視。因此在小學(xué)數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的建構(gòu)中，務(wù)必要重視有關(guān)數(shù)學(xué)概念、命題、推理、證明等形式邏輯知識(shí)的掌握，謹(jǐn)防在教學(xué)中出現(xiàn)各種邏輯性錯(cuò)誤。

一、掌握有關(guān)數(shù)學(xué)概念的邏輯知識(shí)

1.科學(xué)把握數(shù)學(xué)概念的邏輯定義

在人類(lèi)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)抽象形成新概念，由此壓縮和簡(jiǎn)化了語(yǔ)言，加快了思維速度和深度。一個(gè)概念引入之后，就要借助語(yǔ)言，將其加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。對(duì)數(shù)學(xué)概念下定義，其基本方式是“種差+屬概念”，即把某一概念包含在它的屬概念中，并揭示它與同一屬概念下其他種概念之間的差別。比如以四邊形為屬概念，可以分別對(duì)平行四邊形和梯形下定義。在對(duì)概念下定義時(shí)，不能循環(huán)定義，比如“用兩直線垂直來(lái)定義直角，又用兩直線成直角來(lái)定義垂直”，等等。需要注意的是，盡管“種差+屬概念”是對(duì)數(shù)學(xué)概念下定義的基本方式，但對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)并非理想的定義方式，因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)多采用的是從特殊到一般的方式，因此許多數(shù)學(xué)概念無(wú)法嚴(yán)格按照“種差+屬概念”的方式定義。比如在小學(xué)教材中先教長(zhǎng)方形，后教平行四邊形，無(wú)法以平行四邊形來(lái)定義長(zhǎng)方形。正因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的不少概念最初都沒(méi)有嚴(yán)格定義，只是通過(guò)描述性方法來(lái)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的特征。

2.明確數(shù)學(xué)概念與定義的邏輯關(guān)系

數(shù)學(xué)概念不同于數(shù)學(xué)定義。數(shù)學(xué)概念是從數(shù)和形兩方面揭示客觀事物本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物，它反映了數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容；數(shù)學(xué)定義是對(duì)數(shù)學(xué)概念的語(yǔ)言表達(dá)，它是數(shù)學(xué)概念的外殼，反映了數(shù)學(xué)概念的形式。對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)概念，可以有不同的定義方式。比如對(duì)平行四邊形，既可以定義為“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形”，也可以定義為“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形”，這主要取決于采用哪種定義，更容易凸顯出對(duì)象的本質(zhì)，或更容易被學(xué)生理解和接受。當(dāng)然，這些定義之間是相互等價(jià)的。需要注意的是，由于概念的定義具有人為性，因此定義方式不當(dāng)，便難以反映出概念的本質(zhì)屬性。比如，在小學(xué)把“角”定義為“具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形”，這并未反映出角的本質(zhì)，因?yàn)榻堑谋举|(zhì)并非體現(xiàn)在可見(jiàn)的“圖形”上，而是體現(xiàn)在不可見(jiàn)的“張口大小”上。

3.正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的邏輯分類(lèi)

如果將一個(gè)概念的外延集，按照某一屬性分成若干個(gè)子集，也就是將一個(gè)屬概念劃分為若干個(gè)種概念，這就是明確概念外延的方法——分類(lèi)。被分的屬概念稱(chēng)為劃分的母項(xiàng)，分得的若干種概念稱(chēng)為劃分的子項(xiàng)，所依據(jù)的屬性稱(chēng)為劃分的標(biāo)準(zhǔn)[1]。通過(guò)概念的分類(lèi)，可以使有關(guān)的概念系統(tǒng)和完整，同時(shí)使被分類(lèi)的概念的外延更清楚、深刻和具體。但對(duì)概念分類(lèi)時(shí)應(yīng)注意一些問(wèn)題，比如每次分類(lèi)只能依據(jù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)、分類(lèi)要不重不漏、不能越級(jí)進(jìn)行分類(lèi)等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常有教師會(huì)問(wèn)：菱形是平行四邊形嗎？正方形是長(zhǎng)方形嗎？平行四邊形是梯形嗎？圓是扇形嗎？等等。這里就涉及到對(duì)概念的邏輯分類(lèi)問(wèn)題。概念的邏輯分類(lèi)必須基于概念的定義。比如在教材中，將正方形定義為一種特殊的長(zhǎng)方形，菱形定義為一種特殊的平行四邊形，因此正方形也是長(zhǎng)方形，菱形也是平行四邊形，兩者之間是包含關(guān)系。但平行四邊形并不是用梯形作為屬概念來(lái)定義的，平行四邊形與梯形均是把四邊形作為屬概念來(lái)定義的，因此兩者之間是并立關(guān)系，把平行四邊形當(dāng)作特殊梯形是不恰當(dāng)?shù)?。至于圓是不是扇形，單從扇形定義無(wú)法判別的話，則通常采用約定的方式，即約定一類(lèi)對(duì)象中的退化情形是否屬于該類(lèi)，這里并不涉及正確與否的科學(xué)性問(wèn)題，僅僅是一種約定俗成的人為規(guī)定。因此對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，必須具體問(wèn)題具體分析，并無(wú)統(tǒng)一的確定答案。

二、掌握有關(guān)數(shù)學(xué)命題的邏輯知識(shí)

1.掌握命題四種形式之間的邏輯關(guān)系

為了研究數(shù)學(xué)命題的條件和結(jié)論的邏輯聯(lián)系，常把一個(gè)命題的條件和結(jié)論換位，或變?yōu)樗鼈兊姆穸ㄐ问?，這樣就可以得到命題的四種形式，即原命題、逆命題、否命題和逆否命題。對(duì)互為逆否的兩個(gè)命題，它們具有同真同假的性質(zhì)，此特性稱(chēng)為逆否命題的等效原理。因此，原命題與逆否命題、逆命題和否命題具有同真同假的關(guān)系。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，為了考察一個(gè)數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性，可以轉(zhuǎn)換為考察它的逆否命題的真實(shí)性。比如在某節(jié)課上，任課教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)了對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，即“如果兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等?！钡谡n堂練習(xí)環(huán)節(jié)，在判斷哪些點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生認(rèn)為“因?yàn)镸和N到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等，所以M和N是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，教師進(jìn)行了肯定，之后學(xué)生都據(jù)此進(jìn)行判斷。這里師生所犯的錯(cuò)誤，即是利用了性質(zhì)命題的逆命題進(jìn)行判斷，但在這里原命題與逆命題并不等價(jià)。

2.明晰命題條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系

數(shù)學(xué)命題常常寫(xiě)成“若P則Q”的形式，其中“若P”部分叫做命題的條件，“則Q”部分叫做命題的結(jié)論。根據(jù)命題條件P對(duì)結(jié)論Q所起的作用，可以把命題的條件分為以下四種情況，即充分非必要條件、必要非充分條件、充分必要條件、既非充分又非必要條件。命題的條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，與該命題及其逆命題、否命題和逆否命題的真假，顯然存在緊密聯(lián)系。例如在上述案例中，“兩個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”只是“距離相等”的充分非必要條件，若原命題的條件和結(jié)論滿足這樣的邏輯關(guān)系，則該原命題的逆命題一定不成立。

3.明確性質(zhì)定理和判定定理之間的差異

性質(zhì)定理是由概念或公理得到的定理，討論某個(gè)概念的時(shí)候，就包含了它的所有性質(zhì)，所以性質(zhì)定理的主要功能是描述特征。斷定定理是判斷所討論的某事物是否符合某個(gè)概念或公理的定理，所以判斷定理的主要功能是判斷結(jié)論。性質(zhì)定理和判定定理具有互逆的特征，但兩者并不一定是互逆的命題。概念本身既是判定定理也是性質(zhì)定理，且這兩個(gè)定理是互逆命題。比如平行線的概念，我們可以直接用它來(lái)判斷兩直線平行，也可以根據(jù)兩直線平行知道它們位于同一平面內(nèi)且沒(méi)有交點(diǎn)。從命題的條件和結(jié)論的關(guān)系來(lái)看，性質(zhì)定理闡述了一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象所具有的重要性質(zhì)，其作用是揭示這個(gè)研究對(duì)象的某個(gè)特征，性質(zhì)定理給出了結(jié)論成立的必要條件；判定定理闡述了結(jié)論成立的依據(jù)，判定定理給出了結(jié)論成立的充分條件。區(qū)分一個(gè)定理是判定定理還是性質(zhì)定理，關(guān)鍵是看該定理闡述了結(jié)論成立的依據(jù)，還是揭示了一個(gè)研究對(duì)象的某個(gè)特征，若定理闡述了結(jié)論成立的依據(jù)，則是判定定理，否則就是性質(zhì)定理了。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不清楚性質(zhì)定理和判定定理的關(guān)系，教學(xué)就會(huì)變得盲目，甚至導(dǎo)致邏輯錯(cuò)誤的發(fā)生。比如教學(xué)三角形的性質(zhì)“任意三角形的兩邊之和大于第三邊”時(shí)，有的教師通過(guò)讓學(xué)生用小木棒來(lái)擺一擺，最后發(fā)現(xiàn)“若兩個(gè)短的小木棒大于最長(zhǎng)的小木棒，則可構(gòu)成三角形”。這里就把三角形性質(zhì)的學(xué)習(xí)，異化成了三角形判定的學(xué)習(xí)了。要學(xué)習(xí)三角形的性質(zhì)，要先給出三角形，再根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，知道走直線比走折線要近，由此得出三角形的性質(zhì)，其本質(zhì)上依據(jù)的是數(shù)學(xué)公理“兩點(diǎn)之間線段最短”。

三、掌握有關(guān)數(shù)學(xué)推理的邏輯知識(shí)

1.掌握邏輯推理的基本形式

推理是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷中得出一個(gè)新判斷的思維形式。在推理過(guò)程中，所根據(jù)的已有判斷叫做推理的前提，做出的新判斷叫做推理的結(jié)論。數(shù)學(xué)推理主要有演繹推理、歸納推理和類(lèi)比推理。演繹推理是由一般到特殊的推理形式。由于演繹推理的前提判斷范圍包含結(jié)論中的判斷范圍，所以只要前提是真的，推理合乎形式邏輯規(guī)律的推理形式，就一定能得到正確結(jié)論。歸納推理是由個(gè)別事物所作的判斷，擴(kuò)大為同類(lèi)一般事物的判斷的一種推理形式。按照前提判斷范圍的總和是否與結(jié)論判斷范圍一致，歸納推理有完全歸納和不完全歸納兩種形式。完全歸納可作為嚴(yán)格論證的方法；不完全歸納得到的結(jié)論具有或然性，不能用于證明，只能做出假設(shè)或猜想。類(lèi)比推理是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象的某些屬性相同或相似，推出它們的其他屬性也可能相同或相似的思維形式。類(lèi)比推理是思維過(guò)程中由特殊到特殊的推理形式，由于條件和結(jié)論沒(méi)有明確的必然聯(lián)系，故得出的結(jié)論具有或然性，它也是一種不嚴(yán)格的推理方法。比如在推導(dǎo)三角形面積公式時(shí)，有的教師直接從平行四邊形出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，即畫(huà)出一個(gè)平行四邊形，連接對(duì)角線，將其一分為二，分割為兩個(gè)一樣的三角形，根據(jù)前面所學(xué)平行四邊形面積公式，由此得出三角形面積公式。這樣的教學(xué)思路是錯(cuò)誤的。其原因在于，盡管平行四邊形是任意畫(huà)出來(lái)的，但一旦畫(huà)出來(lái)后，它就是給定的，給定的平行四邊形不能確保三角形的任意性，因此推導(dǎo)出的三角形面積公式就不具有任意性了。也就是說(shuō)，不能用“特殊”代替“一般”，否則就違反了演繹推理的基本要求。在實(shí)際教學(xué)中，我們可以采用以上這種思路來(lái)突破教學(xué)難點(diǎn)，即通過(guò)對(duì)平行四邊形的分割，啟發(fā)學(xué)生想到用割補(bǔ)法把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，但三角形面積公式的推導(dǎo)必須從任意給定的三角形出發(fā)。

2.掌握形式邏輯的基本規(guī)律

數(shù)學(xué)的推理與證明，運(yùn)用的是形式邏輯的思維，因此必須滿足形式邏輯的基本規(guī)律。形式邏輯有四條基本規(guī)律，即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。同一律是指在同一思維過(guò)程中，使用的概念和判斷必須保持同一性，不得中途變更，違反這條規(guī)則的常見(jiàn)錯(cuò)誤是偷換概念或偷換論題。矛盾律是指人們?cè)谕凰季S過(guò)程中，對(duì)兩個(gè)反對(duì)或矛盾的判斷不能同時(shí)承認(rèn)它們都是真的，其中至少有一個(gè)是假的，比如a＞b和a＜b，否則就會(huì)出現(xiàn)思維上的前后不一、自相矛盾。排中律是指在同一思維過(guò)程中，同一對(duì)象的肯定判斷和否定判斷不能同假，必有一個(gè)是真的，比如a＞b和a≤b，違反排中律的邏輯錯(cuò)誤是模棱兩不可。充足理由律是指在思維過(guò)程中，任何一個(gè)真實(shí)的判斷必須有充足的理由，如果論題的真實(shí)性要靠論據(jù)來(lái)證明，論據(jù)的真實(shí)性又要靠論題來(lái)證明，其結(jié)果是什么也沒(méi)有證明，違反這條規(guī)則的邏輯錯(cuò)誤叫循環(huán)論證。比如在學(xué)習(xí)平行四邊形時(shí)，有的教師先出示了生活中的平行四邊形實(shí)例，接著讓學(xué)生動(dòng)手做出平行四邊形，在此基礎(chǔ)上抽象出平行四邊形的特征。其實(shí)，學(xué)生不知道平行四邊形的特征，便難以做出平行四邊形；現(xiàn)在運(yùn)用其特征做出平行四邊形，再反其道探究其特征，這樣的教學(xué)便有循環(huán)論證之嫌。

四、掌握有關(guān)數(shù)學(xué)證明的邏輯知識(shí)

1.按是否直接證明命題，數(shù)學(xué)證明分為直接證法和間接證法

所謂直接證法，指從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。直接證法是數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的方法，在證明過(guò)程中，通常要運(yùn)用演繹、歸納、分析、綜合等方法。所謂間接證法，指不是直接證明論題的真實(shí)性，而是轉(zhuǎn)化為證明反論題不真；或者證明與論題等效的命題的真實(shí)性；或者在互逆命題等效的情況下，通過(guò)證明論題的逆命題的真實(shí)性，從而肯定論題的真實(shí)性。間接證法又可分為反證法和同一法。間接證法是論證數(shù)學(xué)結(jié)論的有力武器，體現(xiàn)了正難則逆、直難則曲、順難則反的思想。間接證法中的反證法在小學(xué)數(shù)學(xué)中較為重要。盡管在小學(xué)數(shù)學(xué)中沒(méi)有出現(xiàn)反證法的概念，但反證法思想在分析和解決問(wèn)題時(shí)卻經(jīng)常要用到。比如在直角三角形ABC中，已知∠C是直角，那么要說(shuō)明∠A一定是銳角，最簡(jiǎn)單的方法就是應(yīng)用反證法思想。

2.按思維過(guò)程的順序，數(shù)學(xué)證明分為綜合法和分析法

在數(shù)學(xué)證明中，為了找到證明的途徑，根據(jù)思考時(shí)推理序列的方向不同，數(shù)學(xué)證明的方法可以分為分析法和綜合法。所謂分析法，就是從結(jié)論出發(fā)，逆溯其成立的條件，再就這些條件分析研究，看它的成立又需要什么條件，繼續(xù)逐步逆溯，直至達(dá)到已知條件為止，簡(jiǎn)稱(chēng)“執(zhí)果索因”。而綜合法正好與之相反，它是從題設(shè)出發(fā)，以已確立的定義、公理、定理、公式、法則等為依據(jù)，逐步展開(kāi)邏輯推理，直到獲得所要證明的結(jié)論，簡(jiǎn)稱(chēng)“由因?qū)Ч?。通常用分析法尋找解題思路，用綜合法敘述解題過(guò)程。在小學(xué)算術(shù)應(yīng)用問(wèn)題的解決中，離不開(kāi)綜合法和分析法的運(yùn)用。簡(jiǎn)單的問(wèn)題，往往直接應(yīng)用綜合法便可解決；復(fù)雜的問(wèn)題，往往需要分析法和綜合法的綜合運(yùn)用。分析法從要求解的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找一系列的“須知”，思維具有目標(biāo)性和方向性；綜合法從已知條件出發(fā)，逐步推出一系列的“可知”，思維具有發(fā)散性和不確定性。當(dāng)“須知”和“可知”相遇之后，便成功打通了一條解題通道。

3.按證明過(guò)程所采用推理形式，數(shù)學(xué)證明分為演繹法和歸納法

用演繹推理的方法進(jìn)行證明稱(chēng)為演繹法，演繹法是從一般到特殊的推理形式，一般通過(guò)三段論的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)。用歸納推理的方法進(jìn)行證明稱(chēng)為歸納法，歸納法是由特殊到一般的推理形式。如前所述，歸納法按照概括對(duì)象的范圍不同，分為完全歸納法和不完全歸納法兩類(lèi)。完全歸納法的理論依據(jù)是完全歸納推理，所證命題涉及的對(duì)象數(shù)目是有限的，可以作為數(shù)學(xué)證明的工具；不完全歸納法得到的結(jié)論是或然性的，不能作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格論證的工具。比如在小學(xué)學(xué)習(xí)了乘法分配律之后，有學(xué)生提出有沒(méi)有“除法分配律”的問(wèn)題，教師據(jù)此引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)探究。探究時(shí)學(xué)生列舉了大量實(shí)例進(jìn)行論證，發(fā)現(xiàn)除法對(duì)加法滿足右分配律，這時(shí)學(xué)生采用的便是歸納的論證方法，但這并無(wú)法真正證明某個(gè)結(jié)論。當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生將分析論證過(guò)程一般化，即（a+b）÷c=（a+b）×c1=a×c1+b×c1=a÷c+b÷c，此時(shí)采用的便是演繹的論證方法。演繹法和歸納法只在說(shuō)明某個(gè)結(jié)論成立時(shí)使用。要說(shuō)明某個(gè)結(jié)論不成立，如除法對(duì)加法不滿足左分配律，則只要舉出一個(gè)反例進(jìn)行否定即可。

參考文獻(xiàn)

[1]李祎.數(shù)學(xué)教學(xué)方法論[M].福州：福建教育出版社，2010：12.

作者：李祎  單位： 福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院