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在世界科學史中，中國傳統(tǒng)數(shù)學是一顆燦爛的明珠。在中國傳統(tǒng)數(shù)學中，“算經(jīng)十書”是典型的代表。所謂“算經(jīng)十書”，指的是中國十部古算書：《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術》、《綴術》（元豐年間已失傳，后來以《數(shù)術記遺》代之）、《緝古算經(jīng)》。唐代時期，國子監(jiān)內設算學館，置有博士、助教，指導學生學習數(shù)學，規(guī)定這十部書為課本。許多人為這十部算書作注釋，作增補刪改，歷代華夏子孫學習它，研究它，中國數(shù)學也因它而形成自身的傳統(tǒng)并將此傳統(tǒng)繼承和發(fā)揚?！八憬?jīng)十書”就其內容來說，屬于初等數(shù)學；就其數(shù)學思想和數(shù)學方法來說，則是十分高深的。下面，我們闡述其數(shù)學思想。

1.探索和追求精益求精的計算方法和技巧

就數(shù)學內容而言，“算經(jīng)十書”以善于計算而見長，并且這一長足的發(fā)展還被推進到讓世界其他各國都望塵莫及的地步，這已是中外中算史家的共識?！八憬?jīng)十書”能如此輝煌耀目，是跟它著力探索和追求精益求精的計算方法和技巧分不開的。

“算經(jīng)十書”中最早的一種《周髀算經(jīng)》，其第一章敘述了西周開國時期（約公元前1100年）周公與商高的一段問答。從這段問答中，我們可以見到我國早期數(shù)學思想的一些初步端倪。當周公問商高“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數(shù)安從出？”時，商高答道：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩。矩出于九九八十一?！苯又?，商高還說：“故折矩以為句廣三，股脩四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤，得三、四、五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也?！边@里，我們可以清新地見到，我們祖先在早期“定天下”、“治天下”時，已經(jīng)看到了數(shù)學的重要性（如大禹、周公）；而掌握到一些數(shù)學知識的人（如高商），是注意數(shù)學思想和數(shù)學方法的。比如，我們從上述商高答問中，就可以看到，古人理解“數(shù)之所由生”，是將形與量結合起來考察的。圓和方都是形，而形是有數(shù)量關系的，從考察形可以探討到“數(shù)之法”，但這形中又包含著豐富的數(shù)量關系，特別是平方關系（九九八十一）。數(shù)之法是從圓形和方形開始的。圓是內接正多邊形經(jīng)過無數(shù)次的倍邊之后所得到的正多邊形的極限（我國最早的極限思想，是不是來自于這種“圓出于方”的觀念，希望讀者引起注意）。矩是木匠用的曲尺，形如L，方中的直角，非矩不能作，所以說方出于矩。矩形的面積又不外于二數(shù)相乘，也就是說，要算出來。我國古代算法好憑口訣，而乘法口訣是從“九九八十一”起的，古人用“九九”作為乘法口訣的簡稱，故有“矩出于九九八十一”。這里所包含的用數(shù)的性質來研究形的性質的思想，與古希臘的數(shù)學思想旨趣相映。古希臘的畢達哥拉斯定理：a2+b2=c2。而當a=b=1時，則

c=，這既不是自然數(shù)，也不是自然數(shù)之比，所以不能是可接受的正常的數(shù)，被稱為無理數(shù)，導致了第一次數(shù)學危機，從此古希臘數(shù)學發(fā)展的方向產生了大改變，“幾何化”占了主導地位。[1]商高提出了著名的“句三股四弦五”這個勾股定理（也稱勾股弦定理、商高定理），是從“折矩”而來然后得“積矩”的，3，4，5及其平方的關系可以體現(xiàn)出勾股定理，但中國并沒有由此而產生數(shù)學危機，也沒有發(fā)生發(fā)展方向的大改變，反而為“幾何代數(shù)化”[2]這個中國傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)展主導方向奠定了很好的基礎。中國早期講究以算的方法去解決實際數(shù)學問題，是“數(shù)之所由生”的重要思想。

在古代，不管是西方國家或中國，數(shù)學的發(fā)展都跟勾股定理結下不解之緣，這不是偶然的歷史巧合，而是不同淵源和發(fā)展脈絡的科學認識的一種必然交匯，其原因是由人們的實踐活動決定的。作為人類早期的數(shù)學研究活動，很自然地會碰到考察形的性質及數(shù)量關系，直角三角形成為關注的對象是在情理之中。正如趙爽所說的，早期先人們（如大禹）能掌握有關的數(shù)學知識是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思維方式會導致數(shù)學發(fā)展的不同朝向，至少在初等數(shù)學領域內是存在的。古希臘在數(shù)、形簡單和諧的觀念被打破之后發(fā)生大轉向，從重算發(fā)展到重證，發(fā)展到重視幾何證明，往后的趨勢就是有了這種發(fā)展趨勢和成果的集大成標志——歐氏幾何的產生，它是西方國家初等數(shù)學體系確立的標志，而中國此時并不發(fā)生方向的大改變，而是沿著算的道路繼續(xù)前進，往廣度和深度上延伸發(fā)展，導致的是中國傳統(tǒng)數(shù)學體系的形成——《九章算術》的出現(xiàn)?！毒耪滤阈g》中有許多具有世界意義的成就，如負數(shù)計算、分數(shù)計算、聯(lián)立一次方程解法等，正是沿著探索計算的方法和技巧前進的結果?？少F的是，我們的祖先在此數(shù)學思想的指導之下，并不以原有的結果為滿足，沒有停留在原有的水平上裹足不進，而是精益求精地深入下去。如《九章算術》246道題，有解題方法202“術”，在當時有如此輝煌成績已難能可貴，但三國魏晉時期的劉徽，就在《九章算術》的基礎上，仔細作注，不但為《九章》提供了系統(tǒng)的理論依據(jù)，而且大力向前推進，提出了許多創(chuàng)見，將探討和講究精益求精的計算方法和技巧這種數(shù)學思想，提到一個更高的水平，并對后世的發(fā)展帶來了深刻的實際影響，如他發(fā)現(xiàn)的割圓術，為后來祖沖之求得更精確的π值奠定了基礎，唐李淳風注《九章算術》時說：“劉徽特以為疏，遂乃改張其率，但周徑相乘數(shù)難契合。祖沖之以其不精，就中更推其數(shù)?！眲⒒毡救烁嬲]人們他所得到的“徽率”太小，后人也正是沿著劉徽的思想方法再繼續(xù)前進，將π值愈推愈精確。在求積問題上，劉徽也有突破，他提出了推求球體積的著名的“牟合方蓋”理論，之后，祖暅在劉徽研究的基礎上，精益求精，得到了聞名于世的“祖暅定理”，并具體求出了“牟合方蓋”。這長江后浪推前浪，一浪更比一浪高的中國高超的算法技巧，正是在一條清晰的傳統(tǒng)思維途徑――探索和講求精益求精的計算方法和技巧中進行和取得成就的。如《張丘建算經(jīng)》自序中這樣寫道：“其夏侯陽之方倉，孫子之蕩杯，此等之術皆未得其妙。故更造新術推盡其理?！痹谔剿骶媲缶乃惴ǖ缆飞细弦粚訕牵褪恰稄埱鸾ㄋ憬?jīng)》的數(shù)學指導思想，正是在此思想的指導之下，出現(xiàn)了舉世聞名的“百雞問題”。

2．講究明確的思想依據(jù)

數(shù)學思想研究的是數(shù)學產生和發(fā)展的思想方法和思想依據(jù)。“算經(jīng)十書”不僅在數(shù)學知識上光彩耀目，在數(shù)學思想上也獨樹一幟，其顯著的特點是對于作為每項有意義的數(shù)學成果，都講究其明確的思想依據(jù)。

劉徽精細地注釋了《九章算術》，從而確立了中國傳統(tǒng)數(shù)學理論體系。劉徽的數(shù)學思想和方法，對后世影響極深。如王孝通在《上緝古算經(jīng)表》中云：“徽思極毫芒，觸類增長。”說劉徽的思想方法是“一時獨步”。而劉徽對自己所接觸和研究的數(shù)學，是十分講究明確的思想依據(jù)的。“算經(jīng)十書”中有二部與他密切相關。《九章算術》由于有了劉徽注，從此中國傳統(tǒng)數(shù)學有了自己的理論體系；他在注《九章算術》時補撰“重差”，其單行本即《海島算經(jīng)》。劉徽注《九章算術》時，十分講究數(shù)理之道要有明確的思想依據(jù)。在《九章算術》注原序中，劉徽說：“徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者，知發(fā)其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣?！痹凇皥A田術”注中，劉徽寫道：“不有明據(jù)，辯之斯難”，于是，他在創(chuàng)造“割圓術”的同時，還告訴人們此種創(chuàng)造是有依據(jù)的：“謹接圖驗，更造密率?？挚赵O法，數(shù)昧而難譬。故置諸檢括，謹詳其記注焉?！痹凇伴_立圓”（由球的體積以開立方的方法求其直徑）注中，劉徽創(chuàng)立了“牟合方蓋”理論，他不僅介紹了有關方法，而且還言明思想依據(jù)，“互相通補，……觀立方之內，盒蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正?！钡謸囊罁?jù)不足，惟恐理法相違，專門作了交待，以待后人獲得更嚴密的依據(jù)：“欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者”。從中我們不僅見到先哲們對探討數(shù)理的思想依據(jù)的重視，也深深領悟到他們治學嚴謹?shù)母呱酗L范。在談到將割圓術作為解決有關極限問題的工具時，劉徽也闡述了其思想依據(jù)：“數(shù)而求窮之者，謂以情推，不用算籌”（“陽馬術”注）。意思是說，數(shù)學中凡解決有關無窮之類問題時，不必用算籌去計算，應當用數(shù)學思想去把握。再拿《海島算經(jīng)》來說，劉徽為什么要寫《海島算經(jīng)》呢？其思想依據(jù)是什么?在《九章算術》劉徽注原序中，劉徽清楚的說明“蒼等為術猶未足以博盡群數(shù)也”，于是“輒造重差，并為注解，以究古人之意，綴于句股之下”，“以闡世術之美”。而造“重差”此術的思路是：要測量不可到達目的物的高和遠時，一次測望不夠，于是采用二次測望、三次測望、四次測望，即“度高者重表，測深者累矩”（“重表”或“累矩”就是用表或矩測望兩次）、“孤離者三望”、“離而又旁求者四望”。更為深刻的是，劉徽并不是勉強、被動地去考究數(shù)學知識之思想依據(jù)的，他認為數(shù)學思想與數(shù)學知識之間本身具有非常緊密的聯(lián)系，他用庖丁解牛來闡述此層道理：“更有異術者，庖丁解牛，游刃理間，故能歷久其刃如新。夫數(shù)猶刃也，易簡用之則動中庖丁之理，故能和神愛刃，速而寡尤”（《九章算術》方程術注）。

自劉徽之后，“算經(jīng)十書”的著者都較注意闡述算理要有明確的思想依據(jù)，如四庫總目提要中稱：《張丘建算經(jīng)》之體例，皆設為問答，以參校而中明之，簡奧古質，與近求不同，而條理精密，實能深究古人之意。正因為此書注意講究數(shù)學的思想依據(jù)，因而對掌握數(shù)學知識的來龍去脈很有益處，“故唐代頒之算學，以為專業(yè)”。就是在我國近年的中學數(shù)學課本中，還列有《張丘建算經(jīng)》的題目。

此外，“算經(jīng)十書”中關于數(shù)學證明的部分，也講究要有明確的思想依據(jù)。[3]

3.著力于靈活和廣泛的應用

中國傳統(tǒng)數(shù)學十分著力于靈活和廣泛的應用。拿“算經(jīng)十書”最早的一部《周髀算經(jīng)》來說，東漢末至三國時代的吳國人趙爽曾對《周髀算經(jīng)》逐段進行詳細的注釋。在趙爽注釋中有這樣寫道：“禹治洪水，決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，釋昏墊之厄，使東注于海而無侵逆，乃句股之所由生也。”又據(jù)《史記?夏本紀》記載，大禹治水時，“陸行乘車，水行乘舟，泥行乘撬，山行乘攆，左準繩，右規(guī)矩。”趙爽的注釋和《史記》的記載（山東五梁祠畫像石中有幅大禹治水圖）都說明了我國早期注意從實踐中提煉數(shù)學知識并將掌握的數(shù)學知識應用到實踐中去?！吨荀滤憬?jīng)》中記載的“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠。環(huán)矩以為圓，合矩以為方”都充分體現(xiàn)了將數(shù)學知識（包括數(shù)學器具）著力于在實踐中應用的思想。我國是一個農業(yè)古國，田地面積的量法極需要數(shù)學為它提供手段，儲囤糧食、建筑城墻、開溝挖渠等都需要有計算體積的方法，如求方田、廣田、圭田……的面積，求城、……的體積，都十分需要有一定的數(shù)學工具為人們提供解決問題的手段。我國古代很早就推行按畝收稅、兩稅法的賦稅制度，兌換、分配的需要以及工商業(yè)的發(fā)展，促進和加強了將數(shù)學知識應用于實踐。再從中國封建統(tǒng)治者來看，他們也極需要精確地計算田畝面積，合理安排賦稅，來發(fā)展封建社會的經(jīng)濟，鞏固封建王朝的統(tǒng)治。特別是天文歷法，它對于歷代統(tǒng)治者來說，都是至關重要的，似乎它就是封建王朝統(tǒng)治者興衰的象征。封建統(tǒng)治者需要頒布歷法，歷法的制定又離不開數(shù)學。因此，在古代中國，不管是“民間”或“官方”，都要求數(shù)學研究與實踐經(jīng)驗相結合?！吨荀滤憬?jīng)》旨在闡明宇宙結構學說“蓋天說”；《九章算術》九個章都與實踐緊密相關；《海島算經(jīng)》用以解決測量推算遠處目的物的高、深、廣、遠問題；《孫子算經(jīng)》所選的大部分都是解決實際情況的應用題；《夏侯陽算經(jīng)》引用當時流傳的乘除捷法，為的是要解決日常生活中的應用問題；《張丘建算經(jīng)》上、中、下三卷，大部分都是涉及到解決測望、方圓冪積、商功、均輸、方田等現(xiàn)實的實際問題；《五曹算經(jīng)》分別敘述計算各種形狀的田畝面積、軍隊給養(yǎng)、粟米互換、租稅、倉儲容積、戶調的絲帛和物品交易，即所謂的田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹等五曹的應用問題；《五經(jīng)算術》則是力圖將古代經(jīng)籍的注釋中有關數(shù)字計算的知識與歷法、樂律的研究結合起來，另有旨趣；《數(shù)術記遺》中載有運用數(shù)學知識解決實際問題的數(shù)學器械，如積算、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計數(shù)等。這些，非常雄辯、實在地體現(xiàn)了我國傳統(tǒng)數(shù)學思想的鮮明特色。

中國傳統(tǒng)數(shù)學十分著力于靈活和廣泛的應用的顯著特點是邊講究算法邊探討應用，把精益求精的算法和靈活廣泛的應用緊密結合起來，從而推動數(shù)學的進一步發(fā)展。以王孝通的《緝古算經(jīng)》為例。《緝古算經(jīng)》（公元630年左右）是“算經(jīng)十書”中最晚問世的一部，也是最難的一部。書中涉及到的問題相當復雜，20道題中除了第一題是關于歷法的之外，其余各題都是關于土木工程、倉庫容積以及勾股定理的應用問題，王孝通解決它，多數(shù)用到三次方程?！毒児潘憬?jīng)》是世界上最早提出三次方程代數(shù)解法的書，具有世界意義。王孝通的工作，從一個方面體現(xiàn)了當時我國數(shù)學研究已達到了相當高深的水平。英國李約瑟說：“三次方程最早是在《緝古算經(jīng)》中發(fā)現(xiàn)的，這部書問世的年代肯定是在公元625年前后。像往常那樣，這些方程是從工程師、建筑師和測量人員的實際需要產生的”[4]著名的日本數(shù)學史家三上義夫也說過：“唐王孝通之《緝古算經(jīng)》，使用三次方程式以解各種問題?！袊闪⑷畏匠淌剑嗽诎⒗?；而由術文推得之方程式解法，亦與發(fā)達于阿拉伯者全不同也。”[5]王孝通研究三次方程所得到得成果，比阿拉伯人（10世紀之后）和意大利的斐波那契（13世紀）都早得多?！毒児潘憬?jīng)》中最重要的部分是關于堤壩求積問題的，我們可以把王孝通的方法稱為“堤積術”，“堤積術”是王孝通一生最得意的創(chuàng)作，此書送呈朝廷時，王孝通請求召集能算之人，考究其得失?！叭缬信牌湟蛔?，臣欲謝以千金?！彼?、唐時期，運河的開鑿，橋梁的興修，大規(guī)模的城市宮殿、寺院的建造，以及天文歷法的改進，都出現(xiàn)了大量比較復雜的計算問題，時代的需要對于數(shù)學知識和計算技能提出了比過去更高的要求。而王孝通能創(chuàng)立解決這些問題的“堤積術”，正是他把探討應用和講求算法結合起來的結果。他潛心苦鉆，結合當時土木工程中出現(xiàn)的大量實際問題，盡力探索有效的解決辦法，他說：“伏尋《九章?商功篇》，有平地役功受袤之術。至于上寬下狹、前高后卑，正經(jīng)之內闕而不論。致使今代之人不達深理，就平正之間同邪之用。斯乃圓孔方柄，如何可安？”解決土方計算等問題，《九章》商功章中早有述及，但他認為“舊經(jīng)殘駁，尚有缺漏”，商功章中雖有“平地役功受袤”之術，但對于上寬下狹、前高后低等各種情況，還應當探求新的方法給予正確解決，這才導致“堤積術”的誕生。王孝通是通過對當時土木工程中的數(shù)學進行了一番的研究和總結，才寫出《緝古算經(jīng)》。

4．對中國傳統(tǒng)數(shù)學思想的新理解

一般說來，傳統(tǒng)是指世代相傳、具有特點的社會因素，如思想、道德、作風、藝術、風俗、制度等。而人們習慣于把古代的、民族的東西歸為是傳統(tǒng)的，或把傳統(tǒng)看作是本民族古代產生和存在的東西。實際上，我們應當用發(fā)展的、辯證的眼光看待傳統(tǒng)。某種東西既稱為傳統(tǒng)的，或稱為具有傳統(tǒng)性意義的東西，那么它就有延續(xù)之意。傳統(tǒng)本身就是在一定的時間、空間中產生，由時間、空間積淀的，并且這空間是開放的，時間是延續(xù)下來的。對于之后的來說，之前的往往由于它們某些共同的屬性整合在一起就構成傳統(tǒng)，或使原有的傳統(tǒng)采用舊方式或新方式再延伸開來。當然，也會有傳統(tǒng)中斷或傳統(tǒng)消失。同時還應當看到，傳統(tǒng)本身就是惰性，唯有弘揚和發(fā)展得起來的才具有活力。因而，能與時俱進的傳統(tǒng)，堪稱絕佳之傳統(tǒng)。

綜上所述，可以說，“算經(jīng)十書”已構成了具有中華民族自身特色的傳統(tǒng)數(shù)學思想，并且由于這傳統(tǒng)的延續(xù)使得其思想精粹愈加燦爛。中國古代數(shù)學及數(shù)學思想，自春秋戰(zhàn)國到西漢中期確立了體系之后，一直到唐朝，基本上使沿著《九章算術》這條主線傳統(tǒng)式地發(fā)展的，在這期間，由于生產水平的提高和科學技術的進步，數(shù)學和數(shù)學思想也不斷得到提高，《九章算術》的數(shù)學體系得到充實、豐富和發(fā)展，也出現(xiàn)了不少超出《九章算術》范圍的研究成果。到了宋元時代，我國傳統(tǒng)數(shù)學達到鼎盛時期，走在世界數(shù)學的前列。從《九章算術》多元一次聯(lián)立方程組的解法，到天元術，再到朱世杰《四元玉鑒》四元高次方程組的解法；內插法從漢代的一次內插法，推進到等間距二次內插法、不等間距二次內插法、三次內插法；從《九章算術》的“王家共井”（不定方程）、《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”（中國剩余定理），到秦九韶的“大衍求一術”（一次同余組）；后來，在高階等差級數(shù)求和上，從“隙積術”，到“招差術”，再到“垛積術”，特別是“尖錐術”，都具有世界意義，這意味著“中國數(shù)學也將會通過自己特殊的途徑，運用獨特的思想方式達到微積分，從而完成從初等數(shù)學到高等數(shù)學的轉變。實際上，在西方，牛頓和萊布尼茨也是通過各自不同的途徑，幾乎同時達到微積分的思想的。”[6]這些，都是傳統(tǒng)數(shù)學、數(shù)學思想和方法的延伸和發(fā)展，都是“算經(jīng)十書”數(shù)學思想精粹的發(fā)揚光大。中國傳統(tǒng)數(shù)學思想是在漫長的歲月中，吸收了從古代到近代各個不同時期的社會發(fā)展和社會變革形成的文化因素和思想因素，新舊相互作用，內外（外來的）相互碰撞，延綿伸展開來的。

中國傳統(tǒng)數(shù)學思想具有顯著的民族性特征。我國傳統(tǒng)數(shù)學是沿著注重從實踐經(jīng)驗中產生和發(fā)展數(shù)學的思維方式發(fā)展數(shù)學的，擅長于算，運算主要以算籌作為工具。這與西方許多國家發(fā)展數(shù)學的道路是不同的。中國傳統(tǒng)數(shù)學思想有著自己的淵源和模式，有其之長，也有其之短。在初等數(shù)學領域之內，正是這種傳統(tǒng)數(shù)學思想把我國數(shù)學推向世界的最高峰，許多國家與我國相比，望塵莫及。但是，這種狀態(tài)是很有限的。1303年，朱世杰出了著名的《四元玉鑒》之后，我國數(shù)學出現(xiàn)了停滯?！爸袊鴶?shù)學經(jīng)過許多世紀的高漲之后，從14世紀中葉開始了停滯的時期?！盵7]“朱世杰（1303）之后，我國數(shù)學突然出現(xiàn)中斷的現(xiàn)象。”[8]“在1400年間到1500年間，幾乎沒有一部值得注意的著作?！盵9]“自明初至清初，約當公歷1367年迄1750年，前后凡四百年，……是稱中算沉寂時期?！盵10]“以致金元之際的數(shù)學名著大都失傳，四百年中竟無人能了解增乘開方法和開元術。”[11]這樣的事實不得不使今天的人們進行深刻的反思。國人悟出的其中的一個道理是：繼承和發(fā)展中國傳統(tǒng)數(shù)學思想，“純粹的”民族傳統(tǒng)是不行的，要面向世界，面向現(xiàn)代化。

面對現(xiàn)代化，弘揚我國傳統(tǒng)科學思想，推進科學向前發(fā)展，這是擺在我國科學工作者和哲學社會科學工作者面前光榮而艱巨的任務?！懊鎸π率兰o新發(fā)展，我國科技界的使命是：全面貫徹‘三個代表’要求，堅持實施科教興國戰(zhàn)略，大力推進科技創(chuàng)新，努力為我國先進生產力和先進文化的發(fā)展，為維護和實現(xiàn)我國最廣大人民的根本利益不斷貢獻智慧和力量?！盵12]“要大力加強對各門傳統(tǒng)學科的研究，大力加強各門新興學科和交叉學科的研究，大力加強各門學科的理論和體系的建設，大力加強各門學科的方法和手段的建設”[13]。如何正確認識和處理好中國傳統(tǒng)數(shù)學思想及其現(xiàn)代化，并且在實踐中真正弘揚中國傳統(tǒng)數(shù)學及數(shù)學思想，積極面對和解決當代現(xiàn)實問題，我國科學工作者實際上已經(jīng)走出了一條很好的路子，這就是將中國傳統(tǒng)數(shù)學思想精粹同高新科技結合起來，在實踐中摸索出能在我們底子比較雄厚、根基較為扎實、擅長發(fā)揮優(yōu)勢的生長點上進行創(chuàng)新。例如，我國“戰(zhàn)略數(shù)學家”吳文俊教授，在弘揚中國傳統(tǒng)數(shù)學及數(shù)學思想上，做出十分杰出的貢獻。他深入地鉆研和了解了中國傳統(tǒng)數(shù)學思想，并且在此基礎上有著出色的創(chuàng)新。前已論及，在中國傳統(tǒng)數(shù)學中，有個顯著的特點就是擅長于計算。而計算有它明確的要求，必須把研究對象數(shù)量化，同時要建立運算法則。中國傳統(tǒng)科學憑借其顯著特點，不但在宋元時期把算術和代數(shù)推向當時世界的最高峰，而且以一種獨特的方式在某種程度上起著數(shù)學證明的作用，發(fā)揮“算”“證”交互作用推動數(shù)學發(fā)展的效能。這種傳統(tǒng)特征蘊涵著十分深邃的思想精髓。我們知道，在數(shù)學研究中，存在著計算和證明這兩種不同的手段和風格。一般說來，“算”是把研究對象數(shù)量化，遵循一定的規(guī)則，按照一定的程序，經(jīng)過操作，比較機械地得出某種數(shù)學結果；而“證”則是要以某些命題作為前提，根據(jù)定義和已有的定理，遵循邏輯推理的規(guī)則，經(jīng)過操作，實現(xiàn)概念與關系之間的轉換而得出某種數(shù)學結果。證和算是相輔相成、互相聯(lián)系、彼此補充的，它們在一定條件下也可以轉化。中國傳統(tǒng)數(shù)學擅長計算的特點之所以不但能發(fā)揮數(shù)學運算的效能，而且在某種程度上還可以起到數(shù)學證明的效能，關鍵就在于它有比較固定的規(guī)則和確定而有條理的程序。中國古算書中豐富多彩的術文，給出了許多解決數(shù)學問題的十分清楚的規(guī)則和確定而有條理的程序，雖然不是以公式的形式出現(xiàn)，但對解決問題具有普遍的方法論意義。并且，有的方法按照一定的新規(guī)則和新程序繼續(xù)操作下去，還可推廣開來（如把“增乘開方法”推廣到開任意高次方，可以得出高次方程的數(shù)值解法）。它給人們進行數(shù)學研究提供了一種很有價值的思路，即：在數(shù)學操作過程中，都有一個確定的、必須選擇的下一步，這樣就可以延著一條有規(guī)律的、邏輯的道路進行下去。實質上，著就是數(shù)學問題的機械化，

我國傳統(tǒng)數(shù)學擅長計算的特點，恰恰是數(shù)學問題的機械化的內在機制：確定而有條理的程序保障了數(shù)學操作的下一步是“確定的”，固定的運算法則保障了數(shù)學操作的下一步是“必須選擇的”。我國數(shù)學家吳文俊說“中國的古代數(shù)學基本上是一種機械化的數(shù)學?！盵14]這條思路所開辟的前景是十分廣闊的。固定的運算法則和明確的操作程序化，十分方便在計算機上施行。把線性方程的求解過程規(guī)范化、程序化后，讓電子計算機來實現(xiàn)這機械化了的數(shù)學問題，在幾分鐘內就可以求出一個未知數(shù)多至上百個線性方程組的答案來，這對現(xiàn)代化建設意義十分重大。這種內在機制給人帶來一個十分有趣的念頭：能否用機械化方法進行數(shù)學證明？也就是說，能否用計算機的“算”來“證”呢？數(shù)理邏輯誕生之后，可以把概念形式化和量化，使之納入邏輯關系的演算。美國王浩先生用計算機證明了《數(shù)學原理中的幾百條定理，哈肯等人也用計算機證明了四色定理。但是要真正能夠體現(xiàn)機械化定理證明，進而實現(xiàn)機器證明，任務還很艱巨。數(shù)學證明靈巧性大，難度也很大。把這方面的困難用另一種方式來換取它，即用繁雜的量的運算來取代，利用計算機去完成繁雜的量的運算，這是定理證明機械化的基本思路。換句話說，其基本途徑是從公理化出發(fā)，通過代數(shù)化，達到機械化。比如，初等幾何主要一類定理證明的機械化，可以分為這樣兩步：第一步是引進坐標，然后把需證定理中的假設與終結部分都用坐標間的代數(shù)關系（多項式關系）來表示。第二步是通過代表假設的多項式中的坐標逐個消去。如果消去之后結果能為零，這表明定理正確。即用多項式的消元法這種驗證的方式來證明定理。兩步都可以機械化地進行。我國數(shù)學家吳文俊等人采用這條途徑，首先證明了初等幾何主要一類定理的證明可以機械化，后來又證明了初等微分幾何中主要的一類定理證明也可以機械化。可見，中國傳統(tǒng)科學思想在現(xiàn)代科學中仍具有很強的生命力，它為現(xiàn)代科學研究提供了一些重要的思路。吳文俊教授深有感嘆地說：“我們是在中國古代數(shù)學的啟發(fā)下提出問題并想出解決問題辦法來的?！盵15]當然，這里不能簡單地“復古”回歸，而是要把思想加以發(fā)展，比如，吳文俊教授采用的是中國產的長城203臺式計算機，而不是古代的算籌。第24屆國際數(shù)學家大會于2002年8月20日起在北京舉行，吳文俊院士作為本屆大會主席在接受新華社記者專訪時表示，中國不僅要振興數(shù)學，更要復興數(shù)學，重視古代數(shù)學的輝煌。他說：“我一直推崇中國的古代數(shù)學?！盵16]傳統(tǒng)具有惰性、延伸性和精粹隱藏性，發(fā)掘和弘揚優(yōu)良傳統(tǒng)可重現(xiàn)古代數(shù)學的輝煌，具有現(xiàn)實意義?？茖W思想是科學產生、發(fā)展的思想依據(jù)和思想方法，也包括科學成果所蘊涵的思想精髓。面對現(xiàn)代化，挖掘和弘揚中國傳統(tǒng)科學成果所蘊涵的思想精髓，任重道遠。

摘要：探索和追求精益求精的計算方法和技巧，講究明確的思想依據(jù)，著力于靈活和廣泛的應用，是“算經(jīng)十書”的數(shù)學思想精粹。其發(fā)展主線是沿著探索、完善和提高“推步”前進的。它把擅長計算的推算和證明的推類結合起來，形成獨特的傳統(tǒng)風格和手段。

關鍵詞：算經(jīng)十書，傳統(tǒng)數(shù)學思想，新理解

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