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由0是自然數(shù)引發(fā)的思考

隨著九年義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)教材（試用修訂版），把0劃歸自然數(shù)后，一些數(shù)的概念是否發(fā)生變化，引起小學(xué)了數(shù)學(xué)教師的關(guān)注。無論是在日常的教研活動，還是教師私下交流，或是因特網(wǎng)上的教育論壇，都有許多教師提出疑問，引發(fā)了大家的思考。

思考之一：為什么要把0劃歸自然數(shù)。

從歷史上看，國內(nèi)外數(shù)學(xué)界對于0是不是自然數(shù)歷來有兩種觀點(diǎn)：一種認(rèn)為0是自然數(shù)，另一種認(rèn)為0不是自然數(shù)。建國以來，我國的中小學(xué)教材一直規(guī)定自然數(shù)不包括0。目前，國外的數(shù)學(xué)界大部分都規(guī)定0是自然數(shù)。為了方便于國際交流，1993年頒布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》（GB3100-3102-93）《量和單位》（11-2.9）第311頁，規(guī)定自然數(shù)包括0。所以在近幾年進(jìn)行的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材修訂中，教材研究編寫人員根據(jù)上述國家標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修改。即一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。

思考之二：最小的一位數(shù)是“1”還是“0”？

0是最小的自然數(shù)，那么最小的一位數(shù)是“1”還是“0”？在0沒有歸入自然數(shù)以前大家都很清楚，最小的一位數(shù)是1。那么，現(xiàn)在0也成為自然數(shù)了，最小的一位數(shù)還是1嗎？這是許多教師提出的疑問，筆者認(rèn)為最小的一位數(shù)還是1。

因?yàn)椋?表示一個物體也沒有，在記數(shù)法中是表示空位的一個符號，如3005里“0”就分別表示這個數(shù)的十位、百位、都是空位。這次調(diào)整雖然將“0”劃歸自然數(shù)，然而對幾位數(shù)的概念并沒改變。關(guān)于“幾位數(shù)”是這樣定義的“只用一個有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)，只用兩個有效數(shù)字，其中左邊第一個數(shù)字是有效數(shù)字來表示的數(shù)就叫做兩位數(shù)……”假設(shè)0也算作一位數(shù)的話，那么最小的兩位數(shù)是“10”還是“00”呢？那么最小的三位數(shù)、四位數(shù)……又是多少呢？

《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊教師教學(xué)用書》第98頁“關(guān)于幾位數(shù)”是這樣敘述的：“通常在自然數(shù)里，含有幾個數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如，2，含有一個數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；30含有兩個數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；405含有三個數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)……但是要注意：一般不說0是幾位數(shù)。

所謂最大的幾位數(shù)，最小的幾位數(shù)，通常也是在非零自然數(shù)有范圍來說。所以，最大一位數(shù)是9，最小一位數(shù)是1；最大兩位數(shù)是99，最小兩位數(shù)是10；最大三位數(shù)是999，最小三位數(shù)是100……”

綜上所述，“0”雖然是最小的自然數(shù)，但仍然不能稱為“一位數(shù)”，更不能稱為最小的一位數(shù)。

思考之三：自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位還是“1”嗎？

大家都知道，0是自然數(shù)中最小的一個。0加1得1，1加1得2，2加1得3，……這樣繼續(xù)下去可以得到任意一個自然數(shù)。而從自然數(shù)的排列順序可知，后面一個自然數(shù)比前面一個自然數(shù)多1。因此，任何一個自然數(shù)都是由若干個1合并而成，所以1是自然數(shù)的單位。0可以看成是由0個1組成的自然數(shù)。

思考之四：0是其它非零自然數(shù)的倍數(shù)嗎？

《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)》第十冊中，關(guān)于“數(shù)的整除”及“約數(shù)和倍數(shù)”的定義并未做任何改變，教材第54頁就有這樣的敘述：“因?yàn)?也能被2整除，所以0也是偶數(shù)”。以此類推，0能被所有非零自然數(shù)整除，根據(jù)約數(shù)倍數(shù)的定義，0是任何非零自然數(shù)的倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是0的約數(shù)。但考慮到研究分解質(zhì)因數(shù)、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)時，一般限于非零自然數(shù)范圍內(nèi)，如講最小公倍數(shù)時，是把0排除在外的。為此，《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)》第十冊50頁明確指出：“為了方便，以后在研究約數(shù)和倍數(shù)時，我們所說的數(shù)一般不包括0”。這樣就避免了一些不必要的麻煩。但過去的一些說法就必須加以糾正了。例如：“一個自然數(shù)的最小倍數(shù)是它本身”、“自然數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的”等，這樣的結(jié)論必須糾正。

思考之五：0是不是合數(shù)？

過去，在教學(xué)中，關(guān)于自然數(shù)的組成，有兩種情況：一是所有奇數(shù)和所有的偶數(shù)組成自然數(shù)集合；二是所有的質(zhì)數(shù)與所有的合數(shù)及1也組成自然數(shù)集合?，F(xiàn)在0也成為了自然數(shù)集合的一員，因而有許多教師提出這樣的問題：0是不是合數(shù)？

前面已經(jīng)談過了，以后“在研究約數(shù)和倍數(shù)時，我們所說的數(shù)一般不包括0”，但作為一種學(xué)術(shù)研究，進(jìn)行探討也未嘗不可。筆者以為，0的約數(shù)有無數(shù)個，根據(jù)《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)》第十冊中關(guān)于合數(shù)的定義：“一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)?！彼坪鯌?yīng)該把0劃歸為合數(shù)范圍，但仔細(xì)一想0是個特殊的自然數(shù)，因?yàn)樗蟹橇阕匀粩?shù)都有“本身”這個約數(shù)，如，1是1的約數(shù)，2也是2的約數(shù)……，而0這個自然數(shù)恰恰少了“本身”這個約數(shù)，因此，也不能歸為合數(shù)。試想：假設(shè)如果0是合數(shù)，那么它能用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表現(xiàn)出來嗎？這就與“每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式”產(chǎn)生了矛盾。所以，我主張把0劃歸為“既不質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)”范圍。當(dāng)然了，這需要權(quán)威機(jī)構(gòu)和專家們的認(rèn)定。但我認(rèn)為，目前在沒有明確0是不是合數(shù)的情況下，還是以回避為好。

思考之六：“任何相鄰的兩個自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)”對嗎？

0沒有成為自然數(shù)時，這一結(jié)論毫無疑問是正確的。現(xiàn)在0也是自然數(shù)，我們只要研究“0和1”這兩個相鄰的自然數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，就行了。根據(jù)《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)》第十冊中關(guān)于互質(zhì)數(shù)的定義：“公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。”筆者認(rèn)為，0的約數(shù)有無數(shù)個，而1的約數(shù)只有一個，那就是它本身。綜上所述，0和1的公約數(shù)只有“1”，因此，0和1是互質(zhì)數(shù)。自然，“任何相鄰的兩個自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)”這個結(jié)論也是正確的。