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摘要：數(shù)學(xué)實驗是一種基于學(xué)習(xí)歷程的探索與建構(gòu)。小學(xué)階段開展數(shù)學(xué)實驗，可以幫助學(xué)生經(jīng)歷情境、探索問題，合理開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的各項探究活動，進一步豐富小學(xué)生對數(shù)學(xué)知識與規(guī)律的深刻理解，加深對數(shù)學(xué)新知識產(chǎn)生、形成和發(fā)展的深度體驗。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實驗問題情境

雙重建構(gòu)美國數(shù)學(xué)家哈莫斯認(rèn)為：“問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題解決是數(shù)學(xué)思維的核心?！睌?shù)學(xué)實驗作為數(shù)學(xué)教育發(fā)展的產(chǎn)物，是一種以問題解決為途徑的教學(xué)方式與手段，受到人們越來越多的重視。郭慶松認(rèn)為：“數(shù)學(xué)實驗是在數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)教學(xué)理論指導(dǎo)下，小學(xué)生借助實物和工具，通過對實驗素材進行‘?dāng)?shù)學(xué)化’的操作來驗證數(shù)學(xué)結(jié)論、建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式?！盵1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要關(guān)注學(xué)生知識與技能的獲得，也要關(guān)注數(shù)學(xué)思考、問題解決與情感態(tài)度的同步發(fā)展。學(xué)生作為主體參與學(xué)習(xí)，不再只是為了積累知識、獲得數(shù)學(xué)技能，也要經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力，不斷深入體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式。不難看出，在小學(xué)階段開展數(shù)學(xué)實驗，有助于落實新課程理念與學(xué)科精神，進一步豐富小學(xué)生對數(shù)學(xué)知識與規(guī)律的深刻理解，加深對數(shù)學(xué)新知產(chǎn)生、形成和發(fā)展的深度體驗，引導(dǎo)學(xué)生進行發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、認(rèn)知學(xué)習(xí)，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的雙重建構(gòu)。

一、兼顧過程與教學(xué)結(jié)果的數(shù)學(xué)實驗

“重視過程與重視結(jié)果”是個老生常談的問題，隨著課程改革的推進，教師的認(rèn)識已發(fā)生了較大轉(zhuǎn)變，課堂教學(xué)也出現(xiàn)了積極變化，不再只唯結(jié)果或唯過程，而是努力做到兼顧。然而，在具體實踐層面，真正能做到“處理好過程與結(jié)果的關(guān)系”的教師卻不多。作為人腦對客觀世界的主觀反映，知識通?？梢苑譃殛愂鲂灾R和程序性知識，這兩者有共同之處，即都是顯性知識，本質(zhì)上都是結(jié)果性知識。不同之處在于陳述性知識更多反映事實與結(jié)果，而程序性知識則是規(guī)則與順序。除此之外，伴隨著教學(xué)過程的展開，學(xué)生還會獲得一類以體驗感悟為主要特點的體驗性知識，包括對知識產(chǎn)生、發(fā)展、理解、聯(lián)系、應(yīng)用等方面的體驗與體悟，這是一種隱形知識，也可以稱之為過程性知識。顯然，良好而完整的數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)將結(jié)果性知識與過程性知識融通結(jié)合，在有限的課堂教學(xué)中做好教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生既獲得結(jié)果性知識（即數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與基本技能），又獲得過程性知識（即了解理解知識產(chǎn)生的來龍去脈，形成數(shù)學(xué)活動體驗，積累相關(guān)經(jīng)驗），對提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益。比如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級下冊“三角形內(nèi)角和”時，對三角形內(nèi)角和是180°這一結(jié)果性知識，如果僅僅通過有意義傳授的教學(xué)方式，可能學(xué)生很快就能記住知識的結(jié)果，加以練習(xí)后也能熟練準(zhǔn)確地運用以解決問題。但是學(xué)生對知識產(chǎn)生源頭的好奇、對知識所蘊含規(guī)律的理解卻相當(dāng)缺乏，這樣的教學(xué)設(shè)計難以有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。從數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的角度出發(fā)，我們可以先提供一組學(xué)習(xí)材料（任意幾個三角形紙片和一副三角尺）給學(xué)生，讓學(xué)生回顧三角形的特征，整理上節(jié)課三角形三邊關(guān)系的研究歷程與研究方法，從而自然引領(lǐng)學(xué)生進入新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，即繼續(xù)研究三角形三個角中蘊含的規(guī)律。接著通過師生交流，形成實驗方案：①操作：通過“量”“算”“折”“剪”“拼”等具體活動，得出每個三角形的內(nèi)角和；②記錄：匯總記錄實驗操作的數(shù)據(jù)，形成完整的表格；③觀察：通過觀察數(shù)據(jù)，得出發(fā)現(xiàn)；④總結(jié)：歸納得出的發(fā)現(xiàn)，形成初步結(jié)論；⑤論證：通過任意舉例驗證及尋找反例，完善不完全歸納法得出的初步結(jié)論，形成最終的實驗結(jié)論；⑥交流：暢談實驗結(jié)論（三角形內(nèi)角和為180度）的價值及可能的應(yīng)用。以上借助數(shù)學(xué)實驗進行的教學(xué)設(shè)計，其目的不僅僅是積累知識，而是培養(yǎng)學(xué)生成為知識的探索者，努力發(fā)展學(xué)生探索問題、研究問題及解決問題的能力。

二、合理融通直觀與抽象的數(shù)學(xué)實驗

由于數(shù)學(xué)學(xué)科知識存在抽象性，所以對以形象思維為主的小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)概念、規(guī)則的理解內(nèi)化比較困難。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)是將抽象理論變得直觀化、可視化的一種教學(xué)方式，其過程是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，親身經(jīng)歷一個概念、規(guī)則的形成過程，通過動作思維和邏輯思維感悟知識發(fā)生過程、理解知識結(jié)果[2]。為了達成以上教學(xué)目的，教師在具體教學(xué)時，可以創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，并借助問題解決的形式逐一展開，通過數(shù)學(xué)實驗的開展逐步揭示數(shù)學(xué)概念，手腦口并用，多感官參與，從而實現(xiàn)直觀與抽象的融通。比如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級上冊“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識（一）”時，學(xué)生通過例題分蛋糕，初步認(rèn)識了蛋糕的二分之一（21），頭腦中朦朧建立起分?jǐn)?shù)概念后，為了加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)化理解，可以開展創(chuàng)造分?jǐn)?shù)21的數(shù)學(xué)實驗活動。具體做法為：①操作：給學(xué)生提供數(shù)學(xué)實驗素材（同樣的長方形紙片），讓其通過折紙創(chuàng)造出這張紙的21來；②觀察：為什么四種方式都表示出了這張紙的21（如圖1）；③交流：怎么得到分?jǐn)?shù)21的？為什么這樣的操作，就能得到這張紙的21，四種方法間的共同點是什么？④思考：還有其他的操作方法嗎？還能怎樣創(chuàng)造？（如圖2，只要過長方形紙的中心折紙，都能平均分成2份，其中的一份就可以表示為這張紙的21）；⑤總結(jié)：分?jǐn)?shù)是如何產(chǎn)生的？（師生共同歸納出分?jǐn)?shù)的意義）以上的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，將知識形成的過程及背后的思考，以直觀、形象的方式展現(xiàn)出來，通過數(shù)形結(jié)合充分體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)這一抽象概念下的豐富內(nèi)涵，體現(xiàn)了“做中學(xué)”所特有的學(xué)習(xí)價值，幫助學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識的實質(zhì)。對學(xué)生而言，類似數(shù)學(xué)實驗的開展，讓學(xué)生動手操作、動腦思維，獲得的知識會更加牢固地融入到已有的知識結(jié)構(gòu)中去。

三、深化認(rèn)識歸納與演繹的數(shù)學(xué)實驗

波利亞曾經(jīng)指出：“數(shù)學(xué)有兩個方面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個方面來看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像是一門試驗性的歸納科學(xué)?！盵3]事實上，歸納與演繹是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中兩種基本的思維方式，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)通常是經(jīng)過示例觀察，從簡單、具體、特殊的研究中，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一般結(jié)論，然后再演繹應(yīng)用到解決問題上，或者作為后續(xù)演繹推理的理論支撐。兩者相輔相成，有機結(jié)合，共同促進學(xué)生推理能力的提高，推動學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。但在具體教學(xué)實踐層面，如何有效幫助學(xué)生認(rèn)識歸納與演繹兩種思維方式是不容易的。究其原因，一方面是因為歸納與演繹的方法與經(jīng)驗往往隱匿于顯性知識之下，不易體悟與理解。另一方面，學(xué)生受年齡及心理發(fā)展特征影響，元認(rèn)知能力及邏輯推理能力尚處于發(fā)展之中，需要不斷積累，悉心培養(yǎng)。所以，需要教師進行巧妙的教學(xué)設(shè)計，從而促使以上學(xué)習(xí)目標(biāo)的達成。如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級下冊“小數(shù)的初步認(rèn)識”時，可以設(shè)計兩種不同的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納和演繹的能力。一是歸納的方式。出示生活中的小數(shù)，如0.1元、0.3元、0.2米、0.7米等。學(xué)生根據(jù)已有生活經(jīng)驗，能明白0.1元是1角，0.3元是3角，0.2米是2分米，0.7米是7分米。再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合情境，開展數(shù)學(xué)實驗，利用學(xué)習(xí)材料（表示1元的正方形紙，表示1米的長紙條）將這些小數(shù)表示出來。通過觀察與交流，發(fā)現(xiàn)這些一位小數(shù)的共同點（都是用零點幾來表示），總結(jié)歸納出共同的原因，也就是這兒的零點幾都表示10等份中的幾份，與之前學(xué)過的十分之幾含義上是一樣的，從而理解零點幾是一位小數(shù)，是分母為10的另外一種形式的分?jǐn)?shù)。二是演繹的方式。先回顧計數(shù)器的使用，通過撥珠操作幫助學(xué)生回憶整數(shù)學(xué)習(xí)時的十進制計數(shù)法。組織學(xué)生動手操作，拔出不同數(shù)位上的珠子，說說具體的含義，進一步認(rèn)識相鄰計數(shù)單位間的規(guī)則，即“滿十進一”與“退一當(dāng)十”。接著交流個位上的珠子可以“退”嗎？“退”到什么數(shù)位上去呢？個位上的“退一”當(dāng)做“幾”呢？為什么也“退一當(dāng)十”？可以用小數(shù)來記錄嗎？個位右邊的數(shù)位的意義是什么？計數(shù)單位是多少？……結(jié)合以上數(shù)學(xué)思考開展的數(shù)學(xué)實驗，將演繹的過程設(shè)計成可觀察、可交流、可重復(fù)的教學(xué)行為。

四、建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)實驗

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只是智力活動，開展數(shù)學(xué)實驗比較浪費時間，即使需要，充其量也是“紙上談兵”或“思想實驗”而已。因此弗萊等塔爾曾指出：“要實現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)教育，必須從根本上以不同的方式組織教學(xué)，否則是不可能的。在傳統(tǒng)的課堂里，再創(chuàng)造方法不可能得到自由的發(fā)展。它要求有個實驗室，學(xué)生可以在那兒個別活動或小組活動?！盵4]這也就指出了，作為教學(xué)重要方式的數(shù)學(xué)實驗，要體現(xiàn)出獨特的教學(xué)價值，即活動化與操作化、探索性與復(fù)制性的特征。教師要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗活動中的主體地位，創(chuàng)設(shè)“問題—實驗—交流—總結(jié)”的研究模式，讓學(xué)生始終保持積極主動、樂于探究、動手動腦、討論交流、學(xué)思并進的狀態(tài)，在建構(gòu)知識系統(tǒng)的同時學(xué)會學(xué)習(xí)，進一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。比如，教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級上冊“兩三位數(shù)除以一位數(shù)”時，教材上呈現(xiàn)了兩個例題（如圖3），并出現(xiàn)了兩道除法算式：46÷2，52÷2，我們可以充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主體作用，讓學(xué)生經(jīng)歷合理有趣的數(shù)學(xué)實驗，先行嘗試、實際操作、自主調(diào)整、建立認(rèn)知，從而幫助學(xué)生深刻理解算理，掌握除法豎式算法。第一次實驗：操作小棒發(fā)現(xiàn)，解決46÷2時存在兩種分法，即先分4個十，再分6個一；也可先分6個一，再分4個十。兩者皆可，皆合理，最后得出的結(jié)果都是23。第二次實驗：操作小棒發(fā)現(xiàn)，解決52÷2時，也存在兩種分法，即先分5個十，再分2個一；也可先分2個一，再分5個十。但是通過實驗操作后的比較與交流，發(fā)現(xiàn)兩種分法上存在難易與繁簡的區(qū)別：即先分5個十，會余下1個十，將其與2個一合起來，得到12個一，接著分，這樣比較方便。結(jié)合除法豎式，在明確數(shù)學(xué)表達應(yīng)有序有理的基礎(chǔ)上，學(xué)生最終達成共識“從高位算起更方便”，完成了“知其然，更知其所以然”的認(rèn)知提升。綜上所述，隨著數(shù)學(xué)教育的不斷發(fā)展，作為課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)實驗，體現(xiàn)出了新時代育人的獨特價值，體現(xiàn)出了返璞歸真的現(xiàn)代教育理念，建構(gòu)出一種學(xué)生可以充分參與、積極體驗、深刻理解的學(xué)習(xí)方式。

參考文獻

[1]郭慶松.小學(xué)數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)涵、價值與實施[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2016（Z4）：6-9.

[2]喻平，董林偉，魏玉華.數(shù)學(xué)實驗教學(xué)：靜態(tài)數(shù)學(xué)觀與動態(tài)數(shù)學(xué)觀的融通[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（01）：26-28.

[3]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982：11.

[4]弗萊登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995：150.

作者:張偉 單位:江蘇省南京市江寧科學(xué)園小學(xué)