1將數學建模思想融入數學分析教學的意義

在過去常規(guī)的數學分析教學課程只要以公式推導、定理證明為主要教學內容，卻對數學分析的應用思想以及融合貫通少有講授。這就導致學生們雖熟練掌握這門課程的理論知識，但是學生們將掌握的知識應用于實際問題的解決過程中卻存在效果不滿意，或無法學以致用。因此學生會形成數學的掌握僅僅是為了考試而學習，無現實意義等錯誤思想。若在數學分析的教學過程中融合數學建模方式進行教學，利用數學建模思想來熏陶學生，通過通過將數學的意義思想完整的進行介紹，將數學概念與公式的實際源頭與應用情況進行宣教，使學生充分了解數學與實際生活之間存在的密切關系。首先，通過利用數學建模思想融入數學分析的教學課程中可有效促進學生數學的行使效果。適當配合數學模型方式糅合數學分析的理論知識與實際方法，可幫助學生迅速理解數學分析的內容概念，全面掌握理論知識與實踐能力。其次，利用數學建模思想促進學生的數學學習興趣，以改善在教學過程中因理論性復雜、定義生澀難懂導致學生學習積極性不高以及枯燥乏味等數學教學問題。因此，在數學分析的教學中融合數學建模教學方式具有巨大的應用價值。

2數學建模思想在概念教學中的滲透

按照大范圍來講，數學分析的內容中包含了函數、導數、積分等數學概念，這類概念均屬于實際事物數量表現或空間形式概括而來的數學模型。在數學教學過程我們可以根據概念的具體事物原型或平時生活中易見到的事物進行引用，讓學生了解到理論上的概念性知識不僅僅存在與課本中，更與日常生活中具有緊密的關系。對此，老師在教學相關概念知識時，最好聯系實際，創(chuàng)造合適的學習環(huán)境，為學生在學習過程中通過適當的觀察、想象、研究、驗證等方式來主導學生的教學活動。例如微積分教學中，剛開始感覺其較為抽象籠統(tǒng)，不過仔細觀察其形成過程會發(fā)現其實具有較多的基礎原型，通過旋轉體體積、曲邊梯形面積等具體問題緊密聯系，應用微元法求解即可得出積分這個較為抽象的概念。通過適當的取材，建立概念模型，引導學生對教學的積極興趣，可比簡單的利用數學符號來描述抽象概念要具體生動得多。

3數學建模思想在定理證明中的滲透

在數學分析課程中存在較多的定理，而怎樣在教學過程中讓學生熟練掌握帶來并應用則成為目前數學分析教學中較為困難的。其實在書本中大部分定理是有著具體的意義，不過在通過籠統(tǒng)的刻印組書本中后導致定理創(chuàng)造者實際想法無法清晰表現在其中，致使學生在接受定理教學中感到茫然。對此，在定理教學過程老師應結合該定理知識的源指出處以及歷史淵源，從而促進學生的求知欲取進一步了解該定理的意義與作用。同時應用建模思想將定理作為模型的一類，利用前期設計的特定問題引導學生逐步發(fā)現定理定論，通過這種方式讓學生在吸收定理知識的過程中體驗到研究探索發(fā)現的重要性，為學生樹立的創(chuàng)新觀念。

[內容摘要]學科的研究工具,取決于其研究對象的特殊性,學科研究對象的特殊性又取決于學科的任務。作為一門研究人類經濟行為和現象的社會科學,經濟學要承擔的任務決定了它有獨特的研究對象,因此經濟學在探索經濟規(guī)律的時候,既不能用顯微鏡,也不能用化學試劑,用馬克思的話說,“必須用抽象力”來解決問題。正是通過這種抽象力,經濟學形成了自己的研究手段和工具。當代經濟學已廣泛使用數學作為研究工具,這有利于提高經濟學的工作效率,但如果經濟學數學化走過了頭,也會使經濟學失去社會科學的應有特征。

一、經濟學的分析框架

經濟學的理論分析框架由三個主要部分組成:視角(perspective)、參照系(reference)和分析工具(analyticaltools)。第一,現代經濟學提供了從實際出發(fā)看問題的視角。這些視角指導我們避開細枝末節(jié),把注意力引向關鍵的、核心的問題。經濟學家看問題的出發(fā)點通?；谌椈炯僭O:經濟人的偏好、生產技術和制度約束下可供使用的資源稟賦。用經濟學的視角看問題,消費者想買到物美價廉的商品,企業(yè)家想賺取利潤,都是很自然的。經濟學就是要探討在個人自利動機的驅動下,人們如何在給定的機制下互相作用,達到某種均衡狀態(tài),并且評估在此狀態(tài)下是否有可能在沒有參與者受損的前提下讓一部分人有所改善(即是否可以提高效率)。以此為出發(fā)點,經濟學的分析往往集中在各種間接機制(比如價格、市場供求因素等)對經濟人行為的影響,并以“均衡”、“效率”作為分析的著眼點。以這種視角分析問題不僅具有方法的一致性,且常常會得出出人意料,卻合乎情理邏輯的結論。第二,經濟學提供了多個參照系。參照系對任何學科的建立和發(fā)展都極為重要,經濟學也不例外。這些參照系的重要性并不在于它們是否準確無誤地描述了現實,而在于建立了一些讓人們更好地理解現實的標尺。經濟學家的頭腦中總有幾個參照系,這樣,分析經濟問題時就有可比性。比如討論資源配置和價格問題時,充分競爭下的一般均衡理論就是一個參照系;討論產權和法的作用時,科斯定理就是一個參照系。參照系的建立對經濟學的發(fā)展起到了有效的推動作用。第三,經濟學采用了一系列強有力的“分析工具”,它們多是各種圖象模型和數學模型。比如:供需曲線圖象模型,它以數量和價格分別為橫、縱軸,提供了一個非常方便和多樣化的分析工具。經濟學家用這一工具來分析局部均衡下的市場資源配置、市場扭曲、市場失靈等問題和政府干預市場的政策效果。這種工具的力量在于,用較為簡明的圖象和數學結構幫助我們深入分析紛繁復雜的經濟行為和現象。

二、數學工具對經濟學發(fā)展的影響

現代經濟學的一個明顯特點是越來越多地使用數學(包括統(tǒng)計學)作為分析工具,絕大多數的經濟學前沿論文都包含數學或計量模型。從經濟學的分析框架來看,這并不難理解,因為參照系的建立和分析工具的發(fā)展通常都要借助數學。但是,在部分經濟學家的理論研究中,逐漸形成了一個基于唯數主義的數學化傾向,這種傾向偏離了經濟學研究的基本視角,不僅不能為非西方世界的經濟學家所接受,而且在西方經濟學家內部也頗存異議。因此,我們必須一分為二地看待數學工具對經濟學發(fā)展的影響。

(一)數學在經濟學中的應用從理論研究角度,借助數學模型有三個優(yōu)勢:第一,數學語言可以清楚地描述前提假定,這使得經濟學的推理與分析過程呈現出數理邏輯的嚴謹性。例如,邊際效應價值實際上是在對效用函數進行測定的基礎上,運用一系列聯立方程組推導的結果。社會資源最優(yōu)配置的帕累托最優(yōu)理論,也是運用聯立方程組對生產和交換均達到最優(yōu)配置下社會福利最大化的闡述。第二,數學方法使經濟學擁有了一個統(tǒng)一的語話體系,并進而使經濟學的發(fā)展具有了一個共同的基礎,讓后人較容易在已有的研究工作上繼續(xù)開拓,也使得在深層次上發(fā)現似乎不相關的結構之間的關聯變成可能。西方經濟學就是在這一共同的話語體系下獲得長足的發(fā)展。第三,數學表述具有文字性表述所不具備的確定性與精確性。數學推導具有數理上的邏輯性,運用數學模型討論經濟問題,學術爭議便可以建立在這樣的基礎上:或不同意對方前提假設;或找出對方論證錯誤;或是發(fā)現修改原模型假設會得出不同的結論。這樣就可以有效地避免經濟學理解上的歧義,避免基于不同理解而發(fā)生的毫無意義的爭論,因此,從整體上有利與提高經濟學家工作的效率。從實證研究角度看,使用數學和統(tǒng)計方法的優(yōu)勢也比較明顯:其一是以經濟理論的數學模型為基礎可以發(fā)展出用于定性和定量分析的計量經濟模型;其二是證據的數量化使得實證研究具有系統(tǒng)性;其三是使用精致復雜的統(tǒng)計方法可以讓研究者從已有的數據中最大程度地汲取有用的信息。因此,運用數學和統(tǒng)計方法進行經濟學研究可以把實證分析建立在理論基礎上,并從系統(tǒng)的數據中定量地檢驗理論假說和估計參數的數值。這就可以減少經驗性分析中的表面化和偶然性,并分別確定它在經濟意義下的顯著程度。

康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數學家，集合論的創(chuàng)立者。是數學史上最富有想象力，最有爭議的人物之一。19世紀末他所從事的關于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數學中關于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責。然而數學的發(fā)展最終證明康托是正確的。他所創(chuàng)立的集合論被譽為20世紀最偉大的數學創(chuàng)造，集合概念大大擴充了數學的研究領域，給數學結構提供了一個基礎，集合論不僅影響了現代數學，而且也深深影響了現代哲學和邏輯。

1．康托爾的生平

1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數學家一樣，他在中學階段就表現出一種對數學的特殊敏感，并不時得出令人驚奇的結論。他的父親力促他學工，因而康托在1863年帶著這個目地進入了柏林大學。這時柏林大學正在形成一個數學教學與研究的中心。康托很早就向往這所由外爾斯托拉斯占據著的世界數學中心之一。所以在柏林大學，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉到純粹的數學。他在1869年取得在哈勒大學任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托在克列勒的《數學雜志》上發(fā)表了關于無窮集合理論的第一篇革命性文章。數學史上一般認為這篇文章的發(fā)表標志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數成為康托研究的主流，他一直在這方面直到1897年，過度的思維勞累以及強列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學的精神病院中去世。

2．集合論的背景

為了較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產生的背景。

集合論在19世紀誕生的基本原因，來自數學分析基礎的批判運動。數學分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使實無窮概念在數學中信譽掃地。19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎上建立起連續(xù)、導數、微分、積分以及無窮級數的理論。正是這19世紀發(fā)展起來的極限理論相當完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴密化?？挛魉枷胗幸欢ǖ哪：?，甚至產生邏輯矛盾。19世紀后期的數學家們發(fā)現使柯西產生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術的基礎上。于是，許多受分析基礎危機影響的數學家致力與分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象─連續(xù)函數的描述。在數與連續(xù)性的定義中，有涉及關于無限的理論。因此，無限集合在數學上的存在問題又被提出來了。這自然也就導致尋求無限集合的理論基礎的工作?？傊?，為尋求微積分徹底嚴密的算術化傾向，成了集合論產生的一個重要原因。

康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數學家，集合論的創(chuàng)立者。是數學史上最富有想象力，最有爭議的人物之一。19世紀末他所從事的關于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數學中關于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責。然而數學的發(fā)展最終證明康托是正確的。他所創(chuàng)立的集合論被譽為20世紀最偉大的數學創(chuàng)造，集合概念大大擴充了數學的研究領域，給數學結構提供了一個基礎，集合論不僅影響了現代數學，而且也深深影響了現代哲學和邏輯。

1．康托爾的生平

1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數學家一樣，他在中學階段就表現出一種對數學的特殊敏感，并不時得出令人驚奇的結論。他的父親力促他學工，因而康托在1863年帶著這個目地進入了柏林大學。這時柏林大學正在形成一個數學教學與研究的中心。康托很早就向往這所由外爾斯托拉斯占據著的世界數學中心之一。所以在柏林大學，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉到純粹的數學。他在1869年取得在哈勒大學任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托在克列勒的《數學雜志》上發(fā)表了關于無窮集合理論的第一篇革命性文章。數學史上一般認為這篇文章的發(fā)表標志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數成為康托研究的主流，他一直在這方面直到1897年，過度的思維勞累以及強列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學的精神病院中去世。

2．集合論的背景

為了較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產生的背景。

集合論在19世紀誕生的基本原因，來自數學分析基礎的批判運動。數學分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使實無窮概念在數學中信譽掃地。19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎上建立起連續(xù)、導數、微分、積分以及無窮級數的理論。正是這19世紀發(fā)展起來的極限理論相當完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至產生邏輯矛盾。19世紀后期的數學家們發(fā)現使柯西產生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術的基礎上。于是，許多受分析基礎危機影響的數學家致力與分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象─連續(xù)函數的描述。在數與連續(xù)性的定義中，有涉及關于無限的理論。因此，無限集合在數學上的存在問題又被提出來了。這自然也就導致尋求無限集合的理論基礎的工作?？傊瑸閷で笪⒎e分徹底嚴密的算術化傾向，成了集合論產生的一個重要原因。

康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數學家，集合論的創(chuàng)立者。是數學史上最富有想象力，最有爭議的人物之一。19世紀末他所從事的關于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數學中關于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責。然而數學的發(fā)展最終證明康托是正確的。他所創(chuàng)立的集合論被譽為20世紀最偉大的數學創(chuàng)造，集合概念大大擴充了數學的研究領域，給數學結構提供了一個基礎，集合論不僅影響了現代數學，而且也深深影響了現代哲學和邏輯。

1．康托爾的生平

1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數學家一樣，他在中學階段就表現出一種對數學的特殊敏感，并不時得出令人驚奇的結論。他的父親力促他學工，因而康托在1863年帶著這個目地進入了柏林大學。這時柏林大學正在形成一個數學教學與研究的中心?？低泻茉缇拖蛲@所由外爾斯托拉斯占據著的世界數學中心之一。所以在柏林大學，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉到純粹的數學。他在1869年取得在哈勒大學任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托在克列勒的《數學雜志》上發(fā)表了關于無窮集合理論的第一篇革命性文章。數學史上一般認為這篇文章的發(fā)表標志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數成為康托研究的主流，他一直在這方面直到1897年，過度的思維勞累以及強列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學的精神病院中去世。

2．集合論的背景

為了較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產生的背景。

集合論在19世紀誕生的基本原因，來自數學分析基礎的批判運動。數學分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使實無窮概念在數學中信譽掃地。19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎上建立起連續(xù)、導數、微分、積分以及無窮級數的理論。正是這19世紀發(fā)展起來的極限理論相當完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至產生邏輯矛盾。19世紀后期的數學家們發(fā)現使柯西產生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術的基礎上。于是，許多受分析基礎危機影響的數學家致力與分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象─連續(xù)函數的描述。在數與連續(xù)性的定義中，有涉及關于無限的理論。因此，無限集合在數學上的存在問題又被提出來了。這自然也就導致尋求無限集合的理論基礎的工作。總之，為尋求微積分徹底嚴密的算術化傾向，成了集合論產生的一個重要原因。