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一、問題的提出

例1：根據(jù)下面數(shù)列找出它的規(guī)律

11，31，41，61，71，101，131，….

答案：末位數(shù)為1的素?cái)?shù)

然而本題給20名數(shù)學(xué)系大四的學(xué)生15分鐘的思考時(shí)間，20人竟無一人能回答正確。他們中間的同學(xué)試圖從數(shù)字之和去考慮問題，比如1+1=2，3+1=4，4+1=5，6+1=7，這樣可以出現(xiàn)131、151、161(錯(cuò))、181…。行不通：而后又考慮3+1=4，4+3-1=6，6+4-3=7，7+6-4=9，9+7-6=10，10+9-7=11，11+10-9=12，12+11-10=13這樣得出除末位數(shù)外的前面的數(shù)字，出現(xiàn)了41、61、71、91(錯(cuò))、101、111(錯(cuò))、121(錯(cuò))、131、…。之所以沒有答案筆者認(rèn)為他們的思維方向不對(duì)。課后的追訪驗(yàn)證了我的答案。

教師：這些數(shù)有什么的特點(diǎn)?

學(xué)生：個(gè)位數(shù)都是1

教師：還有什么特點(diǎn)?

學(xué)生：憑感覺認(rèn)為后面的數(shù)是151、181，再往后就不知道了，看不到它們的規(guī)律。

教師：再從另一個(gè)角度考慮，比如素?cái)?shù)、和數(shù)方面想想?

學(xué)生：呵!它們都是素?cái)?shù)。

教師；這樣你可以說出答案了吧。

學(xué)生：(想…)還是不行，還是找不到它的通項(xiàng)公式。

教師：答案是末位數(shù)為1的素?cái)?shù)。

學(xué)生：就是這樣的答案嗎?不是讓找它的通項(xiàng)公式嗎?我考慮的太多了，我們都認(rèn)為是讓找通項(xiàng)公式。

可以看到學(xué)生認(rèn)為這道數(shù)列的題目是讓找通項(xiàng)公式，這與他們在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作過大量這樣的題目有關(guān)，以前的思維定勢讓他們認(rèn)為應(yīng)該有一個(gè)通項(xiàng)公式來表達(dá)這個(gè)規(guī)律，然而本題卻沒有通項(xiàng)公式。

從上面例題可以看出，在解決問題時(shí)往往從特殊的簡單情形開始，給人一種返璞歸真的感覺，但在解題中必須明確，返璞歸真的目的不是為了找出幾個(gè)簡單情形的解法，而是為了通過簡單情形的解法，悟出規(guī)律，抓住題魂，所謂的“返璞歸真不為玉，意在靈性通題魂”，體現(xiàn)了“以退為進(jìn)”的角色模式。但是，邏輯思維能力是一個(gè)需要畢生精力不斷苦練的功夫，功夫不到就可能跌入新的誤區(qū)，任何人跌入誤區(qū)的原因都是未能把握住這條邏輯鏈——具體問題具體分析，這是研究一切問題的靈魂。如上面的例題一樣，遇到數(shù)列找規(guī)律的問題就不能想當(dāng)然的認(rèn)為找通項(xiàng)公式。

二、數(shù)學(xué)解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考與建議

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須學(xué)會(huì)解題，我國是解題的王國，學(xué)生解題的基本功非常好，但相當(dāng)部分學(xué)生的功夫是通過“解題類型+方法”機(jī)械訓(xùn)練而來的，忽視了解題中數(shù)學(xué)思維與方法的學(xué)習(xí)，造成出現(xiàn)上面的種種弊端。因此如何應(yīng)用數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)解題是當(dāng)前一個(gè)非常關(guān)鍵的問題。

(一)更新解題觀念

什么是解題，不同的人有不同的觀念，按現(xiàn)代教學(xué)論與心理學(xué)，可以這么說，數(shù)學(xué)解題是在數(shù)學(xué)思維與方法指導(dǎo)下，有目的地運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能分析與解決數(shù)學(xué)問題的過程。G.Polya在《怎樣解題》一書一開始，把解題過程歸結(jié)為四個(gè)階段：(1)弄清問題；(2)制定計(jì)劃；(3)實(shí)現(xiàn)計(jì)劃：(4)回顧；另外，在《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)》中，波利亞又從思維活動(dòng)的形式這一角度對(duì)此作出了更為明確的描述：他指出解題過程是由以下的思維活動(dòng)所組成的：集中目標(biāo)，估計(jì)前景，對(duì)途經(jīng)的尋找，對(duì)更有希望局面的尋找，對(duì)有關(guān)知識(shí)的尋找，重新估計(jì)形式。他認(rèn)為解題是人類最富有特征的一種活動(dòng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的中心環(huán)節(jié)，是一種實(shí)踐性技能，是發(fā)展學(xué)生思維能力、培養(yǎng)良好心理品種的重要手段。我們應(yīng)從“過程、環(huán)節(jié)、技能、手段”角度去理解數(shù)學(xué)解題的概念，數(shù)學(xué)解題教學(xué)是用通過典型數(shù)學(xué)題的學(xué)習(xí)，去探究數(shù)學(xué)問題解決的基本規(guī)律，學(xué)會(huì)象數(shù)學(xué)家那樣“數(shù)學(xué)的思維”，因此數(shù)學(xué)解題的教學(xué)目的不僅是提高學(xué)生的解題能力，深化鞏固所學(xué)的知識(shí)，而且應(yīng)是掌握其思維與方法、全面提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

(二)分析解題過程

G.Polya在《怎樣解題》中，宏觀地把解題過程概括為四個(gè)階段：(1)弄清問題；(2)制定計(jì)劃；(3)實(shí)現(xiàn)計(jì)劃；(4)回顧。從而體現(xiàn)出模式識(shí)別、聯(lián)系轉(zhuǎn)化、特殊化與一般化、歸納、類比等思維策略的指導(dǎo)。就解題而言，最受重視的是制定解題計(jì)劃，然而就學(xué)習(xí)解題而言，最重要的是理解題意階段和解題回顧階段，以“解”作為出發(fā)點(diǎn)，注重的是解題的結(jié)果，以“學(xué)解”作為出發(fā)點(diǎn)。注重的是解題的過程。

(1)弄清問題，明確目標(biāo)——解題的起點(diǎn)。有位數(shù)學(xué)家說善于解題的人用一半時(shí)間來理解題意，只用一半時(shí)間完成解答。我們習(xí)慣上說的審題，即弄清問題的已知是什么?未知是什么?條件是什么?關(guān)鍵是學(xué)習(xí)分析隱含條件的能力，化簡已知和未知的能力，達(dá)到對(duì)問題的深層次理解，利用解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)慕忸}知識(shí)塊，識(shí)別出問題的類型。

(2)探索思路，制定計(jì)劃——解題的關(guān)鍵。在這個(gè)過程中要實(shí)現(xiàn)一系列的轉(zhuǎn)化：或是利用變換問題思維模式、分解與組合的思維模式、構(gòu)造解題思維模式、整體化思維模式把未知的、把比較困難的問題轉(zhuǎn)化為已知的、較容易的問題以求得解決，或是通過其他問題的研究來獲得材料上或方法上的幫助，也就是要利用你的知識(shí)結(jié)構(gòu)，文化修養(yǎng)緊扣數(shù)學(xué)有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能認(rèn)真思考，尋找已知和未知的種種聯(lián)系，并結(jié)合應(yīng)用邏輯思維、非邏輯思維、數(shù)學(xué)審美等思維與方法。構(gòu)思解決當(dāng)前問題的步驟，探索解決問題的各種方法。對(duì)于比較復(fù)雜的問題，一時(shí)不得解決，還可以進(jìn)行大膽的猜想，由一般想到特殊，特殊想到一般?？傊床ɡ麃喺Z“我們通過動(dòng)員和組織、分離和結(jié)合、辨認(rèn)和回憶題中的各種元素以及重組和充實(shí)我們的構(gòu)思這一系列過程的連續(xù)進(jìn)行，來預(yù)見問題的解；或解的某些特征：或部分答案的具體實(shí)現(xiàn)途徑。”

(3)實(shí)現(xiàn)計(jì)劃——解題的表述。要嚴(yán)格推證與計(jì)算或按思路具體寫出每一步驟，并且要用數(shù)學(xué)語言與符號(hào)嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)，做到敘述正確、合理、嚴(yán)密、簡捷和清楚。

(4)回顧——解題后的反思。要嚴(yán)格檢查，并判斷解題正確與否，同時(shí)總結(jié)解題策略經(jīng)驗(yàn)、提高解題技能，研究是否能夠推廣，作出各種可能的延伸。

如：n推廣到n(當(dāng)然后者的證明需要用到數(shù)學(xué)歸納法、比較分析法等方法。)

再如：求和并證明：我們不僅要用分?jǐn)?shù)求和的形式解決問題，還要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)家對(duì)模式的尋找：歸納法來解決問題。而對(duì)于問題：設(shè)a，b＞0求lim(a+b)，我們即要用極限的方法解決又要嘗試數(shù)學(xué)家的特殊化方法。

注意在解題后的回顧這個(gè)過程中，我們不僅要回顧有關(guān)的知識(shí)、解題方法以及理解題意的過程，而且更要反思：一開始是怎樣探索的，走過那些彎路，出現(xiàn)過那些錯(cuò)誤，為什么會(huì)走這些彎路、會(huì)產(chǎn)生這些錯(cuò)誤等等。古人云“_T欲善其事，必先利其器?！苯忸}回顧就是磨利解題武器的過程，它所起到的舉一反三的作用，勝過做十道題，在具體教學(xué)時(shí)，不妨借助“時(shí)間等待”理論的思想，留出充分的時(shí)間讓學(xué)生把解題回顧完成。

(三)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，力爭揭示發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法

數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)主要是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，因此建立良好的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)至關(guān)重要，而解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立和改造有三大環(huán)節(jié)：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)、解題實(shí)踐活動(dòng)和策略經(jīng)驗(yàn)積累，其中策略經(jīng)驗(yàn)的積累最為重要，并且這一環(huán)節(jié)主要在“解題同顧”的過程中獲得。所以說解題教學(xué)，并不是去幫助學(xué)生尋找萬能的解題方法，而是力圖揭示發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律。盡管萬能的解題方法不存在，但解題中存在著各種各樣的規(guī)則，在教學(xué)過程中我們應(yīng)對(duì)這些思維的規(guī)則進(jìn)行明確地描述、從而實(shí)現(xiàn)由對(duì)合理方法的天才的、不自覺的應(yīng)用向有意識(shí)的自覺的應(yīng)用的轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生解題的元認(rèn)知能力。因此我們要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)思考，不但要學(xué)會(huì)有目的的思考，而且學(xué)著了解數(shù)學(xué)的非形式思維過程，因?yàn)閿?shù)學(xué)思維所涉及的不僅有公理、定理、定義以及嚴(yán)格的證明，而且還有許多的其他方面，象推廣、歸納、類推以及從一個(gè)具體情況中辨認(rèn)或者說抽取出某個(gè)數(shù)學(xué)概念等。我們應(yīng)讓學(xué)生通過解題實(shí)踐掌握越來越多的解題模式，積累越來越多的解題策略經(jīng)驗(yàn)、問題策略經(jīng)驗(yàn)以及方法和技巧性經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)通常在做什么和應(yīng)該去作什么之間的差別，懂得如何思考問題和解決問題，如何猜想與預(yù)測問題的答案。

摘要：本文通過一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解題過程，探索解題中滲透的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法，并概括了數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)，力求能夠指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；邏輯思維；非邏輯思維；數(shù)學(xué)思維