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摘要：明朝末年，利瑪竇來中國通過翻譯《幾何原本》傳入了歐氏幾何，同時，其也通過各種活動傳入了當(dāng)時流行于歐洲的非歐氏幾何。這些幾何知識主要有圓錐曲線、平行正投影、球極投影、畫法幾何和透視法等。這些幾何知識的傳入，更加豐富了我國當(dāng)時的數(shù)學(xué)研究，也更直接有力地促進了我國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：利瑪竇；非歐氏幾何；圓錐曲線；球極投影；畫法幾何

眾所周知，明朝末年意大利傳教士利瑪竇（MatteoRicci,1552－1610）來到中國，通過和著名學(xué)者徐光啟共同翻譯《幾何原本》，給我國帶來了流行于歐洲近兩千年的歐氏幾何，改善了我國數(shù)學(xué)研究的狀況，推動了我國數(shù)學(xué)的發(fā)展。其實，利瑪竇在中國傳教近三十年，通過各種科技活動，也傳入了大量的《幾何原本》之外的幾何——現(xiàn)在一般泛稱之為非歐氏幾何。這些幾何知識的傳入，在當(dāng)時不僅極大地豐富了我國幾何研究的內(nèi)容，而且也有力地促進了我國關(guān)于天文學(xué)、地理學(xué)和繪畫藝術(shù)等的研究，直接推動了我國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展?？墒?，這一問題至今沒有多少人注意到，還沒有人對其進行過深入的研究。由此本文擬就這個問題做一探討。

一、圓錐曲線的傳入

圓錐曲線是古希臘數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家的一項重要發(fā)現(xiàn)。其自從被發(fā)現(xiàn)以來飽受人們的贊譽，在中世紀之前其就被廣泛地應(yīng)用到很多領(lǐng)域。因而，當(dāng)時的歐洲學(xué)者幾乎都了解這種曲線，都熟悉一些它們的性質(zhì)。利瑪竇來到中國，其實最早傳入的幾何就是此項內(nèi)容。

據(jù)載，利瑪竇于1583年來到中國大陸，不久即獲準在廣東傳教?？墒?，起初國人并不認可這個長相古怪的“家伙”以及他宣揚的“異端學(xué)說”。于是，利瑪竇開始轉(zhuǎn)變策略，曲線傳教，給國人展示一些西方的新奇物品，以期達到吸引國人的目的。1584年4月，在利瑪竇給國人展示了一幅其從意大利帶來的世界地圖。這幅地圖非常精美，頓時吸引了不少人來觀看，特別是一些高級知識分子，如當(dāng)時肇慶的知俯王泮等。王泮看過之后，非常喜歡，遂請利瑪竇給他另繪制一幅。利瑪竇不敢不受命，于是立即動工，于同年11月份就取得成功，這就是有名的“山海輿地圖”?！?〕這幅地圖后來流傳很廣，由此利瑪竇的聲名也大了起來。1601年利瑪竇面圣來到北京，不久就結(jié)識了當(dāng)時著名的官員李之藻。李之藻也是個地圖繪制愛好者。他二十歲的時候曾自己搜集資料，親自繪制過一幅全國地圖?！?〕李之藻看過了利瑪竇的世界地圖之后，對于其繪制的精美和精確感到異常驚訝，于是開始跟利瑪竇學(xué)習(xí)西方科技知識。1602年，李之藻首先學(xué)會了繪制世界地圖，遂即將利瑪竇繪制的“山海輿地圖”放大，然后進行了重新印刷，這就是著名的“坤輿萬國全圖”。這幅地圖目前還能看到，也有很多人對此進行了深入的研究。經(jīng)過研究，發(fā)現(xiàn)其最初的底本來自羅馬，采用的是當(dāng)時歐洲比較流行的投影畫法——橢圓投影（ovalprojection）〔3〕。橢圓投影有什么特點呢？我們研究發(fā)現(xiàn)，其最大的特點就是將整個地球表面的投影圖繪制成了一個標(biāo)準的橢圓?！?〕同時，我們對“坤輿萬國全圖”進行研究，也發(fā)現(xiàn)其周邊的確是一個標(biāo)準的橢圓形。橢圓在中國古代沒人研究，更沒有人應(yīng)用。所以，這里的使用是最早的一例，它完全得益于利瑪竇的工作。

1596年11月，利瑪竇在南昌的時候，收到了他在羅馬學(xué)院時期的老師克拉維烏斯（C.Clavius,1538－1612）神父于1593年出版的新書《論星盤》（Astrolabium）。此后，為了吸引國人，其常拿這本書來講解西方知識。〔5〕特別是當(dāng)遇到一些比較聰明的中國學(xué)者的時候。李之藻人稱“江南才子”，徐光啟說他“卓犖通人”，所以，當(dāng)他遇到利瑪竇的時候，也從利瑪竇那里受到了這方面的恩惠。不僅如此，很有可能李之藻還通讀了全書，因為于1605年左右，李之藻寫了一本叫《渾蓋通憲圖說》的書，就是對上述書的節(jié)譯。節(jié)譯內(nèi)容還不在該書前面，全是后面的內(nèi)容。而《論星盤》是一本什么樣的書呢？其主旨雖然是介紹星盤制作的，但是在闡述的時候，卻運用了大量的數(shù)學(xué)知識。其最后的星盤的具體做法，都是在圓錐曲線知識的基礎(chǔ)上一步步嚴格推理出來的?！?〕由此，其包含了大量的圓錐曲線的內(nèi)容。利瑪竇既然給李之藻講授了此書，所以，其也肯定傳授給李之藻了圓錐曲線的知識。

還有，在1608年李之藻又寫成了《圓容較義》一書。此書的序言中講：“昔從利公研窮天體，因論圓容，拈出一義，次為五界十八題。”〔7〕可見此書直接來源于利瑪竇。此書分為十八個命題，分別講述了多邊形的面積問題、錐體的體積問題、圓內(nèi)接多邊形和外切多邊形問題、球內(nèi)切多面體問題等等。這些都是當(dāng)時徐光啟翻譯的《幾何原本》中沒有的內(nèi)容。此書的第十八題證明了“凡渾圓形與圓外角形等周者，渾圓形必大于圓角形?！奔础氨砻娣e一定的球和旋轉(zhuǎn)體相比，前者體積大”。為了更好的證明這個命題，李之藻給出了一個圖形，如圖一所示。由此看見，其使用了橢圓?！?〕另外，在此書中，其還多次提到阿基米德（Archimedes,BC287－BC212）的《圜書》，借用了其中的命題結(jié)論。而阿基米德的《圜書》是一本討論圓的面積和體積的書，里面也包含了橢圓面積的求法。由此我們也可以看出，李之藻學(xué)習(xí)過了橢圓知識。

所以，利瑪竇來到中國也帶來了圓錐曲線內(nèi)容，還傳給了國人。

二、利瑪竇傳入了平行正投影

上面提到，1602年李之藻放大翻刻了利瑪竇的世界地圖。此地圖和原來的相比，一是面積大了，二是增加了若干小的圖形?！?〕在這些小的圖形中，有一幅如圖二所示，在大圖的左下角。另外其還就此附了一段文字：“右圖乃黃赤二道錯行中氣之界限也。凡算太陽出入皆準此。其法以中橫線為地平，直線天頂，中圈為地體，外大圈為周天。以周天分三百六十度。假如是圖在京師地方，北極出地平線上四十度，則赤道離天頂南亦四十度矣。然后自赤道數(shù)起，南北各以二十三度半為界，最南為冬至，最北為夏至。凡太陽所行不出此界之外，既定冬、夏至界，即可求十二宮之中氣。先從冬夏二至界相望畫一線，次于線中十字處為心，盡邊各作一小圈，名黃道圈。圈上勻分二十四分，兩兩相對作虛線，各識于周天圈上。在赤道上者，即春秋分；次北曰谷雨、處暑，曰小滿、大暑，曰夏至；次南曰霜降、雨水，曰小雪、大寒，曰冬至。因圖小，止載中氣，其余節(jié)氣仿此。就中再勻分一倍，即得之矣。而其日影之射于地者，則取周天所識，上下相對，透地心斜畫之。太陽所離赤道緯度，所以隨節(jié)氣分遠近者，此可略見。凡作日晷帶節(jié)氣者，皆以此為提綱，歐羅巴人名為‘曷捺楞馬’云。”〔9〕

何為“曷捺楞馬”？目前經(jīng)多人多方面的研究已證實，其實際是拉丁詞Analemma的音譯。那么什么是Analemma呢？也有人考證，這實際上是古希臘人創(chuàng)造的一種專門用來研究宇宙的平行正投影〔10〕。此方法將投影點設(shè)在無窮遠點，讓光線平行穿過天球，假想在天球中間有一個平面垂直于光線，這樣可畫出天球的模樣。由此，我們看出，利瑪竇傳入了西方曷捺楞馬法。他在這個過程中說明了球面上平行于透射光線的圓（如地平圈）被透射成直線段，說明了和透射光線垂直的圓（如過南北極的經(jīng)線圈）被透射成圓等性質(zhì)。同時，也給出了它們的正確畫法。

此外，在利瑪竇日?；顒又?，也曾多次提到過日晷。如在肇慶他曾指導(dǎo)瞿太素制造日晷，在南京曾輔導(dǎo)張養(yǎng)默制造日晷等。日晷作為一種古老的利用太陽來計時的儀器，東西方都有，但各有所長。東方的多是赤道日晷，沒有什么投影理論。而西方的多是地平日晷，其以西方古代天文學(xué)基本構(gòu)架為基礎(chǔ)，使用的方法正是曷捺楞馬法。而利瑪竇當(dāng)時帶來的和在中國制作的日晷不同于中國式的，通過其描述我們考證也正是地平日晷〔1〕。也由于此可看出，利瑪竇的確帶來了西方平行正投影。

關(guān)于平行正投影在我國古代曾經(jīng)有人研究過，如北宋時期的著名畫家建筑學(xué)家李誡（？－1110）。在他的《營造法式》（1103）中我們可以看到有不少圖形的繪制采用的是正投影的方法。再如明代出現(xiàn)的《魯班經(jīng)》（萬歷年間），其中也有很多正投影圖〔11〕。但是，中國古代的平行正投影似乎都沒有研究過球面。就是曾經(jīng)研究過的立方體（如房屋、石頭等）也沒有具體的確定的繪制方法——沒有使用精確的幾何繪制。所以，利瑪竇在這里的介紹在當(dāng)時還是先進的，是對我國平行正投影研究的補充和推進。

三、利瑪竇傳入了球極投影和畫法幾何

利瑪竇在給國人展示西方物品的時候，其實不只是展示了地圖和日晷，而且還展示過一些相對較為復(fù)雜的天文儀器，如星盤等?！?〕對于星盤，利瑪竇特別用心。這一方面是星盤有很多的內(nèi)容，非常新穎，另外也是有克拉維烏斯的《論星盤》作后盾，其可介紹的內(nèi)容多而且系統(tǒng)。而星盤，作為一種先是在古希臘時期被當(dāng)時的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家發(fā)明，后又在歐洲非常流行的天文儀器，在制作的時候常常需要很多數(shù)學(xué)知識，因此，星盤在歐洲有“數(shù)學(xué)之寶”的美稱?！?2〕在星盤制作需要的數(shù)學(xué)知識中，除了歐氏幾何和圓錐曲線知識以外，還需要球極投影的知識，球極投影是制作星盤的關(guān)鍵。所以，學(xué)習(xí)星盤制作必須學(xué)習(xí)球極投影。〔13〕

據(jù)載，利瑪竇在廣東曾教授過瞿太素制作星盤，在南京曾教授過張養(yǎng)默制作星盤。到了北京其又和李之藻等人討論了星盤的制作，并使李之藻也學(xué)會了制作星盤。利瑪竇曾說：“李良（李之藻）對數(shù)學(xué)的其它部門也感興趣，他全力以赴協(xié)助制作各種數(shù)學(xué)器具。他掌握了丁先生（克拉維烏斯）所寫的幾何學(xué)教科書的大部分內(nèi)容，學(xué)會了使用星盤，并為自己制作了一具，它運轉(zhuǎn)得極其精確。接著，他對兩門科學(xué)寫出了一份正確而且清晰的闡述。他的數(shù)學(xué)圖形可以和任何歐洲所繪的相匹敵。他論星盤的著作分兩卷出版。利瑪竇神父把一份送給了羅馬的耶穌會會長神父，作為中國人完成的第一部這類著作的一個樣本，另一份送給了丁先生，因為他本人曾一度從丁先生受教。”〔1〕

這里提到的“論著星盤的書”即是《渾蓋通憲圖說》。在這本書的序言中，李之藻也說：“昔從京師識利先生，歐邏巴人也。示我平儀，其制約渾，為之刻畫重固，上天下地，周羅星程，背結(jié)規(guī)筒貌則蓋天，而其度仍從渾出。取中央為北權(quán)，合《素問》中北外南之觀；列三規(guī)為歲候，邃義和侯星寅日之旨，得未曾有，耳受手書，頗亦鏡其大凡。旋奉使閩之命，往返萬里，測驗無爽，不揣為之圖說，間亦出其鄙謝，會通一二，以革中歷。”〔14〕由此可見，利瑪竇給李之藻講解了球極投影，并教會了他星盤的制作和使用方法。

下面我們再具體看《渾蓋通憲圖說》的內(nèi)容。此書上下兩卷共二十一部分。在第一部分卷首中，他說：“渾儀如塑像，而通憲平儀如繪像，兼俯印轉(zhuǎn)側(cè)而肖之者也。塑則渾圓，繪則平圓，全圓則渾天，割圓則蓋天?！痹诘仄绞茏游缫?guī)之圖中說：“渾天極圓，今割去黃道短規(guī)以南一小弧為平儀所不用者，此內(nèi)大弧自午中冬至度，逾北極際迄夜半冬至度，共徑二百二十七度，平儀截用為蓋天形，而置北極于中央云。”在總圖說第一中說：“渾蓋舊論紛紜，推步匪異。爰有通憲，范銅為質(zhì)。平測渾天，截出下規(guī)，遙遠之星所用。固僅依蓋是為渾度。蓋模通而為一面，為俯視圖象?！碧岬阶游缇€時又說：“其過頂一曲線結(jié)于赤道卯酉之交者則為正東西界，其余方向皆有曲線定之，近北窄而近南寬，蓋若置身天外斜望者?！痹诘乇P長短平規(guī)圖說第四中又說：“故有晝短規(guī)，有晝夜平規(guī)，有晝長規(guī)，而短規(guī)最大，平規(guī)次之，長規(guī)最小。蓋平儀系極中央，中央之極，實該南北二極。試設(shè)八尺渾儀于此，人目自南極之外以望北極，晝短之規(guī)最近，定覺最大，晝夜平規(guī)次近，則覺次大，晝長之規(guī)最遠，則亦覺其最小，平儀立法于此。而中國在赤道以北，故置晝長規(guī)于赤道內(nèi)，晝短規(guī)于赤道外。凡晝短規(guī)以內(nèi)，其星稠。而在望近短規(guī)以外，其星有不可望者矣，夫是以略也?！薄?5〕由此可見其傳入了球極投影（stereographicprojection）原理。

球極投影是發(fā)端于古希臘天文學(xué)研究的一種數(shù)學(xué)方法，這種方法的創(chuàng)始人已不可知，有人認識是托勒密（C.Ptolemy,100－170），有人認為是喜帕恰斯（Hipparchus,BC180－BC125），還有人認為是更早的歐多克斯（Eudoxus,BC400－BC347）。這種方法的原理是：假設(shè)球體是透明的，而光線也是沿直線前進的。然后在球的南極（或北極）放置一個投影點，在赤道放置一個平面，讓光源向平面發(fā)光，這樣就可以在平面上看到除南極點之外球面上所有點的投影了。如圖三所示。這種投影的特點是：赤道圈的投影和自身重合；赤道以北的半球上的元素投到平面赤道圈的內(nèi)部，反之，球面上赤道南部半球上的內(nèi)容投影到平面赤道圈的外部；球面上近北極的點，其投影密集，近南極的元素，其投影稀疏；另外，這種投影還有兩個重要的特性，一個是保圓性，一個是保角性。保圓性就是在投影變化下，球面上任意的不過兩極的圓都被投影成一個圓。過兩極的經(jīng)線圈被投影成直線。保角性是指，投影的時候，球面上兩個弧線之間的夾角可保持不變。由此，其可以幫助人們很好地測量天體和研究天文學(xué)?！?6〕

再看下面的內(nèi)容。在地盤長短平規(guī)圖說第四中，其介紹完了晝長規(guī)和晝短規(guī)之后，還給出了具體的畫法，為：“先以晝短規(guī)分周天度。就子午線之中右尋二十三度半為界，從此斜畫一線，貫子午而右到酉中而止。取其與午線過處，從樞心旋一圓是為晝夜平規(guī)，即赤道規(guī)。又于赤道規(guī)分周天度，從午中右行數(shù)二十三度半，斜畫一線到酉中，取其過午線之處為界，從心畫以圓是為晝長規(guī)。”其給出的圖形如圖四所示。

在定天頂圖說第五中，其介紹了天頂和天頂規(guī)的投影畫法。以北緯400為例（當(dāng)時測的北京的緯度）天頂具體的做法是：“先將赤道規(guī)分周天度，乃于卯線北行起算，依地方北極出高幾度幾分分立界于赤道之規(guī)，而畫弦以貫盤心。北左界為北極，南右界為南極。此名南北極軸。又于午線之東亦尋北極度分為界。此界正當(dāng)二極之中赤道之位，亦貫盤心畫弦為之赤道軸。自此赤道南軸斜望酉中，經(jīng)過午線再畫一弦，取其交午線處即為所求天頂?！薄?5〕

此后，還有黃道的天頂規(guī)的畫法、地平規(guī)的畫法、地平漸升度的畫法、朦朧影的畫法、黃道的畫法、黃道十二宮分點的畫法、黃道經(jīng)線的畫法、黃極和赤道南北極的畫法、有各種坐標(biāo)的恒星的畫法等等。由此看見，李之藻從利瑪竇那里還學(xué)習(xí)了西方早期的畫法幾何，并介紹給了國人。

四、利瑪竇傳入了透視法

在利瑪竇給國人展示的物品中，也多次提到西方繪畫，如圣母像、耶穌像等。這些繪畫，有的是從印度、澳門、日本等外面經(jīng)教友轉(zhuǎn)來的，也有是利瑪竇自己繪制的。據(jù)載，1602年利瑪竇曾奉中國皇帝的命令，耗時兩三天繪制成的“西方宮廷生活圖”是一幅〔17〕，還有利瑪竇晚年也曾繪制過“野墅平林圖”也是一幅〔18〕。利瑪竇采用的什么方法畫這些畫呢？雖沒有文字記錄，但可以從其它地方找到證據(jù)。從現(xiàn)存于遼寧省博物館的“野墅平林圖”中我們可以看出，其不是中國式的寫意畫法――雖然入畫內(nèi)容是山水。其遠近分明，明暗比例協(xié)調(diào)，滅點固定，視野開闊，顯然是采用了西方透視畫法。還有，利瑪竇在1601年將圣母像獻給皇帝之前，曾給很多人展示過，在展示的時候，還對比中國畫進行了講解，他曾說：“中國畫但畫陽不畫陰，故看之人面軀正平，無凹凸相，吾國之畫兼陰與陽寫之，故面有高下，而手臂皆輪圓耳。凡人之面正迎陽，則明而白，若則立，則向明一邊者白，其不向明一邊者眼耳鼻口凹處，皆有暗相。吾國之寫像者，解此法用之，故能使畫像與生人亡異也?！薄?9〕在《幾何原本序》時他又曾說：“察目視勢，以遠近正邪高下之差，照物狀可畫立圓、立方之度數(shù)于平版之上，可遠測物度及真形。畫小，使目視大，畫近，使目視遠，畫圓，視目視球，畫像，有坳凸，畫室，有明暗也?！薄?0〕還有，在利瑪竇學(xué)習(xí)過的羅馬學(xué)院的課程表中明確標(biāo)有：透視學(xué)，學(xué)習(xí)三個月?！?〕由此，利瑪竇懂得當(dāng)時在歐洲興起的透視畫法，了解其中的數(shù)學(xué)投影原理，在繪畫的時候采用了透視法。

國人中跟利瑪竇學(xué)習(xí)西方繪畫的也有，這其中最有名的就是游文輝。游文輝，字含樸，澳門人。1575年生人，1593到1598到日本接受基督教訓(xùn)練，之后回國追隨利瑪竇。其間因為他酷愛繪畫并曾在日本初步學(xué)習(xí)過，所以其主要是跟利瑪竇學(xué)習(xí)繪畫和從事繪畫活動?！?1〕游文輝作為一個西畫的初學(xué)者留下來的作品并不多，目前最常見的是1610年利瑪竇去世之后他繪制的利瑪竇畫像?！斑@是一幅標(biāo)準的西方肖像畫，構(gòu)圖既飽滿又簡練，顯示出相當(dāng)?shù)乃囆g(shù)概括能力?！摦媽γ靼档奶幚硪埠苡刑厣?，光線從畫面左上方射去，在眼眶、鼻梁、面頰的暗面投下了豐富的陰影，尤其在白色衣領(lǐng)上的投影可以明顯感受到強烈的光源。……17世紀的中國人能將油畫肖像繪至這樣的水平，的確是件非常不容易的事情?！薄?2〕從此可看出，游文輝熟悉西方繪畫的原理，利瑪竇一定給他講解過其中的數(shù)學(xué)理論即當(dāng)時在西方流行的透視法。

五、結(jié)束語

綜上我們可以看出，明朝末年在利瑪竇的多項活動中，其不僅傳入了著名的歐氏幾何，而且還傳入了多種非歐氏幾何。這些非歐氏幾何更加直接地應(yīng)用到了平時科學(xué)技術(shù)活動中，特別是天文、地理和繪畫藝術(shù)中，更有利的促進了當(dāng)時我國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。其實正是由于利瑪竇此時對于這些幾何知識的介紹，才使得后來有多種數(shù)學(xué)的傳進。比如，正是利瑪竇在這里介紹了“曷捺楞馬”，后來才有的湯若望（J.A.S.V.Bell,1591－1666）在編寫《恒星歷指》的時給出了四種計算恒星坐標(biāo)的簡平儀法；〔23〕正是這里利瑪竇介紹了《圜書》中的橢圓，才有的后來羅雅谷（J.Rho,1593－1638）在編寫《測量全義》時對《圜書》的全面提及；〔24〕還有正是這個時候利瑪竇曾介紹過透視法，才使得后來大量的透視法內(nèi)容傳入我國，于1729年出現(xiàn)了我國第一部畫法幾何的專著《視學(xué)精蘊》，〔25〕等等。所以，利瑪竇對于非歐氏幾何在我國傳播做出的貢獻一點也不必歐氏幾何在我國傳播做出的貢獻小。如果要說到實用性，前者甚至還要大于后者。

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