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583年，意大利傳教士利瑪竇（MatteoRicci，1552－1610）將他在羅馬學(xué)院時(shí)期的老師克拉維烏斯（C.Clavius，1538－1612）神父編寫(xiě)的《幾何原本十五卷》（EuclidiselementorumlibriXV）帶到了我國(guó)，1607年，他和我國(guó)數(shù)學(xué)家徐光啟翻譯了前六卷，1857年，英國(guó)人偉烈亞力（wylieAlexander，1815－1887）和我國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯了后九卷，中間隔了整整250年。這期間《幾何原本》后九卷的情況是怎樣的呢？有沒(méi)有其中的內(nèi)容被介紹過(guò)來(lái)呢？答案是：有。不僅有，而且內(nèi)容還不少。下面筆者擬就這個(gè)問(wèn)題作一闡述。

1608年，李之藻在跟利瑪竇學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一段時(shí)間之后，寫(xiě)成了《圓容較義》一書(shū)。此書(shū)共十八個(gè)題，主要論述了圓內(nèi)接多邊形和一些立體幾何的性質(zhì)。此書(shū)第十四題為：“銳觚全形所容與銳頂至邊垂線及三分底之一矩內(nèi)直角立形等?！贝祟}的解釋是：“論曰：從立形底諸角與相對(duì)一角如子角者皆作垂線，以成庚辛壬癸子觚形。此形與寅庚形同底同高，又同巳甲銳觚之高，既巳甲形兼庚辛壬癸子觚之三。”到這里，作者用小字體注解說(shuō)：“十二卷六注言：兩觚形同高者，其所容之比例入其底。底等亦等，底倍亦倍?！盵1]

這里的“十二卷”是哪里的呢？經(jīng)查對(duì)，正是《幾何原本》中的第十二卷?！稁缀卧尽肥砻}六現(xiàn)在翻譯為：“以多邊形為底且有等高的兩個(gè)棱錐的比如同兩底的比?！盵2]當(dāng)時(shí)國(guó)內(nèi)僅有利瑪竇帶來(lái)的克拉維烏斯神父編寫(xiě)的《幾何原本十五卷》，因此，李之藻必定參考的這個(gè)版本。

上面的內(nèi)容之后接著是：“寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三?！毙∽煮w解釋：“以同底同高故，在十二卷七系?！盵3]查這里的內(nèi)容，與《幾何原本》十二卷命題七內(nèi)容也正相對(duì)?！稁缀卧尽肥砻}七為：“任何一個(gè)以三角形為底的棱柱可以被分成以三角形為底的三個(gè)彼此相等的棱錐?！盵4]

此書(shū)第十五題為：“平面不拘幾邊，其全體可容渾圓切形者，設(shè)直角立形，其底得本形三之一，其高得圓半徑即相等?！苯獯鹗牵骸坝屑滓冶⌒?，內(nèi)含戊巳庚辛圓，其心壬，而外線甲乙切圓于戊。”這后面小字體解釋為：“十一卷三題?！盵5]我們查對(duì)《幾何原本》第十一卷，命題三為：“如果兩個(gè)平面相交，則它們的共同交跡是一條直線”。[6]仔細(xì)分析，本書(shū)的命題是其一個(gè)特例，是命題三一個(gè)推論。

此書(shū)第十六題為一個(gè)關(guān)于球的體積和立方體體積的題，在此題的解答中，有敘述說(shuō)：“于庚辛壬丙內(nèi)試作有法形勿切甲乙丙圓。”[7]之后還有敘述說(shuō)：“于甲乙丙圓內(nèi)作有法形不令切癸子丑?！盵8]這兩句話后面給出的小字體都是：“十二卷十七。”我們查《幾何原本》十二卷命題十七，其為：“一致兩個(gè)同心球，在大球內(nèi)作內(nèi)接多面體，使它與小球面不相切?！盵9]由此，作者在這里介紹了這個(gè)命題。

此書(shū)十七題為一個(gè)關(guān)于圓的性質(zhì)的題，在此題的解答中有：“甲圓外試作與丙（一個(gè)多邊形）相似形。”這句話的后面小字體提示為：“十二卷”。[10]我們查閱《幾何原本》十二卷，其引用了其中命題二--“圓與圓之比如同直徑上正方形之比?！?-證明過(guò)程中作圓外相似形的子命題。[11]

此書(shū)十八題為關(guān)于球的體積的題，在此題的解答中有兩個(gè)小字體解釋，第一個(gè)為：“圓角形同底之比例，若其高之比例。在十二卷十四題?！盵12]第二個(gè)為：“圓角形同高之比例，若其底之比例故也。在十二卷十一題?！盵13]查閱這里的內(nèi)容，與《幾何原本》中命題十四和命題十一正對(duì)。命題十四說(shuō)：“有等底的圓錐或圓柱之比同它們的高之比?！盵14]命題十一說(shuō)：“等高的圓錐或圓柱之比如同它們的底的比?！盵15]

由上可看出，利瑪竇當(dāng)時(shí)給國(guó)人簡(jiǎn)單介紹了《幾何原本》后九卷的一些內(nèi)容。

1631年，意大利傳教士羅雅谷（JacquesRho，1593－1638）在北京參與《崇禎歷書(shū)》的編纂，寫(xiě)成了《測(cè)量全義》十卷。《測(cè)量全義》為后面的天體測(cè)量奠定基礎(chǔ)，主要討論了各種幾何圖形的測(cè)量。在其第四卷中，給出了這樣一個(gè)小命題：“以第一自乘又以乘第二，其兩方之比例亦若第三與第四?！焙竺娴男∽煮w解釋為：“見(jiàn)幾何七卷十七題。”[16]檢查之，此處命題正是《幾何原本》第七卷命題十七：“如果一個(gè)數(shù)乘兩個(gè)數(shù)得某兩數(shù)，則所得兩數(shù)之比與被的乘兩數(shù)之比相同。”[17]

第六卷中作者主要討論了立體幾何，在這里作者說(shuō)：“幾何原本十二卷七增題曰：兩平行面之體或同高，兩體其比例為體與體若底與底，但取同類相求，以正高為據(jù)，不論體勢(shì)直與不直……幾何十二卷七題之系曰：同底同高之角體與平行面體之比例，若一與三?！盵18]此兩個(gè)命題顯然是《幾何原本》中的內(nèi)容。

所以，羅雅谷也介紹了《幾何原本》后九卷中的內(nèi)容。

1687年，法國(guó)傳教士張誠(chéng)（JeanFrancoisGerbillon,1654－1707）和白晉(JoachimBouvet,1656－1730)來(lái)到中國(guó)，不久他們即被召進(jìn)北京給康熙講授數(shù)學(xué)。他們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，因?yàn)橄有旃鈫⒑屠敻]翻譯的《幾何原本》前六卷復(fù)雜難懂，于是另外翻譯了由法國(guó)人巴蒂（I.G.Pardies，1636－1637）編寫(xiě)的《幾何原本》（ElementsdeGeometrie）。他們?cè)诜g的同時(shí)，或者是緊隨其后，又寫(xiě)出了一本書(shū)叫《算法原本》。《算法原本》后來(lái)被收入到《數(shù)理精蘊(yùn)》中，所以今天能看到。但是這不是原來(lái)的全部?jī)?nèi)容。根據(jù)中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所保存的李儼先生從故宮手抄出來(lái)的《算法原本》來(lái)看，原書(shū)內(nèi)容要豐富的多。

《算法原本》主要討論的是什么呢？現(xiàn)已有人作了研究：它主要討論了整數(shù)數(shù)論；它的內(nèi)容來(lái)自于《幾何原本》；它其實(shí)是《幾何原本》的第七卷。[19]

前段時(shí)間筆者也有幸看到了李儼先生的手抄本。其共分75個(gè)部分，第一部分主要討論了整數(shù)的性質(zhì)，相當(dāng)于定義。從第二部分開(kāi)始，直到最后，討論的全是數(shù)論的內(nèi)容。但是，該書(shū)不是對(duì)《幾何原本》第七卷的直譯，是意譯。

當(dāng)時(shí)張誠(chéng)和白晉他們?yōu)槭裁匆g這本書(shū)，也有人進(jìn)行了研究，認(rèn)為是為了學(xué)習(xí)他們翻譯的《幾何原本》中的立體幾何作打基礎(chǔ)的。李善蘭的幾何原本序言中曾說(shuō)：“（幾何原本）卷七至卷九有比例無(wú)比例之理，卷十論無(wú)比例十三線，卷十一至十三論體，十四十五二卷亦論體，則后人無(wú)續(xù)也。無(wú)七八九三卷，則十卷不能讀。無(wú)十卷，則后三卷中論無(wú)體之邊不能盡解。是七卷以后皆為論體而作，即皆論體也?！?700左右，當(dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家梅文鼎寫(xiě)了一本書(shū)叫《幾何補(bǔ)編》，其中提及了五種正多面體的性質(zhì)。[20]在《幾何補(bǔ)編》第一卷中，他說(shuō)：“凡等四面體，以其邊為斜線而求其方，以作立方，則此立方能容等四面體?！?/p>

在第二卷中，梅文鼎說(shuō)：“立方內(nèi)容二十邊等邊算法：亢卯寅房為立方全徑一百，中寅中卯為半徑五十，寅卯二點(diǎn)為二十等面邊折半之界，寅卯線為二十等面邊之半，中為體之中心，寅中卯角為三十六度。中寅半徑當(dāng)理分中末之全數(shù)，寅卯即理分中末之大分……約法：立方根與所容二十等面之邊，若全數(shù)與理分中末之大分……若十二面，邊為理分中末線之小分，求其全分，為外切立方也?！边@就是說(shuō)，正二十面體的邊長(zhǎng)等于正方體邊長(zhǎng)黃金分割之大段長(zhǎng)；正十二面體邊長(zhǎng)等于正方體邊長(zhǎng)黃金分割之小段長(zhǎng)。

在第三卷中，梅文鼎說(shuō)：“凡十二等面與二十等面可以互相容，皆以內(nèi)體之尖切外體之各面中心一點(diǎn)……凡立方內(nèi)容十二等面，皆以十二等面之邊正切于立方各面之正中凡六，皆遙對(duì)如十字。假如上下兩面所切十二等面之邊橫，對(duì)前后兩面所切之邊必縱，而左右兩面所切之邊又橫。若引其邊為周線，則六處皆成十字。立方內(nèi)容二十等面邊亦同?！?/p>

在第四卷中，梅文鼎又說(shuō)：“凡立方體各自其邊之中，半斜剖之，得三角錐八，此八者合之即同八等面體。依前算，八等面體其邊如方其中高如方之斜，若以斜徑為立方，則中含八等面體，而其體積之比例為六與一。何以言之？如巳心辛為八等面體之中高，庚心戊為八等面之腰廣，巳庚、巳戊、戊辛、辛庚則八等面體之邊也。若以庚辛戊腰廣自乘，為甲乙丙丁平面，又以巳辛心中高乘之，為甲乙丙丁立方，則八等面之角俱正切于立方各面之正中，而為立方內(nèi)容八等面體矣，夫巳心、辛庚、心戊皆八等面方之斜也，故曰以其斜徑為立方，則中含八等面體也。”

而上述說(shuō)法與克拉維烏斯神父編寫(xiě)的《歐幾理德幾何原本十五卷》中第十五卷給出的正多面體的性質(zhì)很多相似。在克拉維烏斯神父的書(shū)中給出了21個(gè)命題，全部是作圖題。比如第一個(gè)命題是：在六面體中求作正四面體（IndatoCuboPyramidemdescribere），第三個(gè)命題是：在正六面體中求正八面體（IndatoCuboOctaedrumdescribere）。第五個(gè)命題是：在正二十面體中求作正十二面體（IndatoIcosardroDodecaedrumdescribere）；第七個(gè)命題是：在正十二面體中求作正二十面體（IndatoDodeaedroIcosardrumdescribere）。[21]

在討論這些圖形如何作的時(shí)候，作者推出了和上述相同的性質(zhì)。甚至有些話都是一樣的。比如，在312頁(yè)命題：IndatoCuboDodecaedrumdescribere.的闡述中有：Silatuscubiseceturextremaacmediarationeminussegmentumlatusestdodecaedriincubodescripti。（以正六面體邊長(zhǎng)黃金分割之后的小段為邊長(zhǎng)可在這個(gè)正六面體內(nèi)作正十二面體。）在315頁(yè)命題：IndatoCuboIcosaedrumdescribere.的闡述中有：Silatuscubiextremaacmediarationeseceturmaiussegmentumlatusesticosaedriincubodescripti。（以正六面體邊長(zhǎng)黃金分割之后的小段為邊長(zhǎng)可在這個(gè)正六面體內(nèi)作正二十面體。）[22]

梅文鼎的這些知識(shí)從哪里來(lái)的？是不是當(dāng)時(shí)有人翻譯了《歐幾理德幾何原本十五卷》后面的內(nèi)容？這個(gè)問(wèn)題我們認(rèn)為并非完全不可以猜測(cè)。畢竟當(dāng)時(shí)在華的傳教士很多，還有梅文鼎探訪知識(shí)的能力也很強(qiáng)。[23]

綜上所述，在徐光啟翻譯《幾何原本》前六卷之后和在李善蘭翻譯《幾何原本》后九卷之前，的確已有不少《幾何原本》后九卷的內(nèi)容早已被翻譯了過(guò)來(lái)。有的還被翻譯過(guò)來(lái)馬上應(yīng)用到了數(shù)學(xué)研究和實(shí)踐中。所以，縱觀明清之際《幾何原本》之東來(lái)，其應(yīng)該是一個(gè)循序漸進(jìn)的和連續(xù)的過(guò)程，不是間斷的。

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[20]梅文鼎.幾何補(bǔ)編[M].四庫(kù)全書(shū)[C].上海：上海古籍出版社，1983。

[21]C.Clavius.EuclidisElementorumlibriXV[C].Romae:ApudVincentiumAccoltum1574.（Vol.2）225，305－324。

[22]Jean-ClaudeMartzloff.RecherchessurL''''euvremathematiquedemeiwending(1633-1721)[M].Paris:CollègedeFrance,Institutdeshautesétudeschinoises,1981.265－267。

[23]梅文鼎年輕時(shí)曾師從隱士學(xué)習(xí)我國(guó)傳統(tǒng)歷法，及長(zhǎng)，1675年曾在南京一姚姓人家購(gòu)的巨著《崇禎歷書(shū)》，1679年，也曾在民間訪得西式星盤(pán)制造方法。