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摘要在浮點(diǎn)編碼遺傳算法中加入Powell方法，構(gòu)成適于不可微函數(shù)全局優(yōu)化的混合遺傳算法?；旌纤惴ǜ纳屏诉z傳算法的局部搜索能力，顯著提高了遺傳算法求得全局解的概率。由于只利用函數(shù)值信息，混合算法是一種求解可微和不可微函數(shù)全局優(yōu)化問題的通用方法。

關(guān)鍵詞全局最優(yōu)；混合算法；遺傳算法；Powell方法

1引言

不可微非線性函數(shù)優(yōu)化問題具有廣泛的工程和應(yīng)用背景，如結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中使得結(jié)構(gòu)內(nèi)最大應(yīng)力最小而歸結(jié)為極大極小優(yōu)化（minmax）問題、數(shù)據(jù)魯棒性擬合中采取最小絕對值準(zhǔn)則建立失擬函數(shù)等。其求解方法的研究越來越受到人們的重視，常用的算法有模式搜索法、單純形法、Powell方法等，但是這些方法都是局部優(yōu)化方法，優(yōu)化結(jié)果與初值有關(guān)。

近年來，由Holland研究自然現(xiàn)象與人工系統(tǒng)的自適應(yīng)行為時(shí)，借鑒“優(yōu)勝劣汰”的生物進(jìn)化與遺傳思想而首先提出的遺傳算法，是一種較為有效的求不可微非線性函數(shù)全局最優(yōu)解的方法。以遺傳算法為代表的進(jìn)化算法發(fā)展很快，在各種問題的求解與應(yīng)用中展現(xiàn)了其特點(diǎn)和魅力，但是其理論基礎(chǔ)還不完善，在理論和應(yīng)用上暴露出諸多不足和缺陷，如存在收斂速度慢且存在早熟收斂問題[1,2]。為克服這一問題，早在1989年Goldberg就提出混合方法的框架[2]，把GA與傳統(tǒng)的、基于知識的啟發(fā)式搜索技術(shù)相結(jié)合，來改善基本遺傳算法的局部搜索能力，使遺傳算法離開早熟收斂狀態(tài)而繼續(xù)接近全局最優(yōu)解。近來，文獻(xiàn)[3]和[4]在總結(jié)分析已有發(fā)展成果的基礎(chǔ)上，均指出充分利用遺傳算法的大范圍搜索性能，與快速收斂的局部優(yōu)化方法結(jié)合構(gòu)成新的全局優(yōu)化方法，是目前有待集中研究的問題之一，這種混合策略可以從根本上提高遺傳算法計(jì)算性能。文獻(xiàn)[5]采用牛頓－萊佛森法和遺傳算法進(jìn)行雜交求解旅行商問題，文獻(xiàn)[6]把最速下降法與遺傳算法相結(jié)合來求解連續(xù)可微函數(shù)優(yōu)化問題，均取得良好的計(jì)算效果，但是不適于不可微函數(shù)優(yōu)化問題。

本文提出把Powell方法融入浮點(diǎn)編碼遺傳算法，把Powell方法作為與選擇、交叉、變異平行的一個(gè)算子，構(gòu)成適于求解不可微函數(shù)優(yōu)化問題的混合遺傳算法，該方法可以較好解決遺傳算法的早熟收斂問題。數(shù)值算例對混合方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

2混合遺傳算法

編碼是遺傳算法應(yīng)用中的首要問題，與二進(jìn)制編碼比較，由于浮點(diǎn)編碼遺傳算法有精度高，便于大空間搜索的優(yōu)點(diǎn)，浮點(diǎn)編碼越來越受到重視[7]?？紤]非線性不可微函數(shù)優(yōu)化問題(1)，式中為變量個(gè)數(shù)，、分別是第個(gè)變量的下界和上界。把Powell方法嵌入到浮點(diǎn)編碼遺傳算法中，得到求解問題(1)如下混合遺傳算法：

min(1)

step1給遺傳算法參數(shù)賦值。這些參數(shù)包括種群規(guī)模m，變量個(gè)數(shù)n，交叉概率pc、變異概率pm，進(jìn)行Powell搜索的概率pPowell和遺傳計(jì)算所允許的最大代數(shù)T。

Step2隨機(jī)產(chǎn)生初始群體，并計(jì)算其適應(yīng)值。首先第i個(gè)個(gè)體適應(yīng)值取為fi’=fmax-fi，fi是第i個(gè)個(gè)體對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，fmax為當(dāng)前種群成員的最大目標(biāo)函數(shù)值，i=1,2,…,m。然后按Goldberg線性比例變換模型[2]式(2)進(jìn)行拉伸。

fi’=a×fi’+b（fi³0）(2)

step3執(zhí)行比例選擇算子進(jìn)行選擇操作。

step4按概率執(zhí)行算術(shù)交叉算子進(jìn)行交叉操作。即對于選擇的兩個(gè)母體和，算術(shù)交叉產(chǎn)生的兩個(gè)子代為和，是[0，1]上的隨機(jī)數(shù)，1,。

step5按照概率執(zhí)行非均勻變異算子[8]。若個(gè)體的元素被選擇變異，，則變異結(jié)果為，其中，

(3)

(4)

返回區(qū)間[,]里的一個(gè)值，使靠近0的概率隨代數(shù)的增加而增加。這一性質(zhì)使算子在初始階段均勻地搜索空間，而在后面階段非常局部化。是[,]之間的隨機(jī)數(shù)，為最大代數(shù)，為決定非均勻度的系統(tǒng)參數(shù)。

step6對每個(gè)個(gè)體按照概率pPowell進(jìn)行Powell搜索。若個(gè)體被選擇進(jìn)行Powell搜索操作，則以作為初始點(diǎn)執(zhí)行Powell方法得，若則把所得計(jì)算結(jié)果作為子代，否則，若取=；若取=，1。

step7計(jì)算個(gè)體適應(yīng)值，并執(zhí)行最優(yōu)個(gè)體保存策略。

step8判斷是否終止計(jì)算條件，不滿足則轉(zhuǎn)向step3，滿足則輸出計(jì)算結(jié)果。

作為求解無約束最優(yōu)化問題的一種直接方法，Powell法的整個(gè)計(jì)算過程由若干輪迭代組成，在每一輪迭代中，先依次沿著已知的n個(gè)方向搜索，得一個(gè)最好點(diǎn)，然后沿本輪迭代的初始點(diǎn)與該最好點(diǎn)連線方向進(jìn)行搜索，求得這一階段的最好點(diǎn)。再用最后的搜索方向取代前n個(gè)方向之一，開始下一階段的迭代。為了保持算法中n個(gè)搜索方向是線性無關(guān)的，保證算法的收斂性，對替換方向的規(guī)則進(jìn)行改進(jìn)，在混合法的計(jì)算步驟step6中采用文[9]中的改進(jìn)Powell方法，其求解過程如下：

(1)變量賦初值，n個(gè)線性無關(guān)的n個(gè)方向,,…,，和允許誤差ε>0，令k=1。

(2)令，從出發(fā)，依次沿方向,,…,作一維搜索，得到點(diǎn),,…,求指標(biāo)m，使得-=max{-}，令。若ε，則Powell方法計(jì)算結(jié)束，否則，執(zhí)行(3)。

(3)求使得=min，令==，若，則Powell方法計(jì)算結(jié)束，得點(diǎn)；否則，執(zhí)行(4)。

(4)若，令，否則令()，然后置，轉(zhuǎn)(2)。

3算例

T[-500,500]

函數(shù)f(x)有相當(dāng)多的極小點(diǎn),全局極小點(diǎn)是=-420.97，=1,2,…,，最優(yōu)值為-837.97；次最優(yōu)點(diǎn)為={(,,…,)：=-420.97,,=302.52}，=1,2,…,，次優(yōu)值-719.53。變量個(gè)數(shù)n=2時(shí)函數(shù)f(x)特性如圖1示。程序編制和運(yùn)行環(huán)境采用FortranPowerStation4.0，隨機(jī)數(shù)由內(nèi)部隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生，在奔騰133微機(jī)上運(yùn)行。

采用改進(jìn)的Powell方法計(jì)算100次，初值在區(qū)間[-500,500]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，只有6次（即以概率0.06）搜索到全局最優(yōu)，計(jì)算成功的概率極低。

Holland建立的標(biāo)準(zhǔn)（或簡單）遺傳算法，其特點(diǎn)是二進(jìn)制編碼、賭輪選擇方法、隨機(jī)配對、一點(diǎn)交叉、群體內(nèi)允許有相同的個(gè)體存在。取種群規(guī)模m=30，交叉概率pc=0.95、變異概率pm=0.05，最大進(jìn)化代數(shù)T=1000，每個(gè)變量用串長為L=16的二進(jìn)制子串表示。二進(jìn)制編碼比浮點(diǎn)編碼遺傳算法計(jì)算精度低，對于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法以目標(biāo)函數(shù)小于-800為搜索成功，標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法運(yùn)行100次。當(dāng)取最大進(jìn)化代數(shù)為T=200時(shí)，40次（以概率0.40）搜索到全局最優(yōu)，平均計(jì)算時(shí)間為0.51秒；當(dāng)取T=500時(shí)，51次（以概率0.51）搜索到全局最優(yōu)，平均計(jì)算時(shí)間為1.13秒。

采用本文混合法計(jì)算，取m=30，pc=0.85、pm=0.2，T=100，進(jìn)行Powell搜索的概率pPowell取不同值，混合法運(yùn)行100次，計(jì)算結(jié)果見如表1。對于這個(gè)具有多極值的算例，多次計(jì)算表明pPowell=0.3時(shí)，混合法能以完全概率搜索到全局最優(yōu)的準(zhǔn)確值，但是此時(shí)混合法計(jì)算時(shí)間約為標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法取T=500時(shí)計(jì)算時(shí)間的4/5。對應(yīng)的浮點(diǎn)編碼遺傳算法，取m=30，pc=0.85、pm=0.2，T=100，運(yùn)行100次，82次（以概率0.82）搜索到全局最優(yōu)（如表1中PPowell=0所示），計(jì)算時(shí)間約為標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法取T=500時(shí)計(jì)算時(shí)間的1/8，但是搜索到全局最優(yōu)的概率卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法。

表1pPowell取不同值時(shí)混合法的計(jì)算結(jié)果

PPowell

0.0

0.02

0.05

0.1

0.2

0.3

求得最優(yōu)解的次數(shù)

82

85

89

94

98

100

求得最優(yōu)解的概率

0.82

0.85

0.89

0.94

0.98

1.00

平均計(jì)算時(shí)間/秒

0.14

0.20

0.31

0.47

0.68

0.87

4結(jié)束語

針對不可微函數(shù)的全局優(yōu)化問題，本文提出一種把Powell方法與浮點(diǎn)編碼遺傳算法相結(jié)合的混合遺傳算法，該算法兼顧了遺傳算法全局優(yōu)化方面的優(yōu)勢和Powell方法局部搜索能力較強(qiáng)的特點(diǎn)，提高求得全局解的概率。計(jì)算結(jié)果表明混合法優(yōu)于遺傳算法和Powell法，可以可靠地搜索到具有多個(gè)局部極值的函數(shù)優(yōu)化問題的全局解。由于計(jì)算中只用到函數(shù)值信息，本文混合法不僅適用于不可微函數(shù)優(yōu)化問題，也適合可微函數(shù)全局優(yōu)化問題。

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