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一、數(shù)學(xué)建模的過程與例析

嚴(yán)格來說，數(shù)學(xué)建模需要經(jīng)歷一個嚴(yán)密的過程．這個過程往往分為多個步驟，下面結(jié)合具體實例來說明．實例：某物體做簡諧振動，點O為其平衡位置，取向右為正方向．已知振幅為5厘米，周期為4秒，從右邊距離平衡位置最大距離處開始計時．

（1）求物體相對于平衡位置的位移與時間的函數(shù)關(guān)系；

（2）求經(jīng)過12秒后物體所在的位置及運(yùn)動方向．（三角函數(shù)知識的應(yīng)用問題）第一步：模型準(zhǔn)備．這一步的關(guān)鍵在于了解數(shù)學(xué)問題（應(yīng)用）的背景，尋找其實際意義及其中的有用信息．該實例中的問題背景是一個簡諧振動，這是學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中熟悉的內(nèi)容（本問題屬于跨學(xué)科的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題）．其中有用的信息可以根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗去猜想與判斷，像平衡位置、正方向、振幅、周期等、計時位置等，一般都會成為有用信息．第二步：模型假設(shè)與建立．根據(jù)模型準(zhǔn)備經(jīng)過假設(shè)的過程并建立模型，這一步需要用到一些重要的數(shù)學(xué)工具（公式定理等），最終目標(biāo)是建立一個合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)模型．根據(jù)實例中的信息可以發(fā)現(xiàn)，簡諧振動可以讓學(xué)生生成一個基本的函數(shù)關(guān)系即簡諧振動方程而這些信息的提取需要學(xué)生在物理數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中形成良好的記憶，同時又需要將該方程與原來的實例信息進(jìn)行對應(yīng)，如振動頻率與實例中的周期對應(yīng)，初相位與計時位置對應(yīng)等．這一步是數(shù)學(xué)建模的核心步驟，在本實例中應(yīng)當(dāng)說模型的建立一般不會出現(xiàn)太大的問題，因此在后面的模型檢驗中就不需要花費太多的精力，如果遇到更為復(fù)雜的應(yīng)用問題，不像本實例這樣一目了然，比如說本實例中可以將一些具體的數(shù)據(jù)省略，或者讓簡諧振動變得更隱蔽一些，那在模型假設(shè)與建立時就需要更多的精力與智慧．第三步：模型求解與分析．這一步的關(guān)鍵是將實例中的信息（參數(shù)）代入模型當(dāng)中去．關(guān)于這一點，上述步驟中已經(jīng)有所描述，此處不再贅述．第四步：模型檢驗．即將模型的分析結(jié)果與實際情形進(jìn)行比較，以此判斷模型建立的合理性．檢驗的重要途徑是看根據(jù)目前建立的模型所得到的結(jié)果是否具有實例角度的實際意義，如果吻合度好，則說明模型建立成功，否則失敗，一旦模型建立失敗，就進(jìn)入循環(huán)的階段．如本實例中，由于學(xué)生有一定的物理與數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，因此在模型假設(shè)與建立階段就有較大的信心，畢竟實例說明了是“簡諧振動”，因此基本可以判斷模型是正確的．事實上如果題目不說明是簡諧振動，而說是一個振動且不計能量損耗，那學(xué)生的判斷就需要多走幾個步驟了．第五步：模型應(yīng)用．這是一個與具體實例相關(guān)的步驟，一般沒有固定的描述．在本實例中，模型應(yīng)用主要體現(xiàn)在對第二問的回答上，事實上第二問可以無限延伸，任何一個時刻時物體的位置都可以由建立的數(shù)學(xué)模型計算出來．以上是數(shù)學(xué)模型及其建立的一般過程．需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)建模不只是一個利用數(shù)學(xué)知識生成數(shù)學(xué)模型的過程，嚴(yán)格來說它還是一種數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生將學(xué)得的數(shù)學(xué)知識學(xué)以致用的一個重要的工具．盡管實際數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程中并不刻意追求以上步驟的完整性，但基于這樣的思路去培養(yǎng)學(xué)生的建模能力卻是必要的．另外，需要注意的是，數(shù)學(xué)模型的建立往往不是一個純粹的數(shù)學(xué)問題，其與實際生活的關(guān)系，與其他學(xué)科的關(guān)系，都是需要數(shù)學(xué)教師高度關(guān)注的，而關(guān)注的具體方式就是充分地了解學(xué)生的原有認(rèn)知基礎(chǔ)．也就是說，數(shù)學(xué)建模實際上是一個綜合性的過程，不是僅憑數(shù)學(xué)知識的建立就能完成的，生活應(yīng)用性、跨學(xué)科性是其本質(zhì)特征．

二、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與反思

在多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)有著重要的作用．如上所說，數(shù)學(xué)建模具有綜合性，因此其能夠促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用能力．但實際教學(xué)中的挑戰(zhàn)也是非常明顯的，當(dāng)下學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一個明顯的不足，那就是學(xué)生對知識之間的聯(lián)系認(rèn)識不足，往往滿足于利用剛剛所學(xué)的知識解決眼前的問題，這對于數(shù)學(xué)建模來說提出了很大的挑戰(zhàn)．如何從學(xué)生的記憶系統(tǒng)中提取出有效的信息以完成數(shù)學(xué)模型的建立，是一個很大的問題；此外，強(qiáng)大的應(yīng)試壓力讓學(xué)生更多地滿足于一般的數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，對數(shù)學(xué)建模的積極性有時不太高（當(dāng)然，其中數(shù)學(xué)建模的復(fù)雜性也影響了學(xué)生的興趣）．反思這些現(xiàn)象，筆者以為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模工作更加具有重要性與必要性．無論是從應(yīng)試的角度來看，還是從學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的角度來看，數(shù)學(xué)建模本身就是數(shù)學(xué)綜合能力的體現(xiàn)，也是衡量數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的重要指標(biāo)．我們認(rèn)為，只有當(dāng)自己所教的學(xué)生能夠用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識有效地解決實際問題時，數(shù)學(xué)教學(xué)才是成功的．因此，無論是數(shù)學(xué)新知建立的過程，還是數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程，都需要在原有知識基礎(chǔ)上讓學(xué)生生成建模的意識，并在數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的過程中生成能力．值得一提的是，在數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解決過程中，通過一些專題訓(xùn)練來提高學(xué)生的建模能力是值得嘗試的策略．筆者的教學(xué)經(jīng)驗表明，學(xué)生在專題訓(xùn)練的過程中，建模的意識會比較強(qiáng)，建模的目標(biāo)也比較明確，在緊張的復(fù)習(xí)時間中抽出時間進(jìn)行專題訓(xùn)練，可能是一件事半功倍的事情．

作者：楊利娜 單位：安徽阜陽市城郊中學(xué)