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集合的含義與表示范文第1篇

本章將集合作為一種語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受用集合表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)的簡(jiǎn)潔

性、準(zhǔn)確性，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用集合語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力.

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，本章把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來(lái)學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過(guò)程與方法，從而發(fā)展學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí).

1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，掌握某些數(shù)集的專用符號(hào).

2.理解集合的表示法，能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用.

3、理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集，培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、歸納的邏輯思維能力.

4、能在具體情境中，了解全集與空集的含義.

5、理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集,培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維能力.

6.理解在給定集合中，一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.

7.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用.

8.學(xué)會(huì)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)，理解函數(shù)符號(hào)y=f(x)的含義;了解函數(shù)構(gòu)成的三要素，了解映射的概念;體會(huì)函數(shù)是一種刻畫變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，并熟練使用區(qū)間表示法.

9.了解函數(shù)的一些基本表示法(列表法、圖象法、分析法)，并能在實(shí)際情境中，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行選擇;會(huì)用描點(diǎn)法畫一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象.

10.通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

11.結(jié)合熟悉的具體函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義，了解奇偶性和周期性的含義，通過(guò)具體函數(shù)的圖象，初步了解中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形.

12.學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.

13.通過(guò)實(shí)習(xí)作業(yè)，使學(xué)生初步了解對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有過(guò)重大影響的重大歷史事件和重要人物,了解生活中的函數(shù)實(shí)例.

二.編寫意圖與教學(xué)建議

1.教材不涉及集合論理論，只將集合作為一種語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能夠使用最基本的集合語(yǔ)言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，從而體會(huì)集合語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性和準(zhǔn)確性，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力.教材力求緊密結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)列舉豐富的實(shí)例，使學(xué)生了解集合的含義，理解并掌握集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算.

教材突出了函數(shù)概念的背景教學(xué)，強(qiáng)調(diào)從實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)概念有充分的感性基礎(chǔ)，再用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言抽象出函數(shù)概念，這樣比較符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括的能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)概念的背景教學(xué).

2.教材盡量創(chuàng)設(shè)使學(xué)生運(yùn)用集合語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)和交流的情境和機(jī)會(huì)，并注意運(yùn)用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，幫助學(xué)生借助直觀圖示認(rèn)識(shí)抽象概念.教學(xué)中，要充分體現(xiàn)這種直觀的數(shù)學(xué)思想，發(fā)揮圖形在子集以及集合運(yùn)算教學(xué)中的直觀作用。

3.教材在例題、習(xí)題教學(xué)中注重運(yùn)用集合的觀點(diǎn)研究、處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，這一觀點(diǎn)，一直貫穿到以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.

4.在例題和習(xí)題的編排中，滲透了集合中的分類思想，讓學(xué)生體會(huì)到分類思想在生活中和數(shù)學(xué)中的廣泛運(yùn)用，這是學(xué)生在初中階段所缺少的.在教學(xué)中，一定要循序漸進(jìn)，從繁到難，逐步滲透這方面的訓(xùn)練.

5.教材對(duì)函數(shù)的三要素著重從函數(shù)的實(shí)質(zhì)上要求理解，而對(duì)定義域、值域的繁難計(jì)算，特別是人為的過(guò)于技巧化的訓(xùn)練不做提倡，教師要準(zhǔn)確把握這方面的要求，防止撥高教學(xué).

6.函數(shù)的表示是本章的主要內(nèi)容之一，教材重視采用不同的表示法(列表法、圖象法、分析法)，目的是豐富學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，幫助理解抽象的函數(shù)概念.在教學(xué)中，既要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，又要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度研究圖象，使學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)方法.

7.教材將映射作為函數(shù)的一種推廣，進(jìn)行了邏輯順序上的調(diào)整，體現(xiàn)了特殊到一般的思維規(guī)律，有利于學(xué)生對(duì)函數(shù)概念學(xué)習(xí)的連續(xù)性.

8.教材加強(qiáng)了函數(shù)與信息技術(shù)整合的要求，通過(guò)電腦繪制簡(jiǎn)單函數(shù)動(dòng)態(tài)圖象,使學(xué)生初步感受到信息技術(shù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要作用.

9.為了體現(xiàn)教材的選擇性,在練習(xí)題安排上加大了彈性,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際,合理地取舍.

三.教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議

本章教學(xué)時(shí)間約13課時(shí)。

1.1集合4課時(shí)

1.2函數(shù)及其表示4課時(shí)

1.3函數(shù)的性質(zhì)3課時(shí)

實(shí)習(xí)作業(yè)1課時(shí)

復(fù)習(xí)1課時(shí)

§1.1.1集合的含義與表示

一.教學(xué)目標(biāo)：

l.知識(shí)與技能

(1)通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系;

(2)知道常用數(shù)集及其專用記號(hào);

(3)了解集合中元素的確定性.互異性.無(wú)序性;

(4)會(huì)用集合語(yǔ)言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象;

(5)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.

2.過(guò)程與方法

(1)讓學(xué)生經(jīng)歷從集合實(shí)例中抽象概括出集合共同特征的過(guò)程，感知集合的含義.

(2)讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識(shí).

3.情感.態(tài)度與價(jià)值觀

使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)集合的必要性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.

二.教學(xué)重點(diǎn).難點(diǎn)

重點(diǎn)：集合的含義與表示方法.

難點(diǎn)：表示法的恰當(dāng)選擇.

三.學(xué)法與教學(xué)用具

1.學(xué)法：學(xué)生通過(guò)閱讀教材，自主學(xué)習(xí).思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

2.教學(xué)用具：投影儀.

四.教學(xué)思路

(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.教師首先提出問(wèn)題：在初中，我們已經(jīng)接觸過(guò)一些集合，你能舉出一些集合的例子嗎?

引導(dǎo)學(xué)生回憶.舉例和互相交流.與此同時(shí)，教師對(duì)學(xué)生的活動(dòng)給予評(píng)價(jià).

2.接著教師指出：那么，集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

(二)研探新知

1.教師利用多媒體設(shè)備向?qū)W生投影出下面9個(gè)實(shí)例：

(1)1—20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù);

(2)我國(guó)古代的四大發(fā)明;

(3)所有的安理會(huì)常任理事國(guó);

(4)所有的正方形;

(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交橋;

(6)到一個(gè)角的兩邊距離相等的所有的點(diǎn);

(7)方程的所有實(shí)數(shù)根;

(8)不等式的所有解;

(9)洞口一中2007年9月入學(xué)的高一學(xué)生的全體.

2.教師組織學(xué)生分組討論：這9個(gè)實(shí)例的共同特征是什么?

3.每個(gè)小組選出——位同學(xué)發(fā)表本組的討論結(jié)果，在此基礎(chǔ)上，師生共同概括出9個(gè)實(shí)例的特征，并給出集合的含義.

一般地，指定的某些對(duì)象的全體稱為集合(簡(jiǎn)稱為集).集合中的每個(gè)對(duì)象叫作這個(gè)集合的元素.

4.教師指出：集合常用大寫字母A，B，C，D，…表示，元素常用小寫字母…表示.

(三)質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

1.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，思考：集合中元素有什么特點(diǎn)?并注意個(gè)別輔導(dǎo)，解答學(xué)生疑難.使學(xué)生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無(wú)序性.只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合相等.

2.教師組織引導(dǎo)學(xué)生思考以下問(wèn)題：

判斷以下元素的全體是否組成集合，并說(shuō)明理由：

(1)大于3小于11的偶數(shù);

(2)我國(guó)的小河流.

讓學(xué)生充分發(fā)表自己的建解.

3.讓學(xué)生自己舉出一些能夠構(gòu)成集合的例子以及不能構(gòu)成集合的例子，并說(shuō)明理由.教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)給予及時(shí)的評(píng)價(jià).

4.教師提出問(wèn)題，讓學(xué)生思考

(1)如果用A表示高—(3)班全體學(xué)生組成的集合，用表示高一(3)班的一位同學(xué)，是高一(4)班的一位同學(xué)，那么與集合A分別有什么關(guān)系?由此引導(dǎo)學(xué)生得出元素與集合的關(guān)系有兩種：屬于和不屬于.

如果是集合A的元素，就說(shuō)屬于集合A，記作.

如果不是集合A的元素，就說(shuō)不屬于集合A，記作.

(2)如果用A表示“所有的安理會(huì)常任理事國(guó)”組成的集合，則中國(guó).日本與集合A的關(guān)系分別是什么?請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)分別表示.

(3)讓學(xué)生完成教材第6頁(yè)練習(xí)第1題.

5.教師引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)集擴(kuò)充過(guò)程，然后閱讀教材中的相交內(nèi)容，寫出常用數(shù)集的記號(hào).并讓學(xué)生完成習(xí)題1.1A組第1題.

6.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，并思考.討論下列問(wèn)題：

(1)要表示一個(gè)集合共有幾種方式?

(2)試比較自然語(yǔ)言.列舉法和描述法在表示集合時(shí)，各自有什么特點(diǎn)?適用的對(duì)象是什么?

(3)如何根據(jù)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)募媳硎痉?

使學(xué)生弄清楚三種表示方式的優(yōu)缺點(diǎn)和體會(huì)它們存在的必要性和適用對(duì)象。

(四)鞏固深化，反饋矯正

教師投影學(xué)習(xí)：

(1)用自然語(yǔ)言描述集合{1，3，5，7，9};

(2)用例舉法表示集合

(3)試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希航滩牡?頁(yè)練習(xí)第2題.

(五)歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

在師生互動(dòng)中，讓學(xué)生了解或體會(huì)下例問(wèn)題：

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過(guò)哪些知識(shí)內(nèi)容?

2.你認(rèn)為學(xué)習(xí)集合有什么意義?

3.選擇集合的表示法時(shí)應(yīng)注意些什么?

(六)承上啟下，留下懸念

1.課后書面作業(yè)：第13頁(yè)習(xí)題

集合的含義與表示范文第2篇

1．通過(guò)本章的引言，使學(xué)生初步了解本章所研究的問(wèn)題是集合與簡(jiǎn)易邏輯的有關(guān)知識(shí)，并認(rèn)識(shí)到用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題離不開集合與邏輯的知識(shí)。

2．在小學(xué)與初中的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)例，初步理解集合的概念，并知道常用數(shù)集及其記法。

3.從集合及其元素的概念出發(fā)，初步了解屬于關(guān)系的意義。

二、內(nèi)容分析

1．集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進(jìn)一步應(yīng)用集合的語(yǔ)言表述一些問(wèn)題。例如，在代數(shù)中用到的有數(shù)集、解集等；在幾何中用到的有點(diǎn)集。至于邏輯，可以說(shuō)，從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就離不開對(duì)邏輯知識(shí)的掌握和運(yùn)用，基本的邏輯知識(shí)在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中，也是認(rèn)識(shí)問(wèn)題、研究問(wèn)題不可缺少的工具。這些可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)本章的意義，也是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

把集合的初步知識(shí)與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)安排在高中數(shù)學(xué)的最開始，是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)中，這些知識(shí)與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基礎(chǔ)。例如，下一章講函數(shù)的概念與性質(zhì)，就離不開集合與邏輯。

2.1.1節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實(shí)例對(duì)集合的概念作了說(shuō)明。然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子。

3．這節(jié)課主要學(xué)習(xí)全章的引言和集合的基本概念。學(xué)習(xí)引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)本章的意義。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是集合的基本概念。

4．在初中幾何中，點(diǎn)、直線、平面等概念都是原始的、不定義的概念，類似地，集合則是集合論中的原始的、不定義的概念。在開始接觸集合的概念時(shí)，主要還是通過(guò)實(shí)例，對(duì)概念有一個(gè)初步認(rèn)識(shí)。教科書給出的“一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱集?！边@句話，只是對(duì)集合概念的描述性說(shuō)明。

三、教學(xué)過(guò)程

提出問(wèn)題：

教科書引言所給的問(wèn)題。

組織討論：

為什么“回答有20名同學(xué)參賽”不一定對(duì)，怎么解決這個(gè)問(wèn)題。

歸納總結(jié)：

1．可能有的同學(xué)兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參加了，因此，不能簡(jiǎn)單地用加法解決這個(gè)問(wèn)題.

2．怎么解決這個(gè)問(wèn)題呢？以前我們解一個(gè)問(wèn)題，通常是先用代數(shù)式表示問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，再進(jìn)一步求解，也就是先用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述它，把它數(shù)學(xué)化。這個(gè)問(wèn)題與我們過(guò)去學(xué)過(guò)的問(wèn)題不同，是屬于與集合有關(guān)的問(wèn)題，因此需要先用集合的語(yǔ)言描述它，完全解決問(wèn)題，還需要更多的集合與邏輯的知識(shí)，這就是本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容了。

新課講解：

1．集合的概念：（具體舉例后，進(jìn)行描述性定義）

(1)某種指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，簡(jiǎn)稱集。

(2)元素：集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。

(3)集合中的元素與集合的關(guān)系：

a是集合A的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A；

a不是集合A的元素，稱a不屬于集合A，記作。

例如，設(shè)B＝{1，2，3，4，5}，那么5∈B，

注：集合、元素概念是數(shù)學(xué)中的原始概念，可以結(jié)合實(shí)例理解它們所描述的整體與個(gè)體的關(guān)系，同時(shí)，應(yīng)著重從以下三個(gè)元素的屬性，來(lái)把握集合及其元素的確切含義。

①確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了。

例如，像“我國(guó)的小河流”、“年輕人”、“接近零的數(shù)”等都不能組成一個(gè)集合。

②互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒(méi)有重復(fù)的。

此外，集合還有無(wú)序性，即集合中的元素?zé)o順序。

例如，集合{1，2}，與集合{2，1｝表示同一集合。

2．常用的數(shù)集及其記法：

全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N，非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成或；

全體整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱整數(shù)集，記作Z；

全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱有理數(shù)集，記作Q；

全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱實(shí)數(shù)集，記作R。

注：①自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，就是說(shuō)，自然數(shù)集包括數(shù)0，這與小學(xué)和初中學(xué)習(xí)的可能有所不同；

②非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也就是正整數(shù)集，表示成或。其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成或。負(fù)整數(shù)集、正有理數(shù)集、正實(shí)數(shù)集等，沒(méi)有專門的記法。

課堂練習(xí)：

教科書1．1節(jié)第一個(gè)練習(xí)第1題。

歸納總結(jié)：

1．集合及其元素是數(shù)學(xué)中的原始概念，只能作描述性定義。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)結(jié)合實(shí)例弄清其含義。

2．集合中元素的特性中，確定性可以用于判定某些對(duì)象是否是給定集合的元素，互異性可用于簡(jiǎn)化集合的表示，無(wú)序性可以用于判定集合間的關(guān)系（如后面要學(xué)習(xí)的包含或相等關(guān)系等）。

集合的含義與表示范文第3篇

一、隱性分層作業(yè)的布置

教師在課堂教學(xué)后，基本上會(huì)針對(duì)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，設(shè)置相應(yīng)的作業(yè)。在作業(yè)的布置中，為了能夠體現(xiàn)隱性分層的教學(xué)模式，教師有必要設(shè)置兩種試題，一種是必須完成的試題，必做題；另一種是可以選擇做或者不做的試題，選做題。

必做題在一般情況下，是將所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)加深印象，鞏固思維，是基本的訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想的方式，其定義為必做題，就是要讓全體學(xué)生都能夠?qū)⒒A(chǔ)知識(shí)透徹掌握。然而選做題是稍有難度的試題，一些學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，數(shù)學(xué)思維較廣泛的學(xué)生是最適合嘗試的，可以在一定程度上將數(shù)學(xué)的思維能力提升，并且能夠?qū)W(xué)生的主觀能動(dòng)性充分地調(diào)動(dòng)起來(lái)。

二、設(shè)計(jì)隱性分層的探究活動(dòng)

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)探究的過(guò)程，教師在設(shè)計(jì)探究活動(dòng)的階段要考慮到學(xué)生的差異性。要根據(jù)不同層次的學(xué)生，設(shè)計(jì)不同層次的知識(shí)點(diǎn)，然后再進(jìn)行探究。例如：“集合的表示與含義”的教學(xué)，要由淺入深、分層教學(xué)，先將集合的含義透徹掌握，再把集合與元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系了解清楚，才能夠記清專用記號(hào)與常用的數(shù)集。

在此基礎(chǔ)上，再去學(xué)習(xí)集合元素的無(wú)序性、互異性和確定性才能順暢，這樣層層遞進(jìn)的方式可以讓集合的表示與含義被學(xué)生深入了解。此外，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，教師要嚴(yán)格關(guān)注，要讓隱性分層的教學(xué)模式體現(xiàn)。例如：探究活動(dòng)中，是將學(xué)生作為主體的，學(xué)生能否將知識(shí)掌握是非常重要的。

集合的含義與表示范文第4篇

理解并掌握數(shù)學(xué)概念的核心是把握概念實(shí)質(zhì)，而不僅僅掌握概念形式的、描述的定義。就如學(xué)生會(huì)說(shuō)“物體所占空間的大小叫物體的體積”不等于學(xué)生理解“體積”這個(gè)概念，教師把握數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)非常重要。小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的概念類型、層次各不相同，籠統(tǒng)地論述“數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)”既論述不清也沒(méi)有意義，一個(gè)重要方法是按照概念的類型分別論述某些數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)。自然數(shù)是小學(xué)階段的一個(gè)重要內(nèi)容，在小學(xué)階段沒(méi)有哪本教材給出“什么是自然數(shù)”的定義（一般地，大多數(shù)教材在四年級(jí)會(huì)給出這樣的描述來(lái)揭示其內(nèi)涵：表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、4、5、6等都是自然數(shù)。一個(gè)物體也沒(méi)有用0表示，0也是自然數(shù)。所有的自然數(shù)都是整數(shù)）。但作為教師必須更進(jìn)一步、較為系統(tǒng)地了解自然數(shù)的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，本文以自然數(shù)為例展開。

一、 自然數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義

自然數(shù)概念的內(nèi)涵是豐富的，弗賴登塔爾提出――數(shù)的概念的形成可以粗略地分成以下幾種：計(jì)數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)以及計(jì)算的數(shù)；而對(duì)于數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而言，“計(jì)數(shù)的數(shù)”（序數(shù)）意義更大，他認(rèn)為無(wú)論從歷史的、發(fā)生的還是從系統(tǒng)的角度看，數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)發(fā)展的基石。在此基礎(chǔ)上，我們可以進(jìn)一步細(xì)化、深入地認(rèn)識(shí)每一個(gè)自然數(shù)的實(shí)質(zhì)與意義。

首先看自然數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義。每一個(gè)自然數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義都極為豐富，其最基本的意義有兩個(gè)――基數(shù)與序數(shù)。例如自然數(shù)5，既可以表示某個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)，（即自然數(shù)的數(shù)量數(shù)含義），也可以表示物體的位置和順序（即自然數(shù)的序數(shù)含義）。

在小學(xué)的低、中階段自然數(shù)的這兩方面（基數(shù)與序數(shù)）的教學(xué)價(jià)值非常大，但在教學(xué)實(shí)踐中往往忽視了“序數(shù)”教學(xué)的價(jià)值，僅僅停留在“第幾”的層面上，缺少對(duì)數(shù)學(xué)本身意義的挖掘，就如學(xué)生對(duì)“計(jì)數(shù)的數(shù)”的理解是“探索規(guī)律”教學(xué)的基石。

進(jìn)一步拓展，我們可以知道自然數(shù)還有以下含義：1. 度量數(shù)。從某種意義上說(shuō)，數(shù)量數(shù)是度量數(shù)的特例，度量數(shù)是數(shù)量數(shù)的擴(kuò)充。數(shù)量數(shù)刻畫的是離散量（集合的元素）的個(gè)數(shù)多少，度量數(shù)刻畫的是連續(xù)量的大小問(wèn)題，由于連續(xù)量是可以無(wú)限分割的量，因此為了更準(zhǔn)確地測(cè)量出某個(gè)量到底有多大，就需要產(chǎn)生更小的測(cè)量單位，如果以最小的測(cè)量單位（或者同時(shí)用多個(gè)測(cè)量單位表示）作測(cè)量結(jié)果的單位，用自然數(shù)表示就足夠了，但表達(dá)和交流時(shí)會(huì)非常麻煩，為了更恰當(dāng)?shù)乇硎緶y(cè)量結(jié)果，就必須產(chǎn)生新的數(shù)――分?jǐn)?shù)（但現(xiàn)實(shí)生活中表示量的大小通常用有限小數(shù)來(lái)表示，便于直觀感知量的大小，便于溝通交流，這是由現(xiàn)行的十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)導(dǎo)致的），這是從自然數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)的重要現(xiàn)實(shí)動(dòng)力。另外，為了使自然數(shù)的減法滿足封閉性，就必須將自然數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集，為使自然數(shù)的除法滿足封閉性，就必須將自然數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集，滿足運(yùn)算的封閉性也是數(shù)域擴(kuò)充的重要數(shù)學(xué)動(dòng)力。2. 比率數(shù)。自然數(shù)還可以表示兩個(gè)量（數(shù)）之間的比率關(guān)系。3. 計(jì)算的對(duì)象或結(jié)果。任何一個(gè)自然數(shù)都可以是計(jì)算的對(duì)象或計(jì)算的結(jié)果。4.數(shù)軸上的“點(diǎn)”。每一個(gè)自然數(shù)（每一個(gè)實(shí)數(shù)）都與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。5. 用做編碼的符號(hào)。任何一個(gè)自然數(shù)都可以用來(lái)編碼。6.特別地還要強(qiáng)調(diào)“0”有以下幾點(diǎn)意義――“0”是一個(gè)概念，它表示“一個(gè)也沒(méi)有”；在位值制記數(shù)法中，“0”表示“空位（計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)是0個(gè)）”，起到占位作用；“0”是一個(gè)數(shù)，可以同其他數(shù)參與運(yùn)算；“0”是標(biāo)度的起點(diǎn)或分界。

二、自然數(shù)的數(shù)學(xué)意義

自然數(shù)除了上述現(xiàn)實(shí)意義外，還有其數(shù)學(xué)意義，數(shù)學(xué)意義就是從其作為一個(gè)“數(shù)”本身的角度看“數(shù)”的內(nèi)涵，任何一個(gè)數(shù)都是 “計(jì)數(shù)單位與其個(gè)數(shù)乘積的累加就得到的”?！坝?jì)數(shù)單位”及其“個(gè)數(shù)”是構(gòu)成數(shù)的核心要素，真正認(rèn)識(shí)一個(gè)數(shù)必然要認(rèn)識(shí)這個(gè)數(shù)所涉及的計(jì)數(shù)單位，在小學(xué)階段“分?jǐn)?shù)”與“小數(shù)”都分兩次學(xué)習(xí)，第一次學(xué)習(xí)僅是“初步認(rèn)識(shí)”，第二次學(xué)習(xí)才是“意義”層次的學(xué)習(xí)。

由于自然數(shù)是用“十進(jìn)位值制記數(shù)法”記錄的，所以計(jì)數(shù)單位是“1、10、100……”不同計(jì)數(shù)單位與其個(gè)數(shù)的累加就構(gòu)成了全部的自然數(shù)（某個(gè)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)為“0”時(shí)，也要寫出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034=2×1000+0×100+3×10+4×1，或者寫成2034=2000+30+4，即自然數(shù)的拓展式。小數(shù)也是“十進(jìn)位值制”的，增加小數(shù)的計(jì)數(shù)單位“01、001、0001……”后，其累加的過(guò)程與自然數(shù)的過(guò)程基本相同，只不過(guò)有“有限次累加”與“無(wú)限次累加”兩類，有限次累加就得到“有限小數(shù)”，無(wú)限次累加又分為兩種情形，其一是，不同計(jì)數(shù)單位的“個(gè)數(shù)”是有規(guī)律地出現(xiàn)的，如果計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)的情況復(fù)雜，沒(méi)有規(guī)律，則無(wú)限次累加的結(jié)果是“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”，即無(wú)理數(shù)。

同樣，分?jǐn)?shù)也可以看成是“分?jǐn)?shù)單位的累加”，這不僅延續(xù)了自然數(shù)的認(rèn)識(shí)，又為進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。從這個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)就使學(xué)生能夠真正理解為什么同分母分?jǐn)?shù)加減只需要“分子相加減而分母不變”，而異分母分?jǐn)?shù)加減法則必須“先通分，然后再分子相加減，分母不變”，從而進(jìn)一步理解“加減法計(jì)算的本質(zhì)就是相同計(jì)數(shù)單位‘個(gè)數(shù)’相加減”，“通分的本質(zhì)就是尋找兩個(gè)分?jǐn)?shù)的相同計(jì)數(shù)（分?jǐn)?shù)）單位”，這也是分?jǐn)?shù)的通分、約分和擴(kuò)分（尋找等值分?jǐn)?shù)）的理論依據(jù)。

最后簡(jiǎn)要回答“0”為什么是自然數(shù)？“0”是自然數(shù)的意義是什么？實(shí)際上很難回答“0為什么又是自然數(shù)”，簡(jiǎn)單可以說(shuō)是“規(guī)定”的，是修正后的皮亞諾自然數(shù)公理中規(guī)定的，皮亞諾自然數(shù)公理規(guī)定“1”是第一個(gè)數(shù)，修正后規(guī)定“0”是第一個(gè)數(shù)。而規(guī)定“0”是自然數(shù)則意義重大。例如，用“0”來(lái)描述“空集”所含元素的個(gè)數(shù)，那么所有的自然數(shù)（包括0）就能完整刻畫“有限集合元素的個(gè)數(shù)”問(wèn)題；0作為自然數(shù)集合的第一個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)的后面都緊跟著一個(gè)確定的數(shù)，可以把所有的自然數(shù)一個(gè)緊跟一個(gè)地排成一列數(shù)，既不重復(fù)也不遺漏等。

三、自然數(shù)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：十進(jìn)制與位值制

為了表示出一個(gè)“自然數(shù)”，在歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)五進(jìn)制、十進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制，但最多的是以10為數(shù)基的十進(jìn)制。

古埃及記數(shù)法中有“十進(jìn)制”卻沒(méi)有“位值制”的思想，如果需要記錄更大的數(shù)就必須產(chǎn)生表示更大單位的“新符號(hào)”，但有位值制思想后，則用有限個(gè)“符號(hào)”就能表示出無(wú)限的數(shù)，例如在“十進(jìn)制”前提下只需要10個(gè)符號(hào)就能表示出所有的自然數(shù)。

但十進(jìn)位記數(shù)法，離十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法還有關(guān)鍵的一步要走，即“位置值制（簡(jiǎn)稱‘位值制’）”。所謂“位值制”，是指相同的記數(shù)符號(hào)由于所處的位置的不同而可以表示大小不同的數(shù)目。由于有了位值制，就可以用有限的幾個(gè)數(shù)字表示出無(wú)限多個(gè)自然數(shù)，這是記數(shù)歷史上的一個(gè)奇跡。

用十進(jìn)位值制記數(shù)法來(lái)表示數(shù)意義巨大，一是便于比較兩個(gè)自然數(shù)的大小，自然數(shù)大小比較時(shí)首先看自然數(shù)的位數(shù)，位數(shù)越多則這個(gè)數(shù)越大。二是更便于數(shù)的計(jì)算，例如所有的加減法做的不外乎都是“20以內(nèi)的加減法”，只不過(guò)“計(jì)數(shù)單位”不同，乘除法做的則都是“表內(nèi)乘除法”。

四、無(wú)限集合的個(gè)數(shù)問(wèn)題

學(xué)習(xí)自然數(shù)除了前面所論述的現(xiàn)實(shí)意義、數(shù)學(xué)意義以及所蘊(yùn)含的十進(jìn)制、位值制思想外，還有一個(gè)重要問(wèn)題即自然數(shù)集合的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題推動(dòng)了近代集合論的發(fā)展。

對(duì)于無(wú)限集合，部分可以和全體相等，核心是建立兩個(gè)集合元素之間的“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系，如果兩個(gè)集合之間的元素能夠建立“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系，則這兩個(gè)集合元素的個(gè)數(shù)是相等的。因此伽利略的困惑就不難解決：從自然數(shù)集合中抽出完全平方數(shù)組成集合，當(dāng)集合為有限集時(shí)，自然數(shù)集中元素的個(gè)數(shù)多于完全平方數(shù)集合中元素的個(gè)數(shù)；當(dāng)集合元素為無(wú)限時(shí)，兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)一樣多只需要建立兩個(gè)集合元素之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

集合的含義與表示范文第5篇

以下是

請(qǐng)規(guī)定一個(gè)有意義的量為正，并用正、負(fù)數(shù)重新列表表示這8名同學(xué)的成績(jī).

三、練習(xí)提高夯實(shí)基礎(chǔ)1、若存款為正，某儲(chǔ)蓄所在1小時(shí)內(nèi)接待了4筆業(yè)務(wù)：存款2000元，取款1200元，存款400元，取款800元，用正數(shù)、負(fù)數(shù)分別表示為.2、下列說(shuō)法：①零的意義僅僅是表示沒(méi)有；②0是最小的正整數(shù)；③0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；④0是偶數(shù)，也是自然數(shù).其中正確的是（ ）A、①③④B、①②③④　C、③④D、②④3、下列各組量中，具有相反意義的量是（ ）A、起重機(jī)上升5米與右移3米 B、向前走與向后走　C、收入玉米40公斤與借走玉米40公斤　 D、存入3萬(wàn)元與取出2萬(wàn)元4、如果節(jié)約16度電記作＋16，那么浪費(fèi)6度電記作度.5、鐘表上的指針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度記作+30度,則-20度表示的意義是 .6、如果水位下降3米記作－3米，那么水位上升4米記作（ ）A、1米　B、7米　C、＋4米D、－7米7、如果－4米表示物體向西運(yùn)行4米，那么＋2米表示 　，物體原地不動(dòng)記為.8、既是負(fù)數(shù),又是整數(shù)的數(shù)是( )A、0分 B、1分 C、-2分 D、3.5分9、下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）A、正整數(shù)一定是自然數(shù)　 B、自然數(shù)一定是正整數(shù)C、0既是整數(shù)，也是有理數(shù)　 D、有限小數(shù)也是分?jǐn)?shù)10、某食品包裝上標(biāo)有“凈含量385±5克”，這袋食品的合格率含量范圍是 　克至 　克.11、向西走-100米,可以說(shuō)成( )A、向西走100米 B、向東走100米 C、向西走200米 D、向東走200米12、－7所在的數(shù)集有　 ?。▽懗鋈齻€(gè)數(shù)集的名稱）.13、按某種規(guī)律在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：－23，－18，－13，　 　.14、把下列各數(shù)填到相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)： -4，5， ，- ,0,-21 , ,-0.03003.負(fù)整數(shù)｛ …｝　分 數(shù)｛…｝非負(fù)數(shù)｛ …｝　非正分?jǐn)?shù)｛ …｝15、學(xué)校對(duì)初一男生進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)測(cè)試，以能跳1.7m及以上為達(dá)標(biāo)，超過(guò)1.7m的厘米數(shù)用正數(shù)表示，不足l.7m的厘米數(shù)用負(fù)數(shù)表示． 第一組10名男生成績(jī)?nèi)缦?單位cm)：+2 -4 0 +5 +8 -7 0 +2 +10 -3 （1）跳得最遠(yuǎn)的距離和最近的距離分別是多少？（2）第一組有幾名學(xué)生達(dá)標(biāo)？達(dá)標(biāo)率是多少?能力提高16、一潛水艇所在高度是－80米，它下潛10米的高度記為 　.17、小明比小剛的身高高-5㎝的意義是 　.18、下列說(shuō)法中正確的是（ ）A、有最小的自然數(shù)，也有最小的整數(shù)　B、沒(méi)有最小的正數(shù)，但有最小的正整數(shù)C、沒(méi)有最小的負(fù)數(shù)，但有的負(fù)數(shù)D、0是有理數(shù)中最小的數(shù).19、有公共部分的兩個(gè)數(shù)集是（ ）A、正整數(shù)集合與負(fù)整數(shù)集合　 B、整數(shù)集合與分?jǐn)?shù)集合　 C、負(fù)數(shù)集合與整數(shù)集合D、負(fù)分?jǐn)?shù)集合與正分?jǐn)?shù)集合20、某班數(shù)學(xué)平均分為80分,80分以上如85分記作+5分,某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?8分,應(yīng)記作( )A、+2分 B、-7分 C、-2分 D、+7分21、巴黎與北京的時(shí)差為-7時(shí)（正數(shù)表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間早的小時(shí)數(shù)）如果北京時(shí)間是7月2日14：00，那么巴黎的時(shí)間是（ ） A、7月2日21時(shí) B、7月2日17時(shí) C、7月2日5時(shí) D、7月2日7時(shí)22、按某種規(guī)律在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：1，－4，9，－16，25，　 　，　 　.23、將下列有理數(shù)填在對(duì)應(yīng)的圈中：?。?.3，0，－100，3.7，99.9，－15/2，10， ，2/3. 24、如果課桌的高度比標(biāo)準(zhǔn)高度高2㎜記作＋2㎜，那么比標(biāo)準(zhǔn)高度低3㎜記作什么？現(xiàn)有5張課桌，量得它們的尺寸與標(biāo)準(zhǔn)高度比較分別是＋1㎜，－1㎝，0㎜，＋3㎜和－1.5㎜，若規(guī)定課桌的高度比標(biāo)準(zhǔn)的高度不能超過(guò)2㎜，最低不能低于2㎜才算合格，那么上述5張課桌有幾張合格？探索創(chuàng)新25、某種商品的標(biāo)準(zhǔn)價(jià)格是400元，但隨著季節(jié)的變化，商品的價(jià)格可浮動(dòng)±5％.（1）±5％的含義分別是什么？（2）請(qǐng)你算出商品的價(jià)和；（3）某商家將該商品的零售價(jià)格定在450元，受到物價(jià)部門的處罰，請(qǐng)分析處罰原因.