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參數方程范文第1篇

參數方程最初起源于力學及物理學，例如運動方程大都采用參數方程，其中參數t往往表示時間這一變量.高中數學中解析幾何的核心思想是“用代數的方法研究幾何問題”.在具體的問題解決中，“方程”的地位十分重要，運用代數方法通常是以“方程”為載體，“方程”架起了“代數”與“幾何”之間的橋梁，從而使得解析幾何變得如此豐富多彩.同學們在學習解析幾何時，一定要認真理解每個曲線不同形式的方程，這是研究它們幾何性質的基礎.在直角坐標系下，曲線方程通常分為兩大類：參數方程與普通方程.參數方程與普通方程是曲線方程的兩種不同的表達方式，它們在形式上、用途上、方法上各具特點又互相補充，研究它們之間的關系、實現(xiàn)它們之間的互化，有利于發(fā)揮它們彼此的長處，從而簡化問題解決的過程.本文擬從互化的視角，以具體問題為例，介紹常見曲線的參數方程與普通方程的互化及其運用.

一、 兩類方程互化的必然性及其策略

對于具體問題，有時我們要選擇將一種曲線方程化為另一種曲線方程，簡稱“互化”.例如當點在曲線上任意運動時，我們常選擇將普通方程化為參數方程來解決，這也是我們學習參數方程的主要目的，下文將重點闡述.而實際生活很多問題提煉的數學模型往往是參數方程的形式，例如物理學中的平拋運動，我們得到的是水平方向的位移、豎直方向的位移用時間表示的參數方程，如果要進一步研究其曲線時，我們就要將之化為普通方程.也有一些數學問題是由參數方程給出的，直接解決比較繁瑣，必須將之轉化為普通方程解決.例如：由參數方程x=cos θ+3,

y=sin θ(θ為參數）給出的曲線，很難發(fā)現(xiàn)其表示的曲線類型，但如果將參數方程轉化為熟悉的普通方程，則比較簡單.由參數方程可得：cos θ=x－3,

sin θ=y.因為sin2θ+cos2θ=1，所以x－32+y2=1，即表示的曲線是圓心（3，0），半徑為1的圓.

將“參數方程”化為“普通方程”的過程本質上是“消參”，常見方法有三種：1．代入消參法：利用解方程的技巧求出參數t，然后代入消去參數；2．三角消參法：利用三角恒等式消去參數；3．整體消參法：根據參數方程本身的結構特征，從整體上消去參數.特別強調的是：“消參”僅僅是對代數式進行了簡化，沒有涉及到所消參數的范圍，而兩類方程中的變量x,y的范圍必須相同，所以消參的同時一定要關注消參引起的“范圍”變化.

例1

將下列參數方程化為普通方程：

（1）

x=t+1,

y=1－2t(t為參數）；（2）x=sin θ+cos θ,

y=1+sin 2θ(θ為參數）.

思

考通過兩個例子，我們能體會到參數方程化為普通方程的注意點是哪些嗎？

解

析

（1）因為x=t+1≥1，所以化為普通方程是y=－2x+3(x≥1).

這是以（1,1）為端點的一條射線（包括端點）.

（2）因為x=sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)，所以x∈［－2,2］.

化為普通方程是x2=y,x∈［－2,2］.

評

注

上述例題我們很容易在轉化過程中忽略變量的范圍，如（1）中x=t+1≥1，(2)中x∈［－2,2］，因此在參數方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等價的.

例2

選擇適當的參數，將下列普通方程化為參數方程：

（1）xy=9；（2）y2=x.

思

考選取的參數不同，同樣的曲線方程寫出來的參數方程是否一樣呢？

解

析

（1）x=t,

y=9tt為參數;（2）x=t2,

y=tt為參數.

評

注

對于（1）的參數方程也可寫成x=9t,

y=tt為參數，因此同一曲線的參數方程的形式可以不同，但（2）如果寫成x=t,

y=tt為參數，則和原來的不等價，因為y≥0，只是y2=x的一部分.

因此，關于參數有幾點說明：

① 參數是聯(lián)系變數x,y的“橋梁”；

② 參數方程中參數可以是有物理意義、幾何意義，也可以沒有明顯意義；

③ 同一曲線選取參數不同，曲線參數方程形式也不一樣；

④ 在實際問題中要確定參數的取值范圍.

二、 參數方程的具體運用

1． 橢圓參數方程運用

若橢圓標準方程是x2a2+y2b2=1，其參數方程可設為：x=acos θ,

y=bsin θ(θ為參數），其中參數θ稱為離心角.當點在橢圓上運動時，設點的坐標為(acos θ,bsin θ)，可以用一個變量θ表示點的兩個坐標，體現(xiàn)了使用參數方程的優(yōu)越性.

例3

已知A,B是橢圓x29+y24=1與坐標軸正半軸的兩個交點，在橢圓第一象限的部分求一點P，使四邊形OAPB的面積最大.

圖1

解

析

設點P(3cos α,2sin α)，SAOB面積一定，只需求SABP的最大值即可，即求點P到直線AB的距離最大值.

d=|6cos α+6sin α－6|22+32

=6132sin(π4+α)-1.

當α=π4時，d有最大值，此時面積最大，P坐標為(322,2).

評

注

如果不設參數方程，則必須設P點坐標，再利用點到直線的距離公式，這樣處理比較困難.可以看出，關于點到直線距離的最值問題，借助橢圓參數方程，將橢圓上任意一點的坐標用三角函數表示，利用三角知識加以解決，比用普通方程解決要方便一些.

2. 圓參數方程的運用

若圓的方程是x－a2+y－b2=r2，則其參數方程通常設為：x=a+rcos θ,

y=b+rsin θ(θ為參數），利用參數方程處理動點軌跡問題往往比較簡單.

例4

如圖2，已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點，點A是x軸上的定點，坐標為（12,0），當點P在圓上運動時，線段PA中點M的軌跡是什么？

圖2

解

析

設M(x,y)，圓x2+y2=16的參數方程為x=4cos θ,

y=4sin θ.

所以可設P(4cos θ,4sin θ)，由中點公式得M點軌跡方程為x=6+2cos θ,

y=2sin θ,再轉化為普通方程得到：點M軌跡是以（6,0）為圓心，2為半徑的圓.

評

注

也可利用普通方程解答：設M(x,y)，則P(2x－12,2y)，因為點P在圓x2+y2=16上，所以2x－122+2y2=16，即點M的軌跡方程為x－62+y2=4.

所以M的軌跡是以（6,0）為圓心，2為半徑的圓.求軌跡方程時，參數方程也能展現(xiàn)出它的優(yōu)越性，只需把動點的坐標分別用第三個量來表示即可.當然，如果想知道具體是怎樣的曲線，還需化為普通方程來觀察.

例5

已知點px,y是圓x2+y2－6x－4y+12=0上的點，求x+y的最值.

解

析

對于此題，我們可以通過兩種方法的解答加以對比，從而體會參數方程的運用.

圓x2+y2－6x－4y+12=0，即x－32+y－22=1.

方法一：圓參數方程為x=3+cos θ,

y=2+sin θ,由于P點在圓上，可設P3+cos θ,2+cos θ.

x+y=3+cos θ+2+sin θ=5+2sinθ+π4，所以x+y最大值為5+2，最小值為5－2.

方法二：令x+y=z，因為圓x－32+y－22=1與直線x+y－z=0相切時，1=5－z2，所以z=5±2. 所以zmax=5+2 ，zmin=5－2.

故x+y最大值為5+2，最小值為5－2.

評

注

相比較而言，有關圓的問題，既可用參數方程，也可用普通方程解決，但對于橢圓，用參數方程解決要比較簡單一點.

3. 直線參數方程的應用

如果直線經過點M0x0,y0，傾斜角為α的直線l的參數方程為 x=x0+tcos α,

y=y0+tsin α（t為參數），直線的參數方程中，它的形式、變量、常量要分清楚.

例如：x=3+tsin 20°,

y=tcos 20°（t為參數）傾斜角為70°.

又如：直線x+y－1=0的一個參數方程為x=1－22t,

y=22t（t為參數）.

直線的普通方程可以有若干個參數方程.

例6

已知直線l：x+y－1=0與拋物線y=x2交于A，B兩點，求線段AB的長和點M－1,2到A，B的兩點的距離之和.

思

考在學習直線的參數方程之前，我們會如何解決上述問題？

解

析

因直線l過點M－1,2,l的傾斜角為3π4，

所以它的參數方程為

x=－1+tcos3π4,

y=2+tsin3π4（t為參數），即x=－1－22t,

y=2+22t（t為參數） ①=1\*GB3.

把①=1\*GB3代入拋物線方程y=x2得t2+2t－2=0， 解得t1=－2+102，t2=－2－102.

由參數t的幾何意義可得：AB=t1－t2=10， MA?MB=t1t2=2.

評

注

在學習直線的參數方程之前，我們會用如下方法解答：

由x+y－1=0,

y=x2得x2+x－1=0，解得x1=－1+52,

參數方程范文第2篇

一、探求幾何最值問題

有時在求多元函數的幾何最值有困難，我們不妨采用參數方程進行轉化，化為求三角函數的最值問題來處理。

例1（1984年考題）　在ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a、b、c，且c=10，，P為ABC的內切圓的動點，求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。

解　由，運用正弦定理，可得：

sinA·cosA=sinB·cosB

sin2A=sin2B

由A≠B，可得2A=π-2B。

A+B=，則ABC為直角三角形。

又C=10，，可得：

a=6，b=8，r=2

如圖建立坐標系，則內切圓的參數方程為

所以圓上動點P的坐標為(2+2cosα，2+2sinα)，從而=80-8cosα

因0≤α＜2π，所以

例2　過拋物線?。╰為參數，p＞0）的焦點作傾角為θ的直線交拋物線于A、B兩點，設0＜θ＜π，當θ取什么值時，｜AB｜取最小值。

解　拋物線　（t為參數）

的普通方程為=2px，其焦點為。

設直線l的參數方程為：

（θ為參數）

代入拋物線方程＝2px得：

又0＜θ＜π

當θ=時，｜AB｜取最小值2p。

二、解析幾何中證明型問題

運用直線和圓的標準形式的參數方程中參數的幾何意義，能簡捷地解決有關與過定點的直線上的動點到定點的距離有關的問題。

例3　在雙曲線中，右準線與x軸交于A，過A作直線與雙曲線交于B、C兩點，過右焦點F作AC的平行線，與雙曲線交于M、N兩點，求證：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e為離心率）。

證明　設F點坐標為(c，0)，

A點坐標為(，0)。

又，設AC的傾角為α，則直線AC與MN的參數方程依次為：

將①、②代入雙曲線方程，化簡得：

同理，將③、④代入雙曲線方程整理得：

｜FM｜·｜FN｜=

｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。

雙曲線的一條準線與實軸交于P點，過P點引一直線和雙曲線交于A、B兩點，又過一焦點F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點，求證：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

證明　由已知可得。設直線AB的傾角為α，則直線AB

的參數方程為

（t為參數）

代入，可得：

據題設得直線CD方程為?。╰為參數）

代入，得：，從而得，

即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

三、探求解析幾何定值型問題

在解析幾何中點的坐標為(x，y)，有二個變元，若用參數方程則只有一個變元，則對于有定值和最值時，參數法顯然比較簡單。

例5　從橢圓上任一點向短軸的兩端點分別引直線，求這兩條直線在x軸上截距的乘積。

解　化方程為參數方程：

（θ為參數）

設P為橢圓上任一點，則P(3cosθ，2sinθ)。

于是，直線BP的方程為：

直線的方程為：

令y=0代入BP，的方程，分別得它們在x軸上的截距為和。

故截距之積為：（）·（）=9。

四、探求參數的互相制約條件型問題

例6　如果橢圓與拋物線=6(x-n)有公共點，試求m、n滿足

的條件。

分析　如果本題采用常規(guī)的代入消元法，將其轉化為關于x的一元二次方程來解，極易導致錯誤，而且很難發(fā)現(xiàn)其錯誤產生的原因。若運用參數方程來解，則可“輕車熟路”，直達解題終點。

解　設橢圓的參數方程為

拋物線的參數方程為

（t為參數）

因它們相交，從而有：

由②得：

代入①得：

配方得：。即

1≤≤9　-2≤n-m≤2

參數方程范文第3篇

做一做

1． 在平面直角坐標系xOy中，直線C1的參數方程為x+t=3,y+3t=3（t為參數）；在以O點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的極坐標方程為ρ=2cos θ，A點為C2上的動點，B點滿足OB=2OA，設點B的軌跡為曲線C3．

（1） 求曲線C3的普通方程；

（2） 直線C1與曲線C2異于極點的交點為M，與曲線C3異于極點的交點為N，求線段MN的長；

（3） 若P點的直角坐標為(-1,0)，且AP=5，求直線AP的普通方程．

2． 已知點P在曲線C：x=acos θ,y=bsin θ （其中a,b為實常數，θ為參數）上.

（1） 當a=5，b=12且0≤θ≤π時，若直線OP（其中O為坐標原點）的傾斜角為3π4，求P點的直角坐標．

（2） 當a=b=2且0≤θ≤π時，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點A的極坐標為(2,0)，曲線C上的弧AP的長度為2,求點P的極坐標,并求直線AP的參數方程．

（3） 當a=b=r>0時，試判斷直線l：xcos θ+ysin θ=r（其中θ為參數）與曲線C的位置關系．

看一看

1． （1） 先把曲線C2的極坐標方程化為普通方程，設點B的直角坐標為(x,y)，由條件“OB=2OA”，我們可用B點坐標表示A點坐標，再代入A點所在曲線C2的普通方程中，化簡即可求得曲線C3的普通方程．

（2） 思路1：先求出直線C1的極坐標方程，因為在極坐標系中直線C1恰好過極點O，所以我們有MN=|ρ2-ρ1|；思路2：先將直線C1的參數方程、曲線C2的極坐標方程都化成普通方程，然后在平面直角坐標系中處理此問題．

（3） 先將曲線C2的極坐標方程化成普通方程，再設A點坐標為(x0,y0)，據AP=5，得方程①，又A點在曲線C2上，又得方程②，將①②聯(lián)立，可求出A點坐標，進而可求出直線AP的普通方程．

2． （1） 先設點P對應的參數為θ0∈［0,π］，由斜率公式kOP=yP-0xP-0得到關于θ0的方程，聯(lián)系cos2θ0+sin2 θ0=1及θ0∈［0,π］，解出cos θ0，sin θ0的值，進而可求出P點坐標．

（2） 先求出點P的極坐標，再將點P和點A的極坐標化成直角坐標，最后寫出直線AP的參數方程．

（3） 先把圓C的參數方程化成普通方程，再求出圓C的圓心到直線l的距離d，最后根據d與r的大小，判斷圓C和直線l的位置關系．

對一對

1. 解：（1） 曲線C2的普通方程為x2-2x+y2=0，設B點坐標為(x,y)，則由條件OB=2OA，得A點坐標為x2,y2．

因為A點在C2上，即有x2A-2xA+y2A=0，所以x22-2?x2+y22=0，即x2-4x+y2=0．

所以曲線C3的普通方程為x2-4x+y2=0．

（2） 直線C1的普通方程為y=3x，對應的極坐標方程為θ=π3．

曲線C2的極坐標方程為ρ=2cos θ，曲線C3的極坐標方程為ρ=4cos θ．

直線C1與曲線C2交點M的極徑為ρ1=2cosπ3；

直線C1與曲線C3交點N的極徑為ρ2=4cosπ3．

所以MN=|ρ2-ρ1|=1．

（3） 設A(x0,y0)，則AP2=x0+12+y20=5 ①．

又點A(x0,y0)在曲線C2上，而曲線C2的普通方程為x2-2x+y2=0，

所以x20-2x0+y20=0 ②．

由①，②消去y0整理得x0=1，故x0=1,y0=1或x0=1,y0=-1．

所以直線l的斜率為k=12或k=-12，直線l的方程為x-2y+1=0或x+2y+1=0．

2． 解：（1） 設點P對應的參數為θ0∈［0,π］，kOP=tan3π4=-1=yP-0xP-0=12sin θ05cos θ0．

由cos2θ0+sin2 θ0=1及θ0∈［0,π］，解得cos θ0=-1213，sin θ0=513．故點P-6013 ,6013．

（2） 由已知得點P的極角為1，極徑為2，所以點P的極坐標為(2,1)，點P的直角坐標為(2cos 1,2sin 1)．

又點A的直角坐標仍為(2,0)，

所以直線AP的參數方程為x=2+(2cos 1-2)t,y=2sin 1?t（t為參數）．

（3） 當a=b=r時，曲線C的軌跡是一個圓，該圓的普通方程為x2+y2=r2，圓心為(0,0)．

因為圓C的圓心(0,0)到直線l的距離為d=0+0-rcos2θ+sin2 θ=r，所以直線l與曲線C相切．

想一想

1． （1） 求解此問的思路是平面直角坐標系下的相關點法求軌跡．有些讀者，可能會這樣想，既然是在極坐標系下，那不妨設B點的極坐標為(ρ, θ)，由OB=2OA，可得A點的極坐標為ρ2,θ2，從而曲線C3的極坐標方程為ρ2=2cosθ2，這就產生了錯誤，這個錯誤是由知識點的錯誤遷移引起的．實際上，我們印象中的由OB=2OA，得xB=2xA,yB=2yA,是在平面直角坐標系中得到的；而在極坐標系中并沒有此結論．雖然在極坐標系中沒有此結論，但有這個想法也是好的，這個想法也為我們提供了一個解題思路：注意到O點恰好是極點，由OB=2OA，在限定極徑ρ≥0且極角θ∈［0,2π)的前提下，我們有ρB=2ρA,θB=θA,從而由A點所在曲線的極坐標方程為ρ=2cos θ，很快就能得到B點軌跡的極坐標方程為ρ=4cos θ．

（2） 大多數情況下，我們都是先把相關曲線的參數方程或者極坐標方程化成普通方程，然后轉移到平面直角坐標系中去處理相關問題；但有時我們靈活運用極坐標方程中的極徑和極角的幾何意義或者參數方程中的參數的幾何意義（如果有的話）去處理相關問題也會很簡單．此外，把參數方程化成普通方程要注意以下幾點：一是先弄清楚哪個字母是參數；二是把表示參數的字母消去，就得到了我們想要的普通方程；三是研究參數對變量x,y的取值范圍的限制，最后標明x,y的取值范圍．

（3） 解決此問的關鍵是求出點A的直角坐標，進而我們就能寫出直線AP的普通方程．處理思路很常規(guī)，先把問題轉移到平面直角坐標系下，尋求關于A點坐標的關系式，建立關于A點坐標的方程組，最后解出點A坐標；這種用方程組法求解的類似的問題很多，我們會經常碰到．

2． （1） 此問的出錯率較高，出錯的主要原因是把曲線C參數方程中的參數θ和直線的傾斜角混淆，我們要注意區(qū)分．例如，求直線x=3-tsin 20°,y=1+tcos 20°的傾斜角．此問中的20°并不是所求直線的傾斜角．由k=y-1x-3=tcos 20°-tsin 20°=-1tan 20°=-tan 70°=tan 110°，得所求直線的傾斜角為110°．

參數方程范文第4篇

關鍵詞 聯(lián)立方程；參數估計；間接嶺估計；嶺參數

中圖分類號O212文獻標識碼A

1引言

聯(lián)立方程模型的參數估計問題是理論計量經濟學的重要內容，Engle 和 Kroner [1]1995年提出在不考慮異方差擾動的條件下，用二階段最小二乘（2SLS）和三階段最小二乘（3SLS）估計模型的參數；Chuanming Gao和Kajal Lahiri [2]于2001年又提出了雙-k類估計； Emma M. Iglesias 和Garry D.A. Phillips[3] 2005年對2SLS、有限信息最大似然估計（LIML ）和 3SLS 估計進行了理論和模擬研究；還有完全信息最大似然估計（FIML）和間接最小二乘估計（ILS）[4].在結構方程恰好識別時，間接最小二乘法（ILS估計）是估計結構方程參數的重要方法.但是當外生變量的設計矩陣出現(xiàn)復共線時，用間接最小二乘法估計的參數性質變得很差.本文提出一種參數的修正間接嶺估計方法，首先推導出參數的估計公式，然后對它進行了修正，使其修正后的估計值具有良好的統(tǒng)計性質，并證明了這些性質.最后給出了在修正的嶺估計均方誤差最小意義下的一種嶺參數的選擇方法.

2模型概述與符號表示

聯(lián)立方程模型的結構方程的矩陣形式為

證畢

綜合定理1，定理2，和參數間接最小二乘估計相比，修正的間接嶺估計使估計參數的各分量縮小，并且使其均方誤差縮小.

5嶺參數的選擇

考慮在估計參數的均方誤差最小意義下來選擇嶺參數k，而這個均方誤差是聯(lián)立方程中所有方程的估計參數的均方誤差，記作F（k）.由定理2可知

要在F（k）最小的意義直接推導出嶺參數k是比較困難的，為此，可以考慮利用均方誤差F（k）的曲線[5]（以嶺參數k為橫坐標，均方誤差F（k）為縱坐標），通過觀察均方誤差曲線，選擇使F（k）最小的嶺參數k（一般選擇使F（k）取得極小值的最小的k或者使F（k）穩(wěn)定的最小的k）.不過在上式的F（k）中還含有未知的Var（Yi）=σ2iIn和各個方程的系數真值Qi，這可以用各方程系數的最小二乘估計il來代替Qi，再把計算出的il代入第i個方程求出2i 來代替σ2i.這樣，上式F（k）的右邊只有一個變量k了，就可以根據均方誤差曲線按前面所說的方法來選擇嶺參數k.若il與Qi差異很大，可以考慮用參數的第一次嶺估計（1）iak代入F（k），用上述方法再次選擇k，進行第二次嶺估計，這樣迭代下去，直到連續(xù)兩次嶺估計的差異很小，停止迭代，得到參數的嶺估計.

6數值模擬

構建恰好識別的聯(lián)立方程模型

用（12）對Y1，Y2進行估計，估計值如表1所示，從圖1可以看出用間接最小二乘估計的模型擬合效果很好，擬合線幾乎完全重合.

下面用修正的間接嶺估計公式（7）重新對模型（11）進行估計首先利用模型參數的均方誤差曲線F（k）選擇嶺參數k， 從圖2的均方誤差曲線F（k）可以看出，從k=0.1開始，F(xiàn)（k）下降的趨勢平緩，參數的均方誤差很小。不妨取嶺參數k=0.1，用修正的間接嶺估計方法（7）估計模型（11），得模型中的參數分別為

從圖3上觀察第一個模型的擬合效果沒有模型（12）的第一個模型擬合效果好難道修正的間接嶺估計方法沒有間接最小二乘估計方法優(yōu)越嗎？肯定不是，如果把模型（12）和模型（13）的參數與模型參數的真值進行比較就會發(fā)現(xiàn)，用修正的間接嶺估計

的模型參數比用間接最小二乘估計估計的模型參數更接近模型參數的真實值，這一點在圖2中也能清楚看到，參數間接最小二乘估計的均方誤差遠大于參數修正間接嶺估計的均方誤差.可見當聯(lián)立方程模型外生變量的設計矩陣復共線時，參數的修正的間接嶺估計優(yōu)于參數間接最小二乘估計.

6結束語

從以上分析可以看出，文章對外生變量設計矩陣X復共線的聯(lián)立方程模型在方程恰好識別時提出一種參數的修正間接嶺估計方法，推導出了估計公式，并且這種參數估計是間接最小二乘估計的一種壓縮估計，其均方誤差也比間接最小二乘估計的均方誤差小，通過數值模擬也驗證了上述結論，參數估計效果優(yōu)于間接最小二乘估計.

參考文獻

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[3]Garry D A PHILLIPS， Emma M IGLESIAS. Simultaneous equations and the validity of instrumental variables under conditionally heteroscedastic disturbances[M]. London ：ESWC ， 2005.

參數方程范文第5篇

坐標系與參數方程命題的重點是兩種形式方程的轉化以及直線和圓、直線與橢圓的位置關系，這主要包括特殊曲線的極坐標方程的求解以及極坐標與直角坐標的轉化、參數方程與普通方程的轉化等，這也是高考命題的主要熱點.

二、知識整理

1.極坐標

（1）極坐標系的建立：在平面內取一個定點O，叫做極點，從O點引出一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位、一個角度單位（通常取弧度）及正方向（通常取逆時針方向），這樣就確定了一極坐標系.設M是平面內一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的極徑，記為ρ，以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角叫做點M的極角，記為θ，有序數對（ρ，θ）叫做點M的極坐標，記作M（ρ，θ）.

（2）極坐標與直角坐標的互化：把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，設M是平面內任意一點，它的直角坐標是（x，y），極坐標為（ρ，θ），則它們之間的關系為x=ρcosθ，y=ρsinθ，又可得到關系式：ρ2=x2+y2，tanθ=yx.

2.直線的極坐標方程

（1）若直線過點M（ρ0，θ0），且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：

ρsin（θ-α）=ρ0sin（θ0-α）.

（2）幾個特殊位置的直線的極坐標方程

θ=α（ρ∈R）表示過極點且與極軸成α角的直線（如圖①）;ρcosθ=a表示過（a，0）且垂直于極軸的直線（如圖②）;ρsinθ=b表示過（b，π2）且平行于極軸的直線（如圖③）.

3.圓的極坐標方程

（1）若圓心為M（ρ0，θ0），半徑為r的圓方程為ρ2-2ρ0ρcos（θ-θ0）+ρ20-r2=0.

（2）幾個特殊位置的圓的極坐標方程

ρ=r表示圓心在極點，半徑為r的圓（如圖④）.

ρ=2rcosθ表示圓心在（r，0），半徑為r的圓（如圖⑤）.ρ=2rsinθ表示圓心在（r，π2），半徑為r的圓（如圖⑥）.

4.曲線的參數方程

在平面直角坐標系xOy中，如果曲線上任意一點坐標x，y都是某個變量t的函數x=f（t）

y=g（t）并且對于t的每一個允許值，上式所確定的點M（x，y）都在這條曲線上，則稱上式為該曲線的參數方程，其中變量t稱為參數.

5.一些常見曲線的參數方程

（1）過點P0（x0，y0），且傾斜角為α的直線的參數方程為x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t為參數），設P是直線上的任一點，則t表示有向線段P0P的數量.

（2）圓的方程（x-a）2+（y-b）2=r2的參數方程為x=a+rcosθ

y=b+rsinθ（θ為參數）.

（3）橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）的參數方程為x=acosθ

y=bsinθ（θ為參數）.

（4）拋物線方程y2=2px（p>0）的參數方程為x=2pt2

y=2pt（t為參數）.

二、復習指導

（1）準確把握一個區(qū)別：極坐標系與直角坐標系是兩種不同的坐標系，不能把直角坐標系中的公式直接應用到極坐標中，如直角坐標系中的兩點間距離公式就不能在極坐系中使用.

（2）熟練掌握兩個轉化：一是參數方程向普通方程轉化的基本方法就是消參數法，但要注意參數的取值范圍對普通方程中變量的限制;二是極坐標與直角坐標的轉化，要準確記憶相應公式，這是轉化的基礎.

（3）靈活應用一個性質，即在解決直線和圓的位置關系時，要注意靈活利用幾何性質――即平面幾何中有關圓的結論來求解，減少運算量，提高解題的速度和準確度.

三、典例全解

1.求解參數方程相關問題的簡便方法

例1 將參數方程x=3t-5

y=-2t+1（t為參數），化成普通方程，并判斷它是什么曲線？

分析：參數方程中的兩個方程都是關于t的一次方程，由其中任意一個都可以解出參數，然后把參數的表達式代入另一個方程即可，也可以將兩個方程分別乘上某個數，把t的系數化成相同，然后兩式相減即可.

解析：法一：由x=3t-5，得t=x+53，把t=x+53代入y=-2t+1，得y=-2?x+53+1，整理得2x+3y+7=0，即所求曲線的普通方程為2x+3y+7=0，它是一條直線.

法二：參數方程可變形為2x=6t-10

-3y=6t-3，消去t，得2x+3y+7=0，即所求曲線的普通方程為2x+3y+7=0，它是一條直線.

點評：代入消參法與加減消參法是解決參數方程化為普通方程最常用的兩種方法，本例的解法一就是代入消參法，從參數方程中選出x=3t-5，解出參數t=x+53，然后把參數t的表達式代入y=-2t+1，消去參數t，即可把已知參數方程化為普通方程;解法二采用的是加減消參法，將參數方程中的兩個方程分別乘上某個常數，把t的系數化相同，然后兩式相減即可.注意：不是所有的參數方程都可以化成普通方程，化參數方程為普通方程的基本思路是消去參數，這種消參的過程不能增加或減少曲線上的點，即要求參數方程和普通方程是等價的，因此在消參時要注意以下兩個方面：（1）根據參數條件，明確x，y的取值范圍;（2）消去參數后，普通方程要與原參數方程的取值范圍保持一致，為了防止轉化過程中出現(xiàn)范圍的變化，也可以先由參數方程討論出x，y的變化范圍，再對方程進行轉化.

2.參數方程與極坐標方程的綜合問題

例2 已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ，設直線l的參數方程是x=-35t+2

y=45t（t為參數），（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程;（2）設直線l與x軸的交點是M，N為曲線C上一動點，求|MN|的最大值.

分析：第（1）問利用極坐標公式x2+y2=ρ2，y=ρsinθ把曲線C的極坐標方程轉化為直角坐標方程;第（2）問的方法比較多，可以利用數形結合法求解，可以通過圓的參數方程求解，也可以利用參數法、極坐標法或整體代換法求解.

解析：（1）曲線C的極坐標方程可化為ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，所以曲線C的直角坐標方程為x2+y2-2y=0.

（2）法一（幾何法）將直線l的參數方程轉化為普通方程，得y=-43（x-2），令y=0，得x=2，即M點的坐標為（2，0），又由（1），知曲線C為圓，圓心C的坐標為（0，1），半徑r=1，所以|MC|=5，利用數形結合，可知|MN|≤|MC|+r=5+1，即|MN|的最大值為5+1.

法二（參數法）由（1）知曲線C即圓x2+y2-2y=0的標準方程為x2+（y-1）2=1，圓的參數方程為x=cosα

y=1+sinα（α為參數），N為曲線C上一動點，設N（cosα，1+sinα），由直線l的參數方程是

x=-35t+2

y=45t，知直線l過點M（2，0），所以

|MN|=（cosα-2）2+（1+sinα）2

=6+2（sinα-2cosα）=6+25sin（α-φ）

≤6+25=5+1，

即|MN|的最大值為5+1.

法三（極坐標法）由直線l的參數方程是

x=-35t+2

y=45t，知直線l過點M（2，0），在極坐標系中，M（2，0），N（ρ，θ）且ρ=2sinθ，由余弦定理可得

|MN|2=ρ2+4-2×2ρcosθ=（2sinθ）2+4-4×2sinθcosθ=4sin2θ+4-4sin2θ=2-2cos2θ-4sin2θ+4=6-2（2sin2θ+cos2θ）=6-25sin（2θ+φ）≤6+25=（5+1）2，（其中tanφ=12），所以|MN|的最大值為5+1.

點評：圓上的動點到定點距離的最值問題可用代數法或幾何法求解，代數法就是設圓上動點的坐標，利用圓的方程以及距離公式建立目標函數，轉化為函數的最值問題求解，如本例第（2）問中的解法二就是利用圓的參數方程，將其轉化為求解三角函數的最值問題;而解法三直接利用圓的極坐標方程和余弦定理建立關于極角的目標函數求解最值.幾何法就是利用圓的性質直接判斷最值，如本例中第（2）問中的解法一直接利用圓心到定點的距離和圓的半徑表示最值，顯然利用幾何法求解更為簡捷直觀.

3.巧選“定點” 妙用參數方程的典例賞析

過定點P0（x0，y0），傾斜角為α的直線的參數方程x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t為參數）有著廣泛的應用，深刻理解參數t的幾何意義，恰當選擇方程中的“定點”，是靈活運用直線參數方程解題的關鍵，下面例說巧妙選擇定點的幾種常見路徑.

（1）選已知點為定點

如果直線或直線系經過已知點，那么可嘗試以該已知點為方程中的“定點”.

例3 如圖，已知焦點在x軸上的橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=42，過橢圓焦點F1作一直線交橢圓于兩點M、N，設∠MF1F2=α（0≤α<π），當α為何值時，|MN|等于橢圓短軸的長？

解析：建立如圖所示的坐標系，則橢圓方程為

x29+y2=1，F(xiàn)1（-22，0），設MN：x=-22+tcosα

y=tsinα

（t為參數），將其代入橢圓方程得：

（cos2α+9sin2α）t2-42tcosα-1=0，

由|MN|=（y2-y1）2+（x2-x1）2=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1?t2=61+8sin2α及|MN|=2，得sinα=±12，α∈[0，π），α=π6或α=5π6.

（2）選動弦的中點為“定點”

如果以動弦的中點為方程中的“定點”，那么由參數t的幾何意義可得t1+t2=0，用好這一關系式?？墒骨蠼獯鬄楹喕?

例4 已知橢圓C：x24+y23=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m，C上有不同兩點關于l對稱.

解析：設兩對稱點為A、B，線段AB的中點為M（x0，4x0+m），則AB：x=x0+tcosα

y=4x0+m+tsinα（t為參數），將其代入x24+y23=1，得（3cos2α+4sin2α）t2+2[3x0cosα+4（4x0+m）sinα]t+3x20+4（4x0+m）2-12=0，tA+tB=0，3x0cosα+4（4x0+m）sinα=0，又ABl，tanα=-14，代入上式得3x0+4（4x0+m）（-14）=0，即x0=-m ①，由tA?tB<03x20+4（4x0+m）2-12<0，將①代入上式，得3m2+4?9m2-12<0，解得m∈（-21313，21313）.

（3）選弦的定比分點為“定點”

如果以弦AB的定比分點P（λ=APPB）為方程中的“定點”，那么由t的幾何意義可將定比條件轉化為相應參數間的關系式tAtB=λ.

例5 已知橢圓C：x24+y23=1，若過C的右焦點F的直線l與C交于A（x1，y1），B（x2，y2），（其中y1>y2），且|AF||BF|=2，求直線l的方程.

解析：F（1，0），設l的方程為x=1+tcosα

y=tsinα（t為參數，α為鈍角），將其代入C的方程，得（3cos2α+4sin2α）t2+6tcosα-9=0，設A、B對應參數為t1，t2，則

t1+t2=-6cosα3cos2α+4sin2α ①，

t1?t2=-93cos2α+4sin2α<0 ②，

又|AF||BF|=|t1t2|=-t1t2=2，即t1=-2t2 ③，

將③分別代入①、②，得t2=6cosα3cos2α+4sin2α，2t22=93cos2α+4sin2α，8cos2α=3cos2α+4sin2αtanα=±52，由y1>y2，得tanα<0，

故l的方程為y=-52（x-1）.

（4）選所求點為“定點”

如果選取所求點為方程中的“定點”，那么可將該點所滿足的幾何性質直接用相應的參數t去刻劃.

例6 已知直線y=x+m與曲線x2+2y2+4y-1=0交于A、B兩點，P是這條直線上的點，且|PA|?|PB|=2，求當m變化時，點P的軌跡方程.

解析：設P（x0，y0），直線y=x+m的參數方程為x=x0+22t

y=y0+22t（t為參數），代入曲線方程，得32t2+2（x0+2y0+2）t+x20+2y20+4y0-1=0（），

由|PA|?|PB|=|t1t2|=2，得

2（x20+2y20+4y0-1）3=2，

或2（x20+2y20+4y0-1）3=-2.

即x206+（y0+1）23=1，或x0=0，y0=-1.

又方程（）中Δ≥02（x0-y0）2+4（y0-x0）-7≤0，由y0=x0+m，代入上式得2m2+4m-7≤0，

即-322-1≤m≤322-1，

故P點的軌跡是橢圓x26+（y+1）23=1界于兩條直線y=x-1+322與y=x-1-322之間的部分及點（0，-1）.