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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題范文第1篇

考試科目有：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?？荚噧?nèi)容比較多、全面、題目設(shè)置有一定難度。在試卷內(nèi)容中，各科目所占比例為：高等數(shù)學(xué)56%、線性代數(shù)22%、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)22%。

考研數(shù)學(xué)二

考試科目有：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)。在試題中，各科目所占比例為：高等數(shù)學(xué)78%、線性代數(shù)22%。

考研數(shù)學(xué)三

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題范文第2篇

按照應(yīng)用性為主的教學(xué)目的要求，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中，應(yīng)該以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的能力為出發(fā)點(diǎn)，使學(xué)生掌握概率論的基本知識(shí)和理解統(tǒng)計(jì)方法的基本思想，并將理論的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化成一定的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用能力。隨著目前統(tǒng)計(jì)工作所面臨的數(shù)據(jù)日益龐大，傳統(tǒng)教學(xué)中的計(jì)算公式已經(jīng)很難使用手工計(jì)算的方式進(jìn)行求解，因此借助于計(jì)算機(jī)及統(tǒng)計(jì)軟件完成統(tǒng)計(jì)計(jì)算，分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果、做出統(tǒng)計(jì)推斷便成為統(tǒng)計(jì)教學(xué)中不可忽視的一個(gè)手段。使用軟件輔助概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)能使課程中的數(shù)據(jù)處理和數(shù)值計(jì)算更簡(jiǎn)易、更精確。伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)及數(shù)學(xué)軟件的發(fā)展，使得諸多的統(tǒng)計(jì)分析借助數(shù)學(xué)軟件得以實(shí)現(xiàn)，如參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析和回歸分析等計(jì)算問題，也無需擔(dān)心大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)帶來的計(jì)算量等問題。同時(shí)，在高等教育統(tǒng)計(jì)教學(xué)中應(yīng)用統(tǒng)計(jì)軟件，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)、計(jì)算機(jī)及軟件等專業(yè)課的興趣，提高學(xué)生的計(jì)算能力和利用專業(yè)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，科學(xué)整合統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)統(tǒng)計(jì)教學(xué)面向社會(huì)需要，提升學(xué)生的實(shí)踐能力。在教學(xué)中進(jìn)行軟件的訓(xùn)練也能為學(xué)生將來的工作打下初步的基礎(chǔ)，為了更好進(jìn)行概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)和實(shí)踐，近年來新編教材也增加了數(shù)學(xué)軟件的內(nèi)容，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中使用數(shù)學(xué)軟件已成為改革發(fā)展的趨勢(shì)。在課堂教學(xué)中，為了讓學(xué)生加深對(duì)理論的理解，實(shí)踐環(huán)節(jié)的設(shè)置變得非常關(guān)鍵，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中加入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芎芎玫奶钛a(bǔ)學(xué)生在理論和實(shí)踐之間的空白。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展可以在數(shù)學(xué)教育中體現(xiàn)學(xué)生的主體意識(shí)，讓學(xué)生做到邊學(xué)邊用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性、體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的時(shí)代性。因此，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革中非常值得探討和研究的課題。根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容設(shè)計(jì)可以和案例教學(xué)方法進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。案例式教學(xué)能解決概率知識(shí)綜合運(yùn)用的問題，能豐富課程內(nèi)容、加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。教學(xué)案例能將所學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系起來，使課程的各部分不再是孤立的，通過對(duì)案例設(shè)置問題的求解，便能使學(xué)生完成由學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論到用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解決問題的轉(zhuǎn)變。在解決實(shí)際問題的過程中輔以軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算試驗(yàn)，能最大限度發(fā)揮軟件的優(yōu)勢(shì)，使學(xué)生學(xué)以致用，將理論學(xué)習(xí)與實(shí)際應(yīng)用有機(jī)結(jié)合起來。在傳統(tǒng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程計(jì)算量大一直是困擾課堂教學(xué)的難點(diǎn)問題，如二項(xiàng)分布，若試驗(yàn)次數(shù)較多，其中的具體概率計(jì)算將變得十分復(fù)雜。復(fù)雜的計(jì)算往往使得教師的教學(xué)重點(diǎn)發(fā)生偏移，側(cè)重課后習(xí)題計(jì)算的處理，使得課程的設(shè)計(jì)重點(diǎn)偏向排列組合公式的計(jì)算。另外在教學(xué)過程中，前后知識(shí)的聯(lián)系對(duì)初學(xué)者也是一個(gè)障礙，比如條件概率等基本公式在討論多元隨機(jī)變量時(shí)還會(huì)用到，但在教學(xué)實(shí)踐中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，由于缺少互相聯(lián)系的教學(xué)實(shí)例，學(xué)生一般都是將這兩部分分開來學(xué)習(xí)，不習(xí)慣將前面的知識(shí)和隨機(jī)變量進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。因此設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)陌咐瑢⒅R(shí)前后貫通是教師面臨的重要任務(wù)。

2軟件介紹

在強(qiáng)調(diào)學(xué)生為主體的實(shí)踐式教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師設(shè)計(jì)案例的求解一般要選擇合適的軟件進(jìn)行輔助，當(dāng)前數(shù)學(xué)軟件眾多、功能強(qiáng)大，如綜合性軟件Mat－lab，統(tǒng)計(jì)專業(yè)軟件SPSS、SAS等。對(duì)于專業(yè)數(shù)學(xué)軟件一般要先進(jìn)行軟件的學(xué)習(xí)才能用來解決實(shí)際問題，對(duì)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這樣一門獨(dú)立的課程，顯然不宜專門來進(jìn)行軟件的培訓(xùn)，為了應(yīng)對(duì)實(shí)踐教學(xué)課堂應(yīng)用，簡(jiǎn)單易學(xué)且容易配置的軟件能最大限度實(shí)現(xiàn)教學(xué)任務(wù)。在此以Excel為例介紹案例式教學(xué)和利用Excel進(jìn)行軟件試驗(yàn)的一點(diǎn)嘗試。Excel使用簡(jiǎn)便，基本不涉及程序的編制，在圖形化界面下進(jìn)行操作，且具備有強(qiáng)大的圖形功能，便于概率結(jié)果的呈現(xiàn)和分析。Excel有豐富的概率函數(shù)，能幫助用戶進(jìn)行各種類型的概率計(jì)算，或進(jìn)行隨機(jī)模擬來學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。Excel可以計(jì)算大部分常用理論分布的概率密度函數(shù)PDF、累積分布函數(shù)CDF以及模擬產(chǎn)生服從常用概率分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)。如果能夠正確使用，Excel可以成為非常強(qiáng)大的學(xué)習(xí)工具。選用Excel作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)輔助軟件的另一個(gè)原因是作為微軟Office工具之一，大部分學(xué)生均了解Excel的使用，因此不用進(jìn)行軟件的教學(xué)即可用來解決實(shí)際問題，在學(xué)習(xí)過程中也能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)軟件的使用增強(qiáng)他們解決實(shí)際問題的能力。下面介紹一個(gè)利用Excel輔助的案例式實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)例。為了使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)背景貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)生活，以考試中選擇題成績(jī)分析為例。背景分析：考試是每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，其中選擇題是經(jīng)常遇到的類型，選擇題的設(shè)計(jì)與概率知識(shí)之間有密切的關(guān)系。通過與學(xué)生密切相關(guān)的問題引入概率教學(xué)，能極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。問題設(shè)計(jì)：選擇題在解答時(shí)不同于填空題或者解答題，因?yàn)樵谕耆粫?huì)的情況下仍有可能靠猜測(cè)得到正確的答案，那如何來評(píng)估選擇題在考試中的效度，可以使用什么樣的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)予以研究？

3實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例設(shè)計(jì)

首先提出基本假設(shè)，考試時(shí)一個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，如果不會(huì)做就隨機(jī)作答，因此在不會(huì)做題的情況下隨機(jī)選擇答案有25％的可能性得到正確答案，即從卷面上看該題做對(duì)了，對(duì)于老師來說，按照成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)學(xué)生實(shí)際知識(shí)水平非常重要，因此需要評(píng)估在答案正確的前提下求學(xué)生實(shí)際會(huì)做該題的概率。圖像顯示出選擇題答案正確而顯示被試者會(huì)做該題的概率一直大于被試者實(shí)際會(huì)做該題的概率，說明選擇題容易高估被試者的水平，為了有效區(qū)分被試者的不同程度，需要適當(dāng)調(diào)節(jié)題目的難度來區(qū)分被試者是不是真的會(huì)做。作為一個(gè)例子，若學(xué)生會(huì)做與不會(huì)做的概率相同，取x＝0．5，則容易計(jì)算出P（A｜B）＝0．8，即實(shí)際會(huì)做概率為0．5時(shí)，選擇題表現(xiàn)出來的得分可能為0．8分。對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來說，讓學(xué)生自己對(duì)該案例進(jìn)一步討論，親自實(shí)踐在軟件輔助下的概率解題，對(duì)促進(jìn)學(xué)生將理論用于實(shí)際非常重要。在課堂講授的基礎(chǔ)上，可以將學(xué)生自學(xué)內(nèi)容引申到用隨機(jī)變量的分布律和分布函數(shù)來研究在實(shí)際考試中選擇題得分情況演示，結(jié)合二項(xiàng)分布理論研究選擇題對(duì)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的情況。評(píng)價(jià)借助于Excel軟件設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)。假設(shè)某項(xiàng)考試由100道選擇題組成，每道題1分，學(xué)生會(huì)做該題的概率為x（實(shí)際問題中相當(dāng)于難度系數(shù)為1－x），當(dāng)x＝0的時(shí)候，被試者對(duì)考試內(nèi)容完全不會(huì)，每題都隨機(jī)選擇，可以看成服從參數(shù)為（100，0．25）的二項(xiàng)分布，使用Excel中的BINOM－DIST（）函數(shù)進(jìn)行二項(xiàng)分布概率密度值和分布函數(shù)值的計(jì)算來演示考試結(jié)果。函數(shù)用法為：BINOM－DIST（k，n，p，F(xiàn)ALSE／TRUE），其中k表示回答正確的題目數(shù)量，可以使用單元格自動(dòng)生成，n，p為二項(xiàng)分布的參數(shù)。n表示總試驗(yàn)次數(shù)，p表示每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)即答對(duì)題的概率。后面的參數(shù)FALSE／TRUE用來說明是計(jì)算概率密度函數(shù)和是計(jì)算分布函數(shù)。如BINOMDIST（A2，100，0．25，F(xiàn)ALSE）表示對(duì)A2單元格中的自變量計(jì)算參數(shù)為（100，0．25）的二項(xiàng)分布概率密度函數(shù)值。使用Ex－cel的自動(dòng)填充功能，便可方便生成該二項(xiàng)分布的概率密度表。為方便調(diào)節(jié)二項(xiàng)分布參數(shù)，可以將參數(shù)（n，p）用單元格的絕對(duì)引用代替，改變參數(shù)單元格的數(shù)值就能得到不同二項(xiàng)分布的概率密度表格。Excel還可以對(duì)概率密度表和分布函數(shù)表生成條形圖和線圖，若試題難度系數(shù)0．5，學(xué)生事實(shí)會(huì)做的題目應(yīng)該有50道，因此會(huì)做的題目有50道，另外不會(huì)做的隨機(jī)選擇，正確率0．25，因此回答正確的題數(shù)為12．5，兩者相加可知最終得62．5分的概率最大。

4結(jié)束語

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題范文第3篇

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；案例教學(xué)法；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）20-0080-02

一、引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步與計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，無論在自然科學(xué)領(lǐng)域還是在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中，傳統(tǒng)的肯定性數(shù)學(xué)已經(jīng)不能合乎要求地解決所遇到的各類理論問題及應(yīng)用問題，因而在這個(gè)過程中隨機(jī)性數(shù)學(xué)即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展[1]。長(zhǎng)期以來，隨著概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在理論上不斷成熟與完善，它在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)等領(lǐng)域中的應(yīng)用日益廣泛和深入。當(dāng)今許多新興學(xué)科諸如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能等都以它為基礎(chǔ)；它與基礎(chǔ)學(xué)科相結(jié)合已發(fā)展出許多邊緣學(xué)科，如生物統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)物理、數(shù)理經(jīng)濟(jì)等?；谏鲜鰧?shí)際應(yīng)用背景，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要性越來越受到人們的重視。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程已成為理工科各專業(yè)大學(xué)生的一門必修課程，也是目前全國(guó)研究生入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)考試題中重要內(nèi)容之一。因此，學(xué)習(xí)與掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論與應(yīng)用，不僅是將來從事科學(xué)研究與工程實(shí)際工作的需要，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)與個(gè)人深造的需要，也是高度發(fā)展的現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)對(duì)現(xiàn)代化人才提出的基本要求[1]。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是研究和探索隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)科學(xué)。通過本課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)理工科學(xué)生靈活地運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論和方法處理和解決客觀世界中實(shí)際隨機(jī)現(xiàn)象問題的能力。然而，長(zhǎng)期以來以老師為中心的灌輸式、填鴨式的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)模式過于側(cè)重理論推導(dǎo)和計(jì)算技巧訓(xùn)練，忽視對(duì)學(xué)生解決問題的思想方法和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。在上述傳統(tǒng)教學(xué)活動(dòng)過程中學(xué)生往往只是被動(dòng)的聽眾，并沒有主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng)，不能充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，更談不上利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法去解決實(shí)際問題。因此，如何提高課堂效率和達(dá)到最佳教學(xué)效果成為從事此類教學(xué)工作的教師長(zhǎng)期關(guān)注和研究的問題。針對(duì)這種情況，許多高校都提出了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》案例教學(xué)法[2-4，6-9]，而如何在課堂上實(shí)施案例教學(xué)成為教學(xué)工作者研究的重點(diǎn)內(nèi)容。

結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，針對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)法存在的不足，筆者就在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的古典概型知識(shí)點(diǎn)的課堂教學(xué)中如何合理地應(yīng)用案例教學(xué)法提出自己的一些認(rèn)識(shí)和見解。

二、案例教學(xué)法的內(nèi)涵及優(yōu)勢(shì)

案例教學(xué)法自20世紀(jì)初被美國(guó)哈佛商學(xué)院倡導(dǎo)用于管理學(xué)教育以來，已被許多國(guó)家的教學(xué)實(shí)踐證明是一種具有啟發(fā)性、實(shí)踐性并有利于提高學(xué)生應(yīng)用能力和綜合素質(zhì)的教學(xué)方法[5]。

案例教學(xué)法是以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)方法，教師在教學(xué)過程中，根據(jù)課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)的需要，選擇含有問題或疑難情境在內(nèi)的真實(shí)發(fā)生的典型事件（案例），采用引導(dǎo)、啟發(fā)、參與等多種教學(xué)方式，通過深入分析、討論和交流的教學(xué)互動(dòng)過程，以設(shè)計(jì)者和激勵(lì)者的角色組織學(xué)生積極參與課前精心設(shè)計(jì)的案例所提供的客觀事實(shí)和問題的分析和討論，提出見解并做出判斷和決策，從而加深學(xué)生對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容理解和提高學(xué)生分析問題和解決問題能力的一種教學(xué)方法。案例教學(xué)法具有教學(xué)目的明確、引用案例客觀真實(shí)、對(duì)學(xué)生有深刻的啟發(fā)性、充分發(fā)揮學(xué)生主體性、較強(qiáng)的實(shí)踐性等特點(diǎn)，在實(shí)際教學(xué)過程中發(fā)揮著重要的作用[10]。

與傳統(tǒng)教學(xué)法相比，案例教學(xué)法具有明顯的優(yōu)勢(shì)[6]，具體包括：①有利于提高學(xué)習(xí)的趣味性；②有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性；③有利于提高學(xué)生的語言文字表達(dá)能力；④有利于培養(yǎng)學(xué)生交流和合作的意識(shí)；⑤有利于實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。同時(shí)，大量研究表明：案例教學(xué)法可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與積極性，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，從而達(dá)到“教”和“學(xué)”的互動(dòng)交流，增強(qiáng)師生之間的溝通，有助于生動(dòng)活潑的課堂氣氛的形成。

三、案例教學(xué)法在課堂教學(xué)中的應(yīng)用

1.案例教學(xué)法的應(yīng)用步驟。根據(jù)案例教學(xué)法的上述內(nèi)涵可知，案例教學(xué)法是在課堂教學(xué)中對(duì)案例進(jìn)行深入分析和討論的基礎(chǔ)上引入某一基本概念或理論知識(shí)，并不是簡(jiǎn)單地實(shí)例推理、求解，而這樣可以提高學(xué)生對(duì)這一知識(shí)的理解和掌握，進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決實(shí)際問題的能力。因此在課堂上應(yīng)用案例教學(xué)法時(shí)，通常要遵循以下幾個(gè)步驟。

（1）根據(jù)所講授的知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容，精選案例。案例與一般的例題不同，必須有產(chǎn)生問題的實(shí)際背景，并能夠?yàn)閷W(xué)生所理解，任何理想化的、脫離實(shí)際的例子都會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生，從而失去教學(xué)的意義，這是實(shí)施案例教學(xué)的前提條件。選出的案例要求主題突出、有理論深度，而且具有真實(shí)性、針對(duì)性、典型性和時(shí)代性，是大家共同感興趣的話題。總體而言，為了達(dá)到良好的教學(xué)效果，應(yīng)選擇與相應(yīng)專業(yè)比較貼近的案例，以便調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

（2）對(duì)挑選出的案例進(jìn)行問題設(shè)計(jì)，做好案例的討論、分析。案例的討論與分析是案例教學(xué)的中心環(huán)節(jié)。對(duì)案例進(jìn)行討論的目的是提出解決問題的途徑與方法，可以從自身角度出發(fā)來剖析案例，說明自己的觀點(diǎn)和看法。教師要掌握討論的進(jìn)程，讓學(xué)生成為案例討論的主體，同時(shí)把握好案例討論的重點(diǎn)和方向，進(jìn)行必要的引導(dǎo)。同時(shí)，在組織案例教學(xué)時(shí)要輔以各種有效的教學(xué)方法，如啟發(fā)式教學(xué)、討論式教學(xué)，讓學(xué)生積極參與，大膽發(fā)表意見，提出觀點(diǎn)，深入思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情及科研興趣，使案例教學(xué)效果達(dá)到最佳，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)原理解決實(shí)際問題的能力[2，7]。

（3）對(duì)所選的案例所解決的問題一定要進(jìn)行歸納總結(jié)。案例總結(jié)是保證和提高案例教學(xué)質(zhì)量的必備環(huán)節(jié)。對(duì)案例的總結(jié)一般要包括以下內(nèi)容：一是對(duì)討論過程進(jìn)行總結(jié)，對(duì)于一個(gè)案例，讓學(xué)生提出各種觀點(diǎn)及其案例所包含的概率統(tǒng)計(jì)原理，讓學(xué)生通過分析和評(píng)價(jià)案例，掌握正確處理和解決復(fù)雜多變的現(xiàn)實(shí)問題的思路與方法[2，7]；二是教師對(duì)案例中的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題作補(bǔ)充或提高性的闡述，指出學(xué)生在分析案例時(shí)存在的問題，并提出需要進(jìn)一步深入思考的問題[2，7]；三是教師自身在課后進(jìn)行總結(jié)分析，所選取的教學(xué)案例是否恰當(dāng)，與課堂知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合是否良好，案例教學(xué)是否達(dá)到了預(yù)期效果，存在哪些問題，以便加以改進(jìn)[7]。

2.案例教學(xué)法應(yīng)用實(shí)例。在教授古典概型時(shí)，可以采用如下步驟進(jìn)行案例教學(xué)。

（1）案例引入。引入擲骰子實(shí)驗(yàn)，提出的問題是：①實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果是什么，是否是有限的？②每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否是等可能出現(xiàn)的，概率為多少？③擲骰子擲出偶數(shù)點(diǎn)的概率是多少？

（2）案例分析與討論。首先，分析擲骰子的實(shí)驗(yàn)結(jié)果即樣本空間？贅={1，2，3，4，5，6}，從而得到實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是有限個(gè)；其次，討論每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否等可能的發(fā)生，經(jīng)過討論得出在骰子質(zhì)量均勻分布情況下，每個(gè)實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果都是等可能發(fā)生的，從而得出每個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率為■；然后，在第二個(gè)問題討論的基礎(chǔ)上，得出偶數(shù)點(diǎn)的出現(xiàn)概率為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為2、4、6的概率之和，即■+■+■=■=■。

（3）歸納總結(jié)。

（a）經(jīng)過歸納可知，擲骰子實(shí)驗(yàn)有兩個(gè)特點(diǎn)：①實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是有限的；②實(shí)驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果是等可能發(fā)生的。凡是滿足上述兩個(gè)特點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)，都屬于古典概型的范疇，從而引入了古典概型的概念。為了加深學(xué)生對(duì)古典概型的認(rèn)識(shí)，也可以對(duì)拋硬幣、抽取產(chǎn)品、買彩票等實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析，以判斷它們是否為古典概型。

（b）授課教師在課堂上通過引導(dǎo)學(xué)生參與討論與分析，總結(jié)出古典概型中事件A的概率計(jì)算公式，即

P（A）=■

（4）實(shí)例應(yīng)用。在公園門口，一個(gè)擺地?cái)偟馁€主將8個(gè)白色的、8個(gè)紅色的乒乓球放在袋子里。賭主規(guī)定：自愿摸彩者在交1元錢的“手續(xù)費(fèi)”后，可一次性從袋子中摸出5個(gè)球；在摸出的5個(gè)乒乓球中，有5個(gè)紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元，有4個(gè)紅球獎(jiǎng)勵(lì)2元，有3個(gè)紅球獎(jiǎng)勵(lì)價(jià)值5角的紀(jì)念品，而僅有1個(gè)或2個(gè)紅球則無任何獎(jiǎng)勵(lì)。由于本錢較少，許多圍觀者都躍躍欲試，有的竟連摸數(shù)十次，結(jié)果許多人“乘興而摸，敗興而歸”，獲獎(jiǎng)?wù)吡攘葻o幾，這是怎么一回事呢？請(qǐng)計(jì)算能獲得20元和2元獎(jiǎng)勵(lì)的概率分別是多少？假如每天按摸球1000次計(jì)算，賭主一天可掙多少錢？

分析：由題意分析可得，從袋子中取球?qū)儆诠诺涓判停虼嗣郊t球的概率計(jì)算可采用上述古典概型事件概率計(jì)算公式。從袋子中摸出5個(gè)球的情況共有C■■種，摸到5個(gè)紅球的情況有種C■■，摸到4個(gè)紅球的情況有種C■■C■■，摸到3個(gè)紅球的情況有種C■■C■■。因此，摸獎(jiǎng)?wù)攉@得20元獎(jiǎng)金的概率為C■■/C■■=0.0128，獲得2元獎(jiǎng)金的概率為C■■C■■/C■■=

0.128，獲得紀(jì)念品的概率為C■■C■■/C■■=0.359。由此可以看出，摸獎(jiǎng)?wù)攉@得20元和2元獎(jiǎng)金的概率都比較低，所以許多人都“乘興而摸，敗興而歸”。假定一天摸球1000次，按照上述計(jì)算得到的概率值，獲得20元獎(jiǎng)金的次數(shù)為13次，獲得2元獎(jiǎng)金的次數(shù)為128次，獲得紀(jì)念獎(jiǎng)的次數(shù)為359次，因此賭主支付的獎(jiǎng)金總額為13×20+128×2+359×0.5=695.5元，而賭主收到的摸彩手續(xù)費(fèi)為1000元，則賭主一天可掙1000-695.5=304.5元。

從上述實(shí)例中可以看出，摸彩是一種欺詐行為，賭主保贏不輸。通過上述案例教學(xué)，學(xué)生在課堂上不僅學(xué)習(xí)了新知識(shí)，還增強(qiáng)了自身對(duì)社會(huì)詐騙行為的防范意識(shí)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

四、案例教學(xué)法的應(yīng)用效果

與傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)方法相比，案例教學(xué)法可以充分發(fā)揮教學(xué)互動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)，體現(xiàn)學(xué)生是教學(xué)主體，使原本枯燥刻板的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論變得直觀易懂。教師結(jié)合案例的應(yīng)用，用通俗易懂的教學(xué)方式將這些理論講細(xì)、講透，讓學(xué)生真正理解并掌握案例所涉及的理論知識(shí)，從而降低專業(yè)課的理論難度；案例教學(xué)法的討論模式既豐富了教學(xué)形式，又要求學(xué)生靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，模擬解決實(shí)際問題，促使學(xué)生主動(dòng)思考、分析、解決問題；同時(shí)，學(xué)生間、師生間的合作分析與研討還可以鍛煉和提高學(xué)生合作共事與交流協(xié)作的能力[8，9]。

與其他教學(xué)法相比，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課堂教學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)法可以更好地加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解和對(duì)理論與方法的掌握；實(shí)施案例教學(xué)法可以顯著提高學(xué)生對(duì)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的學(xué)習(xí)積極性與主動(dòng)性，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力、語言表達(dá)能力，從而取得良好的教學(xué)效果。

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題范文第4篇

Abstract Statistical inference plays a central location in the current scientific research. The course of probability theory and mathematical statistics is a introductory course of statistical inference， it is especially important to correctly grasp the nature of basic concepts of probability theory and mathematical statistics for those students who will engage in research works in the future. Based on the current syllabus of probability theory and mathematical statistics， this paper explores some of concepts which are easy to overlook their nature by students while they are studying， combined with practical examples to further understand the nature of the concepts.

Keywords Independence； conditional probability； correlation coefficient； digital features； maximum likelihood estimation

2002年美國(guó)國(guó)家基金委組織了有關(guān)“當(dāng)前和顯露出來的概率論學(xué)科中研究機(jī)遇”的系列報(bào)告，指出概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在當(dāng)前已是一門核心數(shù)學(xué)學(xué)科，其概率推理理論在目前不同學(xué)科中解決其研究問題有著顯著功效，其理論研究的重要性也呈現(xiàn)爆炸性的增長(zhǎng)。[1]然而，鑒于目前相當(dāng)一部分科研論文中使用的統(tǒng)計(jì)方法存在概念性的錯(cuò)誤，[2]國(guó)際著名的學(xué)術(shù)期刊《科學(xué)》在2014年表示將增加一個(gè)特別的統(tǒng)計(jì)學(xué)專家團(tuán)隊(duì)來檢驗(yàn)投稿論文中的統(tǒng)計(jì)方法是否有誤。[3]其他重要的學(xué)術(shù)刊物，包括《自然》也相繼提出了一些檢查方案來保證論文中統(tǒng)計(jì)方法的使用得當(dāng)。[4]統(tǒng)計(jì)推理應(yīng)用的廣泛性同基本概念錯(cuò)誤理解之間的尖銳矛盾提示研究者在學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)推理理論時(shí)不能停留在概念的表象，需要深入理解其本質(zhì)內(nèi)涵。2015年研究生入學(xué)考試的數(shù)學(xué)（一）科目中統(tǒng)計(jì)推理部分的試題就能很好的考察學(xué)生是否真正掌握了統(tǒng)計(jì)推理基本概念的本質(zhì)。2015年研究生入學(xué)考試的數(shù)一試卷中概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容一共是34分，內(nèi)容覆蓋了隨機(jī)事件性質(zhì)，概率分布，數(shù)值特征計(jì)算，假設(shè)檢驗(yàn)等內(nèi)容。從題目的難易程度來講，在掌握基本概念內(nèi)涵的前提下，基本上不存特別難的題目。但在筆者小范圍的調(diào)查表明，越是考察基本概念的題越是失分嚴(yán)重，反而有固化解題步驟的題目得分就較多。針對(duì)目前統(tǒng)計(jì)推理的重要性和基本概念理解不夠透徹的普遍問題，再一次為我們從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)工作者提出了一個(gè)在教學(xué)中一直強(qiáng)調(diào)的問題，如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中抓住基本概念的內(nèi)在實(shí)質(zhì)。結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)大綱，以及近幾年的教學(xué)過程中學(xué)生的反饋和自己的思考，針對(duì)大學(xué)本科工科概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分教學(xué)中的一些基本概念內(nèi)涵教學(xué)做一個(gè)初步探討。

1 隨機(jī)事件之間相互獨(dú)立的本質(zhì)是隨機(jī)事件概率的獨(dú)立性

隨機(jī)事件之間存在多種關(guān)系，其中互斥（互不相容）和相互獨(dú)立在概率論的學(xué)習(xí)中使用最多，學(xué)生也最容易混淆。當(dāng)內(nèi)容延伸到隨機(jī)變量時(shí)，隨機(jī)變量的相互獨(dú)立和隨機(jī)變量間的相關(guān)性又會(huì)帶來混淆。在講授這些定義時(shí)，若強(qiáng)調(diào)其本質(zhì)并加以對(duì)比就能使學(xué)生比較容易區(qū)分隨機(jī)事件之間的不同關(guān)系描述的差異。首先是定義的范圍不同，互斥關(guān)系定義在樣本空間中，反映事件的集合性質(zhì)；而相互獨(dú)立和相關(guān)性是定義在事件概率的數(shù)值關(guān)系中，反映事件間的概率屬性。其次相互獨(dú)立表述是事件概率的一般數(shù)值關(guān)系，而相關(guān)性表述的是事件的線性關(guān)系。通過強(qiáng)調(diào)隨機(jī)事件相互獨(dú)立的本質(zhì)是隨機(jī)事件概率的獨(dú)立性，就能辨別隨機(jī)事件互斥同隨機(jī)事件獨(dú)立之間的關(guān)系：兩事件互斥推導(dǎo)不出它們相互獨(dú)立，同時(shí)兩事件相互獨(dú)立也推導(dǎo)不出它們互斥。通過強(qiáng)調(diào)隨機(jī)事件相互獨(dú)立反映隨機(jī)事件概率間的一般數(shù)值關(guān)系，就能辨別隨機(jī)事件相互獨(dú)立同相關(guān)性之間的區(qū)別：隨機(jī)變量相互獨(dú)立可以推?С鏊?們之間不相關(guān)，但是反之不行。[5]

2 條件概率同普通概率定義本質(zhì)的統(tǒng)一性

條件概率定義為：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P（A）>0，則有事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為P（B|A）=P（AB）|P（A）。該定義明確直觀，易于使用，在實(shí)際使用時(shí)一般都是基于單個(gè)事件概率已知前提下求條件概率，但是通過挖掘其本質(zhì)，并同普通事件的概率建立關(guān)聯(lián)，那么在使用的時(shí)候不會(huì)再將條件概率同一般事件概率割裂，而會(huì)形成一個(gè)統(tǒng)一概念。對(duì)于任意隨機(jī)事件C，記其概率為P（C），當(dāng)同條件概率的定義建立聯(lián)系時(shí)，我們引入樣本空間S，則有P（C）=P（C|S）=P（CS）/P（S）=P（CS）。通過這種變化形式可有效的解決特定事件概率不易求解的問題；同樣，這也是全概公式的實(shí)質(zhì)所在。

實(shí)例1：設(shè)2人抓鬮，一共5個(gè)鬮，其中2個(gè)鬮中寫有“是”字，三個(gè)空白。問抓鬮是否同次序有關(guān)。

解析：分析可知所求為依次抓鬮時(shí)抓到“是”的概率是否相同。

設(shè)A1，A2分別為第1，2個(gè)人抓到“是”字的事件。則有

P（A1）=2/5

故抓鬮同次序無關(guān)。該方法可以延伸到更多人數(shù)抓鬮的問題。

3 二維正態(tài)隨機(jī)變量同一維正態(tài)隨機(jī)變量之間的紐帶關(guān)系――相關(guān)系數(shù)

正態(tài)隨機(jī)變量有許多優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，也是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中重點(diǎn)的分布。學(xué)生一般對(duì)于一維的正態(tài)分布有較深刻的認(rèn)識(shí)，但是一旦擴(kuò)展到了二維及二維以上的正態(tài)分布時(shí)就不容易掌握。而二維正態(tài)分布同一維正態(tài)分布之間有很強(qiáng)的相關(guān)性；比如（X，Y） 符合二維正態(tài)分布，則其關(guān)X于和關(guān)于Y的邊緣分布就是一維正態(tài)分布。二維正態(tài)分布的求解在一些特定場(chǎng)合可以轉(zhuǎn)化為一維正態(tài)分布的求解，其紐帶關(guān)系就是相關(guān)系數(shù)。二維正態(tài)分布中，X，Y相互獨(dú)立的充分必要條件是X，Y相關(guān)系數(shù)為零。當(dāng)二維正態(tài)隨機(jī)變量中相關(guān)系數(shù)為零，則二維正態(tài)隨機(jī)便分解成兩個(gè)獨(dú)立的一維正態(tài)分布隨機(jī)變量的乘積。

實(shí)例2：設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）服從正態(tài)分N（1，0；1，1，0）布，則P（XYY

解析：因?yàn)椋╔，Y）～N（1，0；1，1，0），其中X，Y，相關(guān)系數(shù)為0

故有X～N（1，1），Y～N（0，1），且X，Y相互獨(dú)立

進(jìn)而有X1～N（0，1），且與Y相互獨(dú)立

故由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)可得到結(jié)果

P（XYY

4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征是常量

隨機(jī)變量的分布一旦確定，其數(shù)值特征是常量；在實(shí)際的使用中，一般不會(huì)明確隨機(jī)變量的分布形式，只是指稱隨機(jī)變量符合某種分布，在這個(gè)前提下，隨機(jī)變量的數(shù)值特征一般用一個(gè)符號(hào)表示。如果不知曉隨機(jī)變量的數(shù)值特征是一個(gè)常量，在解題的過程就會(huì)發(fā)生把數(shù)值特征當(dāng)作變量使用。在教學(xué)的過程中一定要多次強(qiáng)調(diào)此概念。尤其在講授方差計(jì)算公式的時(shí)候，可以通過對(duì)其的證明來強(qiáng)調(diào)隨機(jī)變量的數(shù)值特征是常量這一概念。[5]

在此強(qiáng)調(diào)E（X）是一常量，并且也附加強(qiáng)調(diào)D（X）也是一常量，類似于數(shù)字特征性質(zhì)中常數(shù)符號(hào)a，進(jìn)而就可以利用已學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得證。

5 最大似然估計(jì)方法其本質(zhì)是使得似然函數(shù)取最大值時(shí)未知參數(shù)的取值就為該未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值

在常規(guī)最大似然估計(jì)方法的教學(xué)中，一般會(huì)總結(jié)該方法為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的流程，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候也會(huì)以記憶該流程作為最終的目的，當(dāng)解題的條件稍微偏離常規(guī)的流程，?W生就不知所措，不知道該如何處理；如果我們?cè)诮虒W(xué)的過程中首先讓學(xué)生明確最大似然原理的本質(zhì)意義，就會(huì)依據(jù)最大似然原理來對(duì)常規(guī)流程做一變通。2015年考研的最后一個(gè)題就很好的體現(xiàn)這種思維。

實(shí)例4：設(shè)總體X的概率密度為：

其中 為未知參數(shù)，X1，X2，……，Xn為，來自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。求 的最大似然估計(jì)量（2015年研究入學(xué)考試題23.II）。

解析：該題目的求解目的非常清楚，按照解題流程按步推進(jìn)。

到了這一步發(fā)現(xiàn)對(duì)似然函數(shù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)并不能使之為0，有些同學(xué)就卡到了這兒。如果學(xué)生知道這步對(duì)似然函數(shù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)的目的是什么，就可輕易獲得 的估計(jì)量。第二步的目的通過求解似然函數(shù)獲得最大值時(shí)未知參數(shù) 的取值，也就是該未知參數(shù) 的估計(jì)量。既然不能為零，那么我們就探討下這個(gè)求導(dǎo)后所得函數(shù)的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)該導(dǎo)數(shù)函數(shù)是關(guān)于 單調(diào)增加；而由題目中的定義知 的取值范圍為： ≤x≤1，那么我們就能獲取 的估計(jì)量為：=min{x1，x2，…，xn}。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題范文第5篇

關(guān)鍵詞：小概率事件 小概率事件原理 啟示

在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中，我們涉及到小概率事件一詞，下面我們就來具體談?wù)動(dòng)嘘P(guān)小概率事件的原理及其應(yīng)用。

在中國(guó)五千年的文化長(zhǎng)河中，流傳著許多諸如“常在河邊走，哪有不濕鞋”、“常走山路必遇虎”的諺語，典故，它體現(xiàn)了很強(qiáng)的哲學(xué)思想。兒時(shí)，常對(duì)這些諺語感到不知所云，難解其意?，F(xiàn)在看來，這些諺語從數(shù)學(xué)角度來講，說的就是小概率事件。意思是：一個(gè)人如果總在河邊走的話，總有一天鞋會(huì)被水弄濕的。一個(gè)人往山上走一次，遇見老虎的可能性很小，但是如果常往山上走，遇見老虎的可能性就很大，總有一天會(huì)遇見老虎的。

在例如，有一個(gè)人在山里丟煙頭，他認(rèn)為丟煙頭引起火災(zāi)是不可能的。的確是這樣，對(duì)他來說丟一個(gè)煙頭（做一次試驗(yàn)）引起火災(zāi)這件事是小概率事件，但他忽略了另一方面，如果人人都亂丟煙頭（不斷的獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)），則火災(zāi)（小概率事件）遲早會(huì)發(fā)生的概率為1（幾乎一定要發(fā)生），這是人人皆知的。

1.小概率事件的原理

小概率事件應(yīng)從兩方面認(rèn)識(shí)它：一方面由實(shí)際推斷原理知道，小概率事件A在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的；另一方面，在不斷地獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，小概率事件A遲早發(fā)生的概率為1。

前者是講：在實(shí)踐中，人們總結(jié)到“概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的”，這一經(jīng)驗(yàn)稱為“實(shí)際推斷原理”。事實(shí)上，“小概率事件”通常是指發(fā)生概率在0.01以下或0.05以下的事件。這兩個(gè)值稱為小概率標(biāo)準(zhǔn)，主要是為了查表方便，沒有其他特別的含義。對(duì)于這類實(shí)驗(yàn)來說，在大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)中，平均每100次或20次才發(fā)生一次，所以認(rèn)為在一次實(shí)驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。后者是講：盡管“小概率事件”，在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎不發(fā)生，但如果實(shí)驗(yàn)的次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的。

2.小概率事件原理的應(yīng)用

2.1在一次實(shí)驗(yàn)中小概率事件幾乎不發(fā)生

數(shù)學(xué)中的小概率原理認(rèn)為：在一次實(shí)驗(yàn)中，概率很小的事件實(shí)際上不可能發(fā)生。這個(gè)“很小”，一般理解為在個(gè)別事件中發(fā)生的概率小于5，這樣的事件稱為小概率事件。小概率事件在一次事件中認(rèn)為是不可能發(fā)生的。如果在一次實(shí)驗(yàn)中，某個(gè)小概率事件發(fā)生了，則認(rèn)為出現(xiàn)了不合理的現(xiàn)象，由此可以推斷原來的條件或假設(shè)是錯(cuò)誤的。

這個(gè)小概率原理就是我們假設(shè)檢驗(yàn)這一章理論依據(jù)。

小概率原理的推斷方法是概率性質(zhì)的反證法，首先提出假設(shè)，繼而根據(jù)一次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，最后按一定的概率標(biāo)準(zhǔn)作出鑒別。

其一般程序是：

第一步：先根據(jù)問題的題意提出原假設(shè)H0;

第二步：然后在原假設(shè)H0 成立的條件下，尋找與問題有關(guān)的小概率事件A,并進(jìn)行一次試驗(yàn)；

第三步：再觀察試驗(yàn)結(jié)果，看A是否發(fā)生？若發(fā)生則與小概率事件在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生原理矛盾，從而拒絕原假設(shè)H0，否則只能接受原假設(shè)H0。

案例：對(duì)盤踞在孤島上敵軍實(shí)施海上封鎖。為打擊敵物資貨運(yùn)船隊(duì)，需對(duì)敵船隊(duì)運(yùn)輸規(guī)律作準(zhǔn)確推斷。在某星期的空中偵察中，發(fā)現(xiàn)那一星期的敵船的12次偷運(yùn)都是在星期二和星期四進(jìn)行的。

問敵船在偷運(yùn)時(shí)間是否曾作過規(guī)定？

解：（1）假設(shè)敵船在偷運(yùn)時(shí)間上沒有規(guī)定，故應(yīng)認(rèn)為每次偷運(yùn)在一星期的任一天進(jìn)行是等可能的。這時(shí)事件A：“12次偷運(yùn)都在星期二或星期四進(jìn)行”發(fā)生的概率P（A）=212/712≈0.0000003，即千萬分之三。這是一個(gè)小概率事件。千萬分之三意味1000萬個(gè)星期中大概只有約三個(gè)星期發(fā)生這種事件，因此這個(gè)事件在一次試驗(yàn)（檢查）中不會(huì)發(fā)生的，而現(xiàn)在一次偵察試驗(yàn)中發(fā)生了，這種不正?，F(xiàn)象的發(fā)生只能說明假設(shè)有問題，故可推斷敵船在偷運(yùn)時(shí)間上有規(guī)定。

在假設(shè)檢驗(yàn)的問題中，幾乎沒有一個(gè)絕對(duì)可靠的判斷，因?yàn)椤皸壵妗迸c“存?zhèn)巍边@兩類錯(cuò)誤總是與之相伴，所以，作任何判斷、任何結(jié)論都要承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，并且風(fēng)險(xiǎn)無法避免。那么怎樣才能將風(fēng)險(xiǎn)降到最低程度？數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一般就用“小概率原理”的“小”來度量和控制這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)的程度。

2.2在不斷重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)中，小概率事件遲早發(fā)生的概率為1。

這種推斷的理論依據(jù)是：

問題：設(shè)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中某一事件A出現(xiàn)的概率為?著（?著

證明：A遲早會(huì)出現(xiàn)的意思是，只要試驗(yàn)次數(shù)無限增多，A總會(huì)出現(xiàn)。

設(shè)AK={A于第k次試驗(yàn)中出現(xiàn)}，則

P(AK)=?著，P(AK)=1-?著，

則在前n次試驗(yàn)中A都不出現(xiàn)的概率為

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)=(1-?著)n

于是，在前n次試驗(yàn)中A至少出現(xiàn)一次的概率為

Pn=1-P(A1A2…An)=1-(1-?著)n

把次試驗(yàn)一次接一次的做下去，即讓n∞，由于0

上述證明用到的事件的獨(dú)立性的定義。

例如：用步槍射擊飛機(jī)，飛機(jī)被擊中的概率為0.004（很?。?50支步槍同時(shí)射擊時(shí)，飛機(jī)被擊中的概率為：P=1-(1-0.004)250=1-0.996250≈0.63（不太?。?。

一般地，設(shè)事件A發(fā)生的概率為P>0，不論P(yáng)怎樣小，n次獨(dú)立試題中A會(huì)發(fā)生的概率Pn=1-(1-P)n，當(dāng)n∞時(shí)，總有Pn1，即當(dāng)大量進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，A幾乎一定會(huì)發(fā)生。

3.日常生活中的啟示

小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的。在實(shí)際生活中，我們知道雷電傷人是小概率事件，飛機(jī)失事是小概率事件，這些小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的。但是小概率事件并不是絕對(duì)的在一次實(shí)驗(yàn)中不發(fā)生，它還有可能發(fā)生。如果小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生了，通常人們把它叫做意外。對(duì)這些不利因素的小概率事件，我們要警惕它的存在性，防患于未然。

另一方面，小概率事件在多次實(shí)驗(yàn)中遲早會(huì)發(fā)生的。在平常的生活中，人們常常用“水滴石穿”， “只要功夫深，鐵杵磨成針”來形容有志者是竟成，如果用一滴水來擊石，一次實(shí)驗(yàn)要把石頭擊穿是小概率事件，但是如果次數(shù)多了，按照上述證明，石頭被水擊穿還是有可能的。由這個(gè)例子可以看出，一件微不足道的小事，只要你堅(jiān)持做下去就會(huì)產(chǎn)生不可思議的結(jié)果。所以我們?cè)谧非竽繕?biāo)實(shí)現(xiàn)的過程中，不必放棄每一次努力。

參考文獻(xiàn)：