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函數(shù)值域范文第1篇

通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域.

例1求函數(shù)y=3+2-3x的值域.

點(diǎn)撥根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出2-3x的值域.

解由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知2-3x≥0，

故y=3+2-3x≥3.

所以函數(shù)的知域?yàn)椋?,+∞).

點(diǎn)評算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性.

本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法.

二、配方法

當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域

例2求函數(shù)y=x2+x+2的值域.

點(diǎn)撥將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求.

解由y=-x2+x+2,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈［－1，2］.

此時(shí)-x2+x+2=-(x-12)2+94∈［0,94］.

所以0≤-x2+x+2≤32,函數(shù)的值域是［0,32］.

點(diǎn)評求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,更要注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用.配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法.

三、判別式法

若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域.

例3求函數(shù)y=2x2-2x+3x2+x+1的值域.

點(diǎn)撥將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域.

解將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0.（）

當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0，

解得2

當(dāng)y=2時(shí),方程（)無解.所以函數(shù)的值域?yàn)?2,103］.

點(diǎn)評把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)實(shí)數(shù)，可求得函數(shù)的值域.常適應(yīng)于形如：y=ax2+bx+cdx2+ex+f及y=ax+b±cx2+dx+e的函數(shù).

四、中間變量法

若函數(shù)只含x2項(xiàng)或只含sinx,cosx項(xiàng)，可借助x2≥0,0≤|sinx|≤1（有界性）解決.

例4求函數(shù)y=x2+4x2-1的值域.

解由y=x2+4x2-1得x2=y+4y-1.又由x2≥0得y+4y-1≥0，解得y≤-4或y>1.所以函數(shù)值域?yàn)?-∞,-4］∪(1,+∞).

五、圖象法

通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域.

例5求函數(shù)y=|x+1|+(x-2)2的值域.

點(diǎn)撥根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象.

解原函數(shù)化為y=-2x+1

3

2x-1(x≤1),

(-1

(x>2).

作出它的圖象（略）.

顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域?yàn)椋?，+∞）.

點(diǎn)評分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn).利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.是解決問題的重要方法.

求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域.

六、單調(diào)性法

利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域.

例6求函數(shù)y=4x-1-3x(x≤13)的值域.

點(diǎn)撥由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)=-1-3x，y=f(x)+g(x),其定義域?yàn)閤≤13，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域.

解設(shè)f(x)=4x,g(x)=-1-3x(x≤13),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x-1-3x

在定義域{x|x≤13}上也為增函數(shù)，而且y≤f(13)+g(13)=43,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)椋鹹|y≤43｝.

點(diǎn)評利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域.

七、換元法

以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域.

例7求函數(shù)y=x-3+2x+1的值域.

點(diǎn)撥通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域.

解設(shè)t=2x+1(t≥0),則x=12(t2-1).于是

y=12(t2-1)-3+t=12(t+1)2-4

≥12-4=-72.

所以原函數(shù)的值域?yàn)椋?72,+∞).

函數(shù)值域范文第2篇

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);值域;求法

一、可化為y=asin(ωx+φ)+b(ω>0)型

例1 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.

解： y=1-cos2x2+sin2x+3·1+cos2x2

=sin2x+cos2x+2

=2sin(2x+π4)+2

y∈［2-2,2+2］

二、可化為二次函數(shù)

例2 求y=3+cosx-2sin2x的值域

解： y=3+cosx-2sin2x=2cos2x+cosx+1

因?yàn)閏osx∈［-1,1］,所以y∈［78，4］.

三、反解法

例3 求y=3cosx+42cosx-1的值域

解: 因?yàn)?ycosx-2y=3cosx+4

所以（2y-3)cosx=2y+4.

所以cosx=2y+42y-3.

|cosx|=|2y+42y-3|≤1

解得： y∈(-∞,-13］∪［7,+∞)

四、當(dāng)式子中同時(shí)含有sinx±cosx,時(shí)，常使用換元法

例4 當(dāng)x∈［0,π］,求y=sin2x+sinx-cosx的值域.

簡解:sinx-cosx=t=2sin(x-π4)∈［-1,2］

所以2sinxcosx=1-t2

所以y=-t2+t+1∈［-1,54］

五、配對法

例5 已知：sinx+siny=1，求cosx+cosy的范圍.

cosx+cosy=t (1)

sinx+siny=1(2) 兩式平方相加得：

2cos(x-y)=t2-1∈［-2,2］

所以t∈［-3,3］.

六、三角函數(shù)也是函數(shù)，所以其他一些函數(shù)值域的求法對于求三角函數(shù)的值域照樣適用

如分離常數(shù)法：

例6 若cos2x+2msinx-2m-2

簡解：整理得：2m>sin2x+1sinx-1，

sinx-1=t∈［-1,0)

所以2m>t+2t+2，因?yàn)?t+2t+2)max=-1.

所以m>-12.

巧用“對比法”解題

江蘇靖江季南初中(214523)  陳一平

對比法：把兩個(gè)或兩個(gè)以上的事物進(jìn)行比較，找其共同點(diǎn)與不同點(diǎn)的進(jìn)行解題的方法.對比法是最基本的思維，也是解題方法.它有時(shí)會使思維、解題一清二楚，直接明了.

例1 橫河九年級物理興趣小組的同學(xué)在研究“沙子和水誰的吸熱本領(lǐng)大”時(shí)，選用了兩只完全相同的酒精燈分別給質(zhì)量都是200 g的沙子和水加熱.他們繪制出沙子與水的溫度隨加熱時(shí)間變化的圖象如圖1所示. 已知酒精的熱值是3.0×107 J/kg，水的比熱容4.2×103 J/(kg·℃)，加熱時(shí)酒精燈平均每分鐘消耗0.8 g酒精.那么請問：

(1)圖中a圖和b圖哪個(gè)是沙子吸熱升溫的圖象?為什么?

(2)請根據(jù)圖象說出水在受熱過程中溫度變化的特點(diǎn).

(3)加熱滿2 min時(shí),水吸收了多少熱量?

(4)給水加熱持續(xù)了10 min時(shí)間,共消耗了多少酒精?這些酒精如果完全燃燒將放出多少熱量?

(5)試求出沙子的比熱容.

圖1解：(1) 圖a表示的是沙子吸熱升溫的過程，因?yàn)樯匙拥谋葻岜人。障嗤瑹崃繒r(shí)沙子溫度升得多.

(2) 水在受熱過程中溫度變化呈先快后慢，至沸騰時(shí)溫度保持不變的特點(diǎn)

(3) Q吸=c·m·Δt=4.2×103 J/(kg·℃)×0.2 kg×(70 ℃－20 ℃)=4.2×104 J

(4) m=0.8 g×10=8 g

Q放=mq=8×10-3 kg×3.0×107 J/kg

=2.4×105 J

分析：其中（1）（2）（3）（4）解題如上，不再多贅.

（5）的解題部分同學(xué)解題如下：

取t=2 min，Q沙吸=Q放=mq=1.6×10-3 kg×3.0×107 J/kg=4.8×104 J

C沙=Q沙mΔt=4.8×104 J/0.2 kg×(250 ℃-20 ℃)=1043.5 J/(kg·℃)

理由是：根據(jù)圖象、題意，取t=2 min，Q放=mq，酒精燃燒放出的熱量可以求出，放出的熱量是供沙子升溫的，且題目沒有給出沙子吸收的熱量是酒精燃燒放出的熱量的百分比，那沙子吸收的熱量就等于酒精燃燒放出的熱量.所以解題如此.如果我們采用“對比法”，就會正確找到沙子在t=2 min內(nèi)吸收的熱量了.

共同點(diǎn)：①沙子與水的質(zhì)量都是200 g；②兩只完全相同的酒精燈同時(shí)加熱.

不同點(diǎn)：①加熱對象分別是沙子、水； ②圖象中可以看出在相同時(shí)間內(nèi)沙子與水升溫不同

再根據(jù)蘇科版物理九年級上P41的信息快遞：如果加熱方法完全相同，就可以認(rèn)為單位時(shí)間內(nèi)物質(zhì)吸收的熱量相同.取t=2 min，就很快找到沙子吸收的熱量等于水吸收的熱量4.2×104 J了，這個(gè)熱量小于1.6 g酒精燃燒放出的熱量4.8×104 J.題目的難點(diǎn)就會突破，解題也就豁然開朗、水落石出了.

函數(shù)值域范文第3篇

關(guān)鍵詞： 函數(shù) 定義域 值域 值域的求解方法

設(shè) 是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系 ，使對于集合 中的任意一個(gè)數(shù) ，在集合 中都有唯一確定的數(shù) 和它對應(yīng)，那么就稱 為從集合 到集合 的一個(gè)函數(shù)，記作 ，其中 叫做自變量。 的取值范圍 叫做函數(shù)的定義域；與 的值相對應(yīng)的 的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 叫做函數(shù)的值域

由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。其中函數(shù)的值域是一個(gè)較復(fù)雜的問題，又是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。總體來講，求函數(shù)的至于要注意以下幾點(diǎn)：（1）值域的概念，即與 的值相對應(yīng)的函數(shù)值的集合 ；（2）函數(shù)的定義域。當(dāng)題目中未明確給出函數(shù)的定義域時(shí)，應(yīng)先求出函數(shù)的定義域，在定義域的范圍內(nèi)求函數(shù)的值域；（3）函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的值域時(shí)，常常借助函數(shù)的最值來求解，而求函數(shù)的最值時(shí)，對函數(shù)的單調(diào)性的討論往往是必不可少的；（4）函數(shù)的解析式。在求函數(shù)的值域時(shí)，往往要根據(jù)所給函數(shù)的解析式的形式，使用相應(yīng)的方法。具體常用的求函數(shù)值域的方法如下：

（1）觀察法

對于一些簡單的常見的函數(shù)，通過觀察就可以求出其值域。例如我們熟悉的一次函數(shù)的定義域是 ，值域也是 ；反比例函數(shù) 的定義域?yàn)?，值域?yàn)?。

（2）配方法（或公式法）

（3）換元法

（4）分離常數(shù)法

（5）利用函數(shù)的單調(diào)性求值域

例5. 求函數(shù) 的值域

解：由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?和 在 上均為增函數(shù)，故原函數(shù)為 上的增函數(shù).所以 ，故原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

（6）利用函數(shù)的最值求值域

對于區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，利用求函數(shù)最大值和最小值來求函數(shù)的值域。

總之，同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)多注意積累，善于總結(jié)，從而在求解函數(shù)值域的問題中，才能迅速找到求解此類問題的比較簡單且合適的方法。

函數(shù)值域范文第4篇

我們知道，單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，只要了解了一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，就可求出其值域. 同樣，了解了一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，即可作出函數(shù)的大致圖象，由圖象法求其值域. 因此，這兩種方法均可作為求函數(shù)值域的通法. 只是對于單調(diào)函數(shù)來說，作圖已經(jīng)沒有必要，直接由單調(diào)性法求值域更為輕松；而對于非單調(diào)函數(shù)來說，雖然也可由單調(diào)性法解決，但圖象法往往更為簡單. 因此，筆者認(rèn)為，可將判斷函數(shù)的單調(diào)性作為思維的起點(diǎn)，將作出函數(shù)的圖象作為思維的終點(diǎn)，而將換元法和導(dǎo)數(shù)法作為溝通起點(diǎn)或終點(diǎn)之間的“使者”，以此來構(gòu)建函數(shù)值域問題的思維路線. 具體步驟為：首先判斷函數(shù)y=f（x）（x∈D）在D（可以是函數(shù)的定義域，也可以是定義域的某個(gè)子區(qū)間）上是否單調(diào)，若是，則用函數(shù)單調(diào)性法求解；若不是，對于基本初等函數(shù)或通過換元可轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，用圖象法解決，而對于無法通過換元轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，則先用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，然后再由圖象法求解. 下面筆者先介紹有關(guān)方法，然后舉例佐證.

1. 函數(shù)單調(diào)性法求值域的依據(jù)

（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D=[a，b]（a

（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D=[a，b]=[a，c]∪[c，b]（a

函數(shù)值域范文第5篇

函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的。如：

例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得： 故函數(shù)關(guān)系式為：．

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量的范圍：即函數(shù)關(guān)系式為： （）

這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實(shí)際問題的影響。若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生的思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。

函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤。如：

例2：求函數(shù)在[－2，2]上的最值．

解：

當(dāng)時(shí)，

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。

其實(shí)以上結(jié)論只是對二次函數(shù)在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間上，它的最值應(yīng)分如下情況：

⑴ 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增函數(shù)；

⑵ 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減函數(shù)；

⑶ 當(dāng)時(shí)，在上最值情況是：

，．即最大值是中最大的一個(gè)值。

故本題還要繼續(xù)做下去：

函數(shù)在[－2，2]上的最小值是－ 4，最大值是3．

這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。

函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，值域也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

例3：求函數(shù)的值域．

錯(cuò)解：令故所求的函數(shù)值域是．

剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有，而函數(shù)在[0,+∞)上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=1．

故所求的函數(shù)值域是[1, +∞）．

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域上進(jìn)行。如：

例4：指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解：先求定義域： 函數(shù)定義域?yàn)椋?，知在上時(shí)，u為減函數(shù)，在上時(shí)，u為增函數(shù)。又函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間是。