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垂直與平行范文第1篇

人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)第四單元“垂直與平行”。

教學(xué)目標(biāo)

1.認(rèn)識(shí)同一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊位置關(guān)系，初步認(rèn)識(shí)垂線和平行線

2.通過(guò)學(xué)生自主探究、合作交流，感知平行與垂直的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和空間想象能力，以及抽象概括的能力

3.培養(yǎng)學(xué)生合作探究意識(shí)，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系

教學(xué)重點(diǎn)

正確理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念。

教學(xué)難點(diǎn)

理解“同一平面內(nèi)”“不相交”。

教學(xué)準(zhǔn)備

三角板、磁釘、白紙、塑料棒、直尺。

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)舊知，引發(fā)新知

師：同學(xué)們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了直線，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)直線的特點(diǎn)？

生：直線能無(wú)限延長(zhǎng)。（出示課件演示直線無(wú)限延長(zhǎng)）

二、畫(huà)圖感知，激發(fā)興趣

1.感知平面

師：大家拿張紙平放桌上摸一摸。我們是不是摸到一個(gè)平平的面？（感知平面）

2.學(xué)生畫(huà)圖

師：同學(xué)們我們現(xiàn)在把紙張輕輕地捧在手中，閉上眼睛，想象一下，這張紙放大，再放大直到無(wú)窮。紙張上出現(xiàn)了一條直線，又出現(xiàn)了一條直線，他們將會(huì)是怎樣的關(guān)系？請(qǐng)大家睜開(kāi)眼，用彩筆把你所想象的兩條直線的位置關(guān)系畫(huà)在這張紙上。

三、觀察分類，自主探索

1.學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖

師：畫(huà)完的同學(xué)舉起來(lái)互相看看，相同嗎？（不相同）

師：誰(shuí)把自己畫(huà)的兩條直線展示給大家？

2.作品展示

師：同學(xué)們的想象可真豐富，想出了這么多不同的畫(huà)法，現(xiàn)在我們選幾組有代表性的直線來(lái)分析。

教師選出幾幅有代表性的作品展示在黑板上。

師：你能根據(jù)黑板上每幅作品中兩條直線的位置關(guān)系將他們分類嗎？

3.學(xué)生上臺(tái)嘗試給作品進(jìn)行分類，并說(shuō)出這樣分的原因

師：你能根據(jù)直線的位置關(guān)系把這些作品分類嗎？（為了方

便，我們給他們編上序號(hào)后，指名上臺(tái)分）

師：你能說(shuō)說(shuō)這樣分的原因嗎？

師：剛才老師聽(tīng)到一個(gè)詞“交叉”，兩條直線“交叉”了，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言應(yīng)表述為兩條直線“相交”了，我們一起來(lái)說(shuō)一遍“相交”這個(gè)詞。（板書(shū)：相交不相交）

4.引導(dǎo)學(xué)生分類

師：大家對(duì)他的分法有不同意見(jiàn)嗎？

（1）學(xué)生質(zhì)疑，教師引導(dǎo)驗(yàn)證

重點(diǎn)：①對(duì)于看似不相交的，這兩條直線無(wú)限延長(zhǎng)后真的會(huì)相交嗎？

②學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證。

師：這兩條直線無(wú)限延長(zhǎng)后真的相交了，可以和相交的分為一類。

③小結(jié)：這種看似相交，實(shí)際不相交的情形，在判斷的時(shí)候，要注意把它延長(zhǎng)后再判斷。

5.展示課件

師：在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種情況，相交和不相交。

四、動(dòng)手驗(yàn)證，揭示概念

1.平行線

（1）教師指著不相交的一類，質(zhì)疑：這兩條直線是暫時(shí)不相交，還是永遠(yuǎn)不相交？你能用手中的工具驗(yàn)證一下嗎？

（2）動(dòng)手驗(yàn)證。

指名上臺(tái)量，說(shuō)出結(jié)果。引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出：兩端的寬度相同。

（3）揭示平行線的概念。

師：像這種在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。（板書(shū)：互相平行）。

師：知道為什么要加“互相”嗎？

生：必須有2條或2條以上的直線，才說(shuō)互相，一條直線不能說(shuō)互相平行。

①?gòu)?qiáng)調(diào)：在同一平面內(nèi)。

（出示模型）師：同學(xué)們，這是什么？有幾個(gè)面？這條直線在哪個(gè)面上？這條呢？這兩條直線會(huì)相交嗎？為什么？那么平行嗎？看來(lái)，平行線必須在同一平面內(nèi)，并且不相交（板書(shū)：在同一平面內(nèi)）

師：誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)什么是互相平行呢？

②指著黑板上的作品和關(guān)鍵字引導(dǎo)描述。

③出示課件：指名讀，齊讀。

師：兩條直線互相平行必須具備哪些條件？

生1：直線。

生2：同一平面。

生3：不相交。

2.垂線

師：我們已經(jīng)研究了兩條直線不相交的情況，現(xiàn)在我們來(lái)研究?jī)蓷l直線相交的情況。

（1）師指著相交的一類，質(zhì)疑：在同一平面內(nèi)，兩條直線相交形成了什么？（角）都形成了哪些角？

（2）動(dòng)手驗(yàn)證。

師：太棒了。同學(xué)們這么快就判斷出這四個(gè)角是直角，但是數(shù)學(xué)很嚴(yán)謹(jǐn)，我們不能憑眼睛就認(rèn)定是直角。那有什么辦法能讓我們可以很肯定地說(shuō)這四個(gè)角是直角呢？

生4：（作思考狀）對(duì)了，可以用上直角三角板。

師：（作好奇狀）怎么用上直角三角板？你能給大家演示一

下嗎？

學(xué)生拿著三角板量角，確定四個(gè)角中的一個(gè)角是直角。

師：老師發(fā)現(xiàn)還有同學(xué)舉起了小手，他一定還有話要說(shuō)。那我們請(qǐng)這位同學(xué)說(shuō)說(shuō)他的想法吧。

生：還可以用量角器量。

師：同學(xué)們真不簡(jiǎn)單！（板書(shū)：成直角不成直角）

（3）揭示垂線的概念。

師：像這樣的兩條直線，我們就說(shuō)它們互相垂直。（板書(shū)：互相垂直）。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。

①指著黑板上的作品和關(guān)鍵字引導(dǎo)描述。

師：用自己的語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)什么是互相垂直（學(xué)生試說(shuō)后指名回答）

②課件出示互相垂直的概念

師：像這種在同一平面內(nèi)，相交成直角的兩條直線叫做互相垂直，兩條直線互相垂直必須具備哪些條件呢？

生1：直線。

生2：相交成直角。

生3：同一平面。

3.聯(lián)系實(shí)際，找一找

（1）在教室中找出平行與垂直的例子，交流。

（2）（出示課件）師：你能在操場(chǎng)上找到平行與垂直嗎？（學(xué)生思考，相互交流。）

（3）生活中的垂直與平行（出示課件）。

五、鞏固練習(xí)，深化理解

游戲：我說(shuō)你擺

師：拿出一根綠色的小棒，再拿出兩根紅色的小棒，把它們都擺成和綠色小棒平行，這兩根紅色小棒是什么關(guān)系？

小結(jié)：如果兩條直線僅都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

（課件演示）

師：拿出一根綠色的小棒，再拿出兩根紅色的小棒，把它們都擺成和綠色小棒垂直，看看這兩根小棒是什么關(guān)系？

小結(jié)：如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行。

（課件演示）

六、欣賞圖片，暢談收獲

師：生活中垂直與平行無(wú)處不在，它裝點(diǎn)著我們美麗的世界，讓我們共同去感受平行與垂直的美，出示生活中蘊(yùn)含的垂直與

平行。

七、全課總結(jié)

1.揭示課題并板書(shū)（垂直與平行）

師：今天我們研究了同一平面內(nèi)兩條直線的什么關(guān)系呀？（板書(shū)：垂直與平行）

2.談收獲

垂直與平行范文第2篇

類型一：直線與平面平行的證明

【例1】 在三棱柱ABCA1B1C1中,A點(diǎn)在底面A1B1C1上的射影是正A1B1C1的中心.E為側(cè)面BB1C1C對(duì)角線BC1上一點(diǎn),且BE=2EC1,

證明：OE∥平面AA1C1C．

分析 (1) 從“量”上分析:①?gòu)腂E=2EC1知E是一個(gè)三等分點(diǎn)(離C1較近);②從正A1B1C1,O是A1B1C1的中心,知O是A1B1C1的重心,隱含O是B1C1邊上中線的一個(gè)三等分點(diǎn),與E點(diǎn)有遙相呼應(yīng)之感；

(2) 從“形”上分析：由相似三角形的原理知延長(zhǎng)CE與B1C1的交點(diǎn)必是B1C1的中點(diǎn)H,從而根據(jù)重心知識(shí)知A1、O、H共線,這樣可形成A1HC；同時(shí)可聯(lián)想B1C1的中點(diǎn)是建立聯(lián)系的紐帶；

(3) 從方法上分析：應(yīng)用線面平行的判定定理證明,設(shè)法在平面內(nèi)找到平面外的直線OE的平行線,俗稱“找線法”。

證明 連接CE并延長(zhǎng),交B1C1于點(diǎn)H,因?yàn)锽C∥B1C1,BE=2EC1,所以BCE∽C1HE,且BC=2C1H,所以H點(diǎn)為B1C1的中點(diǎn).

又因?yàn)辄c(diǎn)A在底面正A1B1C1內(nèi)的射影點(diǎn)O是A1B1C1的中心,所以O(shè)是A1B1C1的重心,顯然A1、O、H共線.且A1O=2OH.

在HCA1中,CE=2EH,A1O=2OH,所以HEO∽HCA1,所以EO∥CA1.又EO平面AA1C1C,CA1平面AA1C1C,所以O(shè)E∥平面AA1C1C．

點(diǎn)撥

(1) 從圖形上可聯(lián)想有一個(gè)三角形,過(guò)OE且與平面AA1C1C有一條交線,故聯(lián)想到B1C1的中點(diǎn)；

(2) 在添加輔助線時(shí),易出現(xiàn)錯(cuò)誤.如：連CE交B1C1于H點(diǎn),連A1、O、H等形式的錯(cuò)誤；

(3) 除用判定定理證明外,也可以構(gòu)造平面與平面AA1C1C平行,利用面面平行的性質(zhì)來(lái)證明。

總結(jié):證明線面平行的方法有：定義法、線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理等方法,常用的是線面平行的判定定理。

類型二：直線與平面垂直的證明

【例2】 已知四棱錐PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC且BC=2AB=2AD=2,側(cè)面PAD是等邊三角形,PB=PC=2,求證：PC平面PAB.

分析 (1) 從“量”上分析：底面的等腰梯形中,可得出其他的基本關(guān)系,作AHBC垂足為H,知BH=12,故易知∠ABC=60°,在ABC中由余弦定理易知AC=3,在PAC,PA=1,PC=2,AC=3,易知PCPA；在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2，易知PCPB；

(2) 從“形”上分析：應(yīng)聯(lián)想到PC應(yīng)垂直平面PAB中兩條相交的直線

PB,PA,AB中的其中兩條即可,可聯(lián)想連接AC,用勾股定理證明；

(3) 從方法上分析：應(yīng)利用線面垂直的判定定理,

設(shè)法在平面PAB內(nèi)找到與PC垂直的兩條相交直線。

證明 由條件易知在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2,故PB2+PC2=BC2，即∠BPC=90°,故PCPB.在等腰梯形ABCD中,

由BC=2AB=2AD=2,得BC=2,AB=AD=DC=1,

作AHBC于點(diǎn)H,得BH=12,所以在RtABH中，∠ABH=60°；

又在ABC中使用余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3，

所以在APC中,PA=1,AC=3,PC=2，滿足勾股定理,即∠APC=90°,即PCPA，

由上可知PCPA,PCPB,PA∩PB=P,所以PC平面PAB．

點(diǎn)撥

(1) 本題從找線出發(fā),聯(lián)想到要證PCPA與PCPB,而PCPA是本題的一個(gè)難點(diǎn)；

(2) 本題最終在APC中利用勾股定理證得PCPA,亦可以通過(guò)AB平面PAC,證得PCAB得到。

總結(jié):證明線面垂直的方法有：定義法、線面垂直的判定定理法、面面垂直的性質(zhì)定理等方法,常用的是線面垂直的判定定理。

恃國(guó)家之大，矜民人之眾，欲見(jiàn)威于敵者，謂之驕兵。――魏相

類型三：利用線面平行、垂直的性質(zhì)的探索性問(wèn)題

【例3】 已知三棱錐PABC中,ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,PC平面ABC,PA=22,E為PB的中點(diǎn),F為AC的中點(diǎn),試在線段PC上找一點(diǎn)Q,使得AE∥平面BFQ．

分析

(1) 從“量”上分析：ABC為正三角形,PA=22,易得PC=2；從而知PB=22；

(2) 從“形”上分析：AE平面PAB,且AE∥平面BFQ；PBC

為等腰直角三角形；同時(shí)可以聯(lián)想在平面BFQ內(nèi)有一條與AE平行的線；

(3)從方法上分析：利用線面平行的性質(zhì),通過(guò)線面平行得出線線

平行,從而確定Q點(diǎn)的位置。

解 因?yàn)锳BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,所以AC=2；

又因?yàn)镻C平面ABC,AC、BC平面ABC,所以PCAC,PCBC,所以PAC為直角三角形,所以PC2=PA2-AC2=4,即PC=2,所以PBC是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.不妨在PC上取一點(diǎn)Q,假設(shè)滿足AE∥平面BFQ,則由線面平行的性質(zhì)定理,連接CE交BQ于點(diǎn)H,連接HF,作出平面AEC.因?yàn)锳E∥平面BFQ,

AE平面AEC,平面AEC∩平面BFQ=FH,所以AE∥FH；

顯然在AEC中,F為AC的中點(diǎn),所以H為EC的中點(diǎn)．

過(guò)E作EG∥BQ,交PC于點(diǎn)G；

在CEG中,HQ∥EG,H為EC的中點(diǎn),所以Q為GC的中點(diǎn),故GQ=QC；

在PBQ中,EG∥BQ,E為BP的中點(diǎn),所以G為PQ的中點(diǎn),故GQ=PG；

所以PG=GQ=QC,故Q為PC的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近C點(diǎn)；因?yàn)镻C=2,所以QC=23．

點(diǎn)撥 (1) 取Q點(diǎn)形成平面BFQ,利用線面平行的性質(zhì)定理得AE∥FH,從而知H為EC的中點(diǎn)；

(2) 在PBC中求Q的位置,除了用本題的方法外,還可以把PBC平面化,利用解析幾何知識(shí)建立直角坐標(biāo)系,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定Q的位置；

(3) 學(xué)理科的同學(xué)還可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)求Q的坐標(biāo),確定Q的位置。

總結(jié):線面平行的探索性問(wèn)題常用的解題步驟是：(1) 假設(shè)點(diǎn)在某處；(2) 利用線面平行的性質(zhì)得出線線平行；(3) 通過(guò)線線平行確定點(diǎn)的位置。

【例4】 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,

BC=2AB=2AC=2,CC1=1,D為B1C1的中點(diǎn),

AE平面BB1C1C,試在CC1上找一點(diǎn)Q,使得EQ平面A1DC．

分析

(1) 從“量”上分析：BC=2,AB=1,AC=1得∠BAC=90°；CC1=1,可知側(cè)棱長(zhǎng)均為1；

(2) 從“形”上分析：AE平面BB1C1C,則必有AEBC,即E為BC的中點(diǎn)；同時(shí)可以聯(lián)想在平面BB1C1C內(nèi)應(yīng)該有一條易證的,且與平面A1DC垂直的直線；

(3) 從方法上分析：應(yīng)利用線面垂直的性質(zhì),先找出平面的一條垂線,

再過(guò)E作所找垂線的平行線。

解 連接BC1,交DC于O點(diǎn).因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1

為直三棱柱,所以BB1C1C為矩形,則由長(zhǎng)度關(guān)系知：BB1B1C1=DC1C1C=22,所以BB1C1∽DC1C,易得BC1DC.根據(jù)D是BB1的中點(diǎn),且A1B1=A1C1得A1DB1C1.又因?yàn)镃C1平面A1B1C1,A1D平面A1B1C1,得CC1A1D.所以由A1DB1C1,CC1A1D,B1C1∩CC1=C1得A1D平面BB1C1C,因?yàn)锽C1平面BB1C1C,所以A1DBC1；因?yàn)锳1DBC1,BC1DC,A1D∩DC=D得BC1平面A1DC1．

又根據(jù)題意,AE平面BB1C1C知AEBC,因?yàn)锳BC為等腰三角形,所以E為BC的中點(diǎn)；故要使得EQ平面A1DC,只需EQ∥BC1；在BCC1中,EQ∥BC1且E為BC的中點(diǎn),故Q為CC1的中點(diǎn)；綜上所述,Q的位置在CC1的中點(diǎn)．

點(diǎn)撥

(1) 根據(jù)線面垂直的性質(zhì),要找到EQ平面A1DC,只需先找到一條平面A1DC的垂線,即可通過(guò)平行線找到EQ；

(2) 本題理科學(xué)生也可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),確定Q點(diǎn)的位置。

總結(jié):線面垂直的探索性問(wèn)題的一般步驟是：(1) 假設(shè)點(diǎn)在某處；(2) 找到已知平面的一條垂線；(3) 通過(guò)作已知平面垂線的平行線,確定要找的點(diǎn)的位置。

牛刀小試

1. 三棱錐PABC中,E、F是PA、PB的中點(diǎn),O是AC的中點(diǎn),G是OC的中點(diǎn),證明：FG∥平面BOE.

2. 三棱錐PABC中,D是AB的中點(diǎn),E在PB上,且PE=2BE,在PB上確定一個(gè)點(diǎn)Q,使得DE∥平面ACQ．

3. 四棱錐SABCD中,AB∥CD,BCCD,側(cè)面SAB為等邊三角形,AB=BC=2,CD=SD=1,O為AC與BD的交點(diǎn),試在SB上找一點(diǎn)E,使得OE平面SAB．

【參考答案】

1. 證明：連接AF交BE于點(diǎn)H,連接OH,因?yàn)镺是AC的中點(diǎn),

G是OC的中點(diǎn),所以AOAG=23；在PAB中,BE,AF均為三角形的中線,故AF與BE的交點(diǎn)H是PAB的重心,

所以AHAF=23.所以在AFG中,AOAG=AHAF=23,

由相似三角形知識(shí)得OH∥FG；

又因?yàn)镺H平面BOE,FG平面BOE,所以FG∥平面BOE．

2. 證明：因?yàn)锳BCD是正方形,所以AD=DC=1,又因?yàn)镻C=2,所以PD2+DC2=PC2,即PDDC.又因?yàn)镻DDC,PDBC,DC∩BC=C,所以PD平面ABCD．

2. 在PB上取點(diǎn)Q,作平面ACQ,假設(shè)DE∥平面ACQ；因?yàn)镈E∥平面ACQ,DE平面PAB,平面PAB∩平面ACQ=AQ,所以DE∥AQ.ABQ中,DE∥AQ,D是AB的中點(diǎn),所以E為BQ的中點(diǎn).所以BE=EQ=13PB=PQ,即Q為PE的中點(diǎn),亦可答：Q是PB的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近P點(diǎn)．

3. 在四邊形ABCD中,過(guò)D作DHAB于點(diǎn)H,在四邊形ABCD中,

因?yàn)锳B∥CD,AB=2,CB=2,CD=1,所以AH=1,DH=2,故AD=5．

在SAD中,SA=2,SD=1,AD=5,則SA2+SD2=AD2,

所以SDSA.BCD中,CD=1,BC=2,BCCD,則BD=5．

故在SDB中,SD=1,SB=2,BD=5,所以BD2=SD2+SB2,所以SDSB．

因?yàn)镾DSA,SDSB,SA∩SB=S,所以SD平面SAB．

要在SB上找一點(diǎn)E,使得OE平面SAB,只需作出SD的平行線即可．

根據(jù)CD∥AB,

易得OCD∽OAB,得O為DB的三等分點(diǎn)(靠近D點(diǎn)),

故在SDB中,OE∥SD,顯然E是SB的三等分點(diǎn)(靠近S點(diǎn))；

垂直與平行范文第3篇

關(guān)鍵詞：晶界；晶體塑性；銅雙晶；孔洞；裂紋

中圖分類號(hào)：TH140.7；TB302.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Morphologic Observation and Analysis of Compressed

Copper Bicrystals with Horizontal and Vertical Grain Boundaries

DUAN Xianyun，RUAN Feng，ZHANG Saijun

（School of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology，Guangzhou，Guangdong 510640，China）

Abstract：The microscopic morphologies of uniaxially compressed copper bicrystals （CB） with horizontal and vertical grain boundaries （GB） were observed. Experiment results have shown that， under the same comppressive loading condition and comparing the case of CB sample with horizontal GB， a higher stress exists beside the GB for the CB sample with vertical GB， for which there are much more microvoids and cracks， whose locations are much concentrated to or beside the slip lines.

Key words：grain boundary； crystal plasticity； copper bicrystal； hole； crack

在微形沖壓中，由于金屬晶粒取向不同以及晶界相對(duì)加載軸方向的位向不同，單向的外加載荷會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)雜的力平衡系統(tǒng)[1-2]，晶界在抵抗材料變形與破壞中起到了關(guān)鍵作用[3].因此，研究晶界方向?qū)λ苄宰冃沃锌锥春土鸭y的影響有重要的意義.

目前國(guó)內(nèi)外相關(guān)的研究主要集中在循環(huán)應(yīng)力下，不同的晶界方向?qū)︺~晶體疲勞失效的影響[4-8]，并對(duì)疲勞裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展做出相應(yīng)的解釋[9-15].而在微型沖壓中，材料的關(guān)鍵變形區(qū)和破壞區(qū)受力并不是循環(huán)應(yīng)力的交變載荷，大部分是單純的拉伸力和壓縮力，因此有必要研究該受力條件下晶界方向?qū)λ苄宰冃蔚挠绊?本文基于以上目的，在銅雙晶體的晶界分別處于水平晶界（晶界面為水平面）和垂直晶界（晶界面為垂直面）兩種情況下，對(duì)受到壓縮變形后晶界附近的形貌進(jìn)行了試驗(yàn)觀察分析.

1 試驗(yàn)材料

本實(shí)驗(yàn)的銅基材采用臺(tái)灣NeoTech公司的純度為99.995%，外徑為2.5 mm的連鑄單晶銅線.試樣的制備主要經(jīng)過(guò)以下步驟（如圖1）：取兩段該銅線，不考慮晶向，隨機(jī)磨削成30 mm×2 mm×1 mm的長(zhǎng)方體；經(jīng)擴(kuò)散焊隨機(jī)焊接成30 mm×2 mm×2 mm雙晶體條（圖1（a））；將整個(gè)雙晶體條長(zhǎng)度方向4個(gè)面磨平行，經(jīng)拋光機(jī)逐步拋光至2 000號(hào)后，再經(jīng)線切割分割成若干個(gè)2 mm×2 mm×2 mm的雙晶體方塊（圖1（b））；取兩個(gè)雙晶體方塊，晶界方向分別為水平方向和垂直方向，相鄰放置于特制固定扣中，注入熱熔膠（水晶膠易損壞已經(jīng)拋光的表面），在磨床（5 ℃低溫噴淋）磨平上下兩端面，再拋光至2 000號(hào)（圖1（c））；再將兩方塊從熱熔膠中取出，將要觀察形貌的兩個(gè)主要平面拋光至4 000號(hào)，再經(jīng)平絨布拋光，然后進(jìn)行電解拋光；經(jīng)EBSD測(cè)定雙晶體的取向矩陣為：

湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2013年

第7期段先云等：銅雙晶水平與垂直晶界壓縮形貌觀察與分析

2 試驗(yàn)方法

微壓縮裝置如圖1（d）：上下夾板經(jīng)過(guò)精磨拋光處理，以確保貼合的平行度，上下夾板分別固定在模架和模板上，兩個(gè)雙晶體方塊放在上下夾板間，一個(gè)雙晶體為水平晶界方向，另一個(gè)為垂直晶界方向，整個(gè)裝置在萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行微壓縮試驗(yàn).據(jù)本試驗(yàn)的壓縮方法，每次取出樣品進(jìn)行顯微形貌觀察時(shí)，兩種晶界方向雙晶體的豎直方向的形變始終保持相同.整個(gè)試驗(yàn)在奧林巴斯CX21BIMSET5顯微鏡下觀察拍照.

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

銅質(zhì)地較軟，延展性能好，在變形初期試樣表面已經(jīng)能觀察到密布的滑移線.當(dāng)壓縮應(yīng)變達(dá)到ε=-0.6時(shí)，兩個(gè)晶粒內(nèi)部和晶界處可以觀測(cè)到較明顯的孔洞和裂紋.初始的孔洞和裂紋都很微小，它們的尺寸在3

SymbolmA@ m以上時(shí)能較明顯地被觀察到.圖2是典型的孔洞與裂紋的外觀形貌，孔洞類似于圓形，裂紋呈不規(guī)則多邊形.

由于孔洞和裂紋尺寸微小，加之大應(yīng)變下顯微景深的影響，一張照片無(wú)法顯示出全部孔洞和裂紋.本文在壓縮應(yīng)變?yōu)棣?-0.7時(shí)（壓縮加載方向?yàn)閳D3中豎直方向），對(duì)4組試樣中的能較明顯觀察到的、尺寸大小在同一級(jí)別上的孔洞和裂紋進(jìn)行了數(shù)量與分布的統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的分布圖，見(jiàn)圖3.圖中“o”代表孔洞，“+”代表裂紋，“o”和“+”的數(shù)量為4組試樣觀測(cè)到數(shù)量的均值，“o”和“+”的位置是分布密度和分布位置的示意.

從分布圖中可見(jiàn)，孔洞裂紋的分布與文獻(xiàn)[7，16-18]中觀測(cè)到的結(jié)果有吻合的一面，即晶界附近較大的應(yīng)力集中阻礙了位錯(cuò)的滑移，裂紋和孔洞多發(fā)生在晶界附近.同時(shí)，在本實(shí)驗(yàn)方法下，也觀察到不同的分布特點(diǎn)：見(jiàn)圖3，水平晶界雙晶的孔洞和裂紋分布區(qū)域更寬，而垂直晶界的則更集中于晶界附近；水平晶界中同一尺寸級(jí)別的孔洞數(shù)量比垂直晶界的多，而垂直晶界的裂紋數(shù)量比水平晶界的多；垂直晶界的孔洞和裂紋的總體數(shù)量多于水平晶界.

造成此現(xiàn)象的原因本質(zhì)上仍是應(yīng)力集中，而且是因?yàn)榇怪本Ы绺浇膽?yīng)力集中現(xiàn)象明顯高于水平晶界的，無(wú)論是這些應(yīng)力的方向、大小都比水平晶界的復(fù)雜.這些更加集中的應(yīng)力觸發(fā)了晶體內(nèi)部更多的滑移系，在這些滑移系和應(yīng)力集中的共同作用下，較多數(shù)量的孔洞和裂紋相應(yīng)產(chǎn)生.同時(shí)，多個(gè)滑移系共同作用的結(jié)果也促使垂直晶界中的孔洞更快地轉(zhuǎn)化為裂紋.本實(shí)驗(yàn)中，兩種晶體的加載力大小和方向都相同，對(duì)于垂直晶界孔洞裂紋分布更集中于晶界附近的原因，雖然同樣也歸結(jié)為應(yīng)力集中所引起，但必然與晶界和加載方向之間的相對(duì)角度直接相關(guān).

為了觀察孔洞和裂紋在不同變形量下的變化情況，本文分別在ε=-0.7和ε=-0.85條件下，對(duì)晶界和晶界附近區(qū)域的若干個(gè)點(diǎn)進(jìn)行了連續(xù)形貌觀察.

圖4為水平晶界雙晶體中，在晶界的右下方區(qū)域的孔洞和裂紋圖像.從顯微鏡照片可見(jiàn)，微小孔洞和裂紋的發(fā)生點(diǎn)多集中于主、次滑移線的交錯(cuò)位置附近區(qū)域，有些是位于二者的交點(diǎn)上，有些是位于一根滑移線下方另一根滑移線上，也有的是位于兩滑移線交角內(nèi).該區(qū)域中，有4處較明顯的孔洞裂紋點(diǎn)（標(biāo)號(hào)1～4），對(duì)它們進(jìn)行了連續(xù)觀察，如圖5，每個(gè)觀察點(diǎn)前后兩張形貌照片的壓縮量分別為ε=-0.7和ε=-0.85.從圖中可見(jiàn)，隨著壓縮量的增大，裂紋的形狀變得更加不規(guī)則.裂紋的初期形狀更接近于孔洞，如點(diǎn)3和點(diǎn)4，左圖的裂紋中心均有一個(gè)較小而圓度好的孔洞.

在640倍放大觀測(cè)下（圖6），可觀測(cè)到微孔及其變形.圖5（a）是一初生的微孔，形狀相對(duì)較規(guī)則，隨著滑移變形的加大，微孔發(fā)生變形并伴隨一處或多處的破裂，最終變形成裂紋的形狀.從圖5中還可觀測(cè)到，圓孔或裂紋的擴(kuò)展方向并沒(méi)有統(tǒng)一的方向性.點(diǎn)1和點(diǎn)2裂紋擴(kuò)展方向沿近似135°的滑移線方向，而點(diǎn)3、點(diǎn)4則沿近似45°的滑移線方向.

相同的方法，對(duì)于垂直晶界雙晶體中晶界中部區(qū)域進(jìn)行了形貌觀察，并在其中選取了點(diǎn)1～5進(jìn)行了連續(xù)觀察，結(jié)果如圖7.從圖7可見(jiàn)，它的孔洞和裂紋分布與水平晶界的有許多不同點(diǎn)：首先，晶界附近分布有較多的孔洞和裂紋，在單個(gè)晶粒中間以及遠(yuǎn)離晶界的一側(cè)，成形的同一大小級(jí)別的孔洞和裂紋較少.圖中選取的觀測(cè)點(diǎn)已是較明顯的孔洞和裂紋，這種級(jí)別的孔洞裂紋在遠(yuǎn)離晶界的晶粒中部區(qū)域數(shù)量較少；其次，在整個(gè)形貌觀察中，裂紋更加明顯，而孔洞的數(shù)量較少.本觀察中，5個(gè)觀察點(diǎn)只有一個(gè)是孔洞，其余均為裂紋；再次，在晶界附近，可觀察到發(fā)生了多個(gè)次級(jí)滑移（點(diǎn)3附近較明顯），孔洞和裂紋的發(fā)生位置有的位于滑移線交錯(cuò)處，也有的位于沒(méi)有明顯滑移線的雜亂區(qū)，更多的是位于某根滑移線上或滑移線一側(cè)，這是與水平晶界的區(qū)別最明顯的一點(diǎn).圖8為連續(xù)觀測(cè)結(jié)果：點(diǎn)1，點(diǎn)4，點(diǎn)5的裂紋均位于滑移線上或在一側(cè)，隨著變形的加大，裂紋長(zhǎng)度沿滑移線逐步擴(kuò)展，這種擴(kuò)展可以是由若干個(gè)孔洞連接發(fā)展而成，如點(diǎn)1；也可由小裂紋進(jìn)一步長(zhǎng)大擴(kuò)展而成，如點(diǎn)4，點(diǎn)5，點(diǎn)2是一孔洞，初生在兩滑移線交角下方，經(jīng)過(guò)第二次變形后，與新出現(xiàn)的次級(jí)滑移形成交錯(cuò)，變形成裂紋形狀.本觀察中，點(diǎn)3是一個(gè)初生的孔洞，它是在一雜亂區(qū)域，隨著變形量的增大，一個(gè)孔洞在兩滑移線的交錯(cuò)中出現(xiàn).

對(duì)于上述垂直晶界孔洞和裂紋的不同特點(diǎn)，主要的起因仍然是晶界附近的應(yīng)力集中，而且是垂直晶界附近的應(yīng)力集中大于水平晶界的.垂直晶界附近較高的應(yīng)力集中，使得多個(gè)滑移系開(kāi)動(dòng)，并且滑移系間相互交錯(cuò)，應(yīng)力不均衡.裂紋是微小孔洞產(chǎn)生后，在滑移變形的作用下，孔洞周邊交錯(cuò)拉裂而形成.由于各滑移系滑移方向不同，變形有不相容性，在晶界附近的微小孔洞一旦產(chǎn)生，在高應(yīng)力下，迅速轉(zhuǎn)化成微小的裂紋，從而使得裂紋數(shù)量更多，孔洞數(shù)量較少.同時(shí)，由于晶界的存在，協(xié)調(diào)了整個(gè)晶粒的變形，在高應(yīng)力下，各滑移系都產(chǎn)生了允許范圍內(nèi)的最大滑移量，以降低整個(gè)區(qū)域的應(yīng)力并走向一個(gè)新的平衡狀態(tài)，這種滑移系允許范圍內(nèi)的最大滑移，促使了裂紋沿滑移方向的生長(zhǎng).

圖9是對(duì)于其中一根滑移線上孔洞和裂紋放大了640倍的觀察圖，圖中可明顯看到在滑移線上既有孔洞又有裂紋，裂紋由兩個(gè)孔洞狀區(qū)域聯(lián)通而成，從整體的擴(kuò)展趨勢(shì)而言，孔洞隨著形變的加劇，形狀都將發(fā)生不規(guī)則變化并演化成裂紋.

4 結(jié) 論

1） 在相同壓縮應(yīng)變條件下，水平和垂直晶界附近均存在應(yīng)力集中，垂直晶界雙晶體晶界附近的應(yīng)力集中高于水平晶界的；

2） 在相同的大壓應(yīng)形變條件下，垂直晶界雙晶體中孔洞和裂紋數(shù)量多于水平晶界的，分布更集中于晶界附近；

3） 在相同的大壓應(yīng)形變條件下，垂直晶界雙晶體中孔洞和裂紋分布位置更集中于滑移線上或臨近滑移線某一側(cè)，而水平晶界的無(wú)此集中現(xiàn)象.

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垂直與平行范文第4篇

讓我們用兩根食指比劃比劃每組中直線的位置關(guān)系。如果讓你給這幾種情況分類，你打算怎么分?先自己獨(dú)立思考，再與小組同學(xué)交流交流，小組長(zhǎng)做好記錄和總結(jié)。以下是為大家整理的數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例資料，提供參考，希望對(duì)你有所幫助，歡迎你的閱讀。

數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例一

兩條筆直的鐵軌，看成兩條直線，把它們畫(huà)在紙上，它們的位置關(guān)系如同等號(hào)。如果你也來(lái)畫(huà)兩條直線，還會(huì)有什么不同的位置關(guān)系呢?

學(xué)生畫(huà)一畫(huà)。

(二)、分一分，初步感知平行與垂直的特點(diǎn)

1、讓我們用兩根食指比劃比劃每組中直線的位置關(guān)系。如果讓你給這幾種情況分類，你打算怎么分?先自己獨(dú)立思考，再與小組同學(xué)交流交流，小組長(zhǎng)做好記錄和總結(jié)。

2、、交流分類情況。

可能出現(xiàn)以下幾種分法：

第一種：分兩類——相交、不相交

第二種：分三類—— 相交、快要相交的，不相交

第三種：分四類—— 相交、快要相交的，不相交，相交成直角的。

(三)、歸納特點(diǎn)，探究規(guī)律

平行：

1、大家先來(lái)看第一類，這一類的兩條直線的位置有什么特點(diǎn)，想象一下再畫(huà)長(zhǎng)點(diǎn)，會(huì)相交嗎?

2、像這樣的兩條直線我們就叫平行線，誰(shuí)能用自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)，什么是平行線?

3、我們打開(kāi)書(shū)56頁(yè)，看看書(shū)中是怎么定義平行線的。(齊讀)

4、在這個(gè)概念中，你想提醒同學(xué)們注意些什么?(“同一平面內(nèi)”，“互相平行”)

5、引導(dǎo)學(xué)生正確表述兩條直線互相平行。

6、介紹用符號(hào)表示平行線的方法。

7、出示課件：判斷是否成平行關(guān)系。

8、再一次出示鐵軌，你還能舉出生活中平行的例子嗎?

垂直：

1、下面我們?cè)賮?lái)看看第二類直線有哪些共同特點(diǎn)?(有交點(diǎn)，都成了四個(gè)角)能不能按照角的大小也把它們分分類?有的四個(gè)角都是直角，有的四個(gè)角不是直角)，你怎么知道他們相交后形成的角是直角呢?(三角板、量角器)，

2、誰(shuí)知道像這樣兩條直線相交成直角是什么關(guān)系?

3、誰(shuí)能用自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)，什么是互相垂直?

4、我們打開(kāi)書(shū)57頁(yè)，看看書(shū)中是怎么定義互相垂直的。(齊讀)

5、在這個(gè)概念中，你想提醒同學(xué)們注意些什么?(“相交成直角”，“互相垂直”)

6、引導(dǎo)學(xué)生正確表述兩條直線互相垂直。

6、介紹用符號(hào)表示互相垂直的方法。

7、完成題卡：判斷每組中兩條直線的位置關(guān)系，并用符號(hào)表示出平行和垂直,寫(xiě)出讀法。

8、生活中，很多時(shí)候平行和垂直都是同時(shí)存在的，把它們摻雜在下起，同學(xué)們能區(qū)分出來(lái)嗎?

(四)、小結(jié)，梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)

剛才，同學(xué)們?cè)诋?huà)一畫(huà)，分一分、說(shuō)一說(shuō)、找一找等探究活動(dòng)中，知道了在同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系可以分成兩大類，相交和不相交。不相交的這一類叫做平行。相交的這一類按照是否成直角也可以分成兩類，其中相交成直角的叫做垂直。生活中有了平行和垂直，我們的世界變得更加有序和美麗。

(五)、拓展練習(xí)，鞏固知識(shí)

辨析題：1、兩條不相交的直線叫平行線。

2、同一平面內(nèi)的兩條直線不平行就相交。

3、垂線和直角如同孿生兄弟，有垂線的地方就有直角。

4、如圖 + 直線b叫垂線。

(六)、拓展提升

本節(jié)課，我們主要研究了同一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行和垂直的關(guān)系，如果再加入一條直線，你還能弄清它們之間的關(guān)系嗎?

出示：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么，這兩條直線之間是什么關(guān)系?

如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么，這兩條直線之間是什么關(guān)系?

(七)聯(lián)系生活實(shí)際，進(jìn)一步提升平行與垂直的應(yīng)用價(jià)值

出示圖片：(鉛錘測(cè)平行，水平儀定平行垂直，測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī))

引導(dǎo)學(xué)生了解平行和垂直在生活中的應(yīng)用，引發(fā)學(xué)生的深度思考，為下節(jié)課做滲透。

板書(shū)： 平行與垂直

不相交—平行 (∥ )( = )( )記作： a//b讀作：a平行于b

同一平面內(nèi)

相交—成直角—垂直( )(+)(⊥) 記作：a⊥b讀作：a垂直于b

數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例二

知識(shí)與技能目標(biāo)：

1、使學(xué)生初步理解垂直與平行是同一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系。

2、學(xué)生結(jié)合生活情境，通過(guò)自主探究活動(dòng)，初步認(rèn)識(shí)平行線、垂線。

過(guò)程與方法目標(biāo)：

學(xué)生在小組合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中理解垂直與平行是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念及空間想象能力，合作探究能力。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

1、 通過(guò)討論交流，使學(xué)生獨(dú)立思考能力與合作精神得到和諧發(fā)展。

2、 學(xué)生在具體的情境中感受“垂直與平行”來(lái)源于生活，在知識(shí)形成過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

【教學(xué)重點(diǎn)】

正確理解“同一個(gè)平面”“相交” “互相平行” “互相垂直” “平行線” “垂線”等概念，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。

【教學(xué)難點(diǎn)】

正確判斷兩條直線之間的位置關(guān)系(尤其是對(duì)看似不相交而實(shí)際上是相交現(xiàn)象的理解)和對(duì)“同一平面”的正確理解。

【教學(xué)用具】

白紙、尺子、三角板、水彩筆一支、小棒、多媒體

教學(xué)過(guò)程：

一、畫(huà)圖感知、研究?jī)蓷l直線在同一平面內(nèi)的位置關(guān)系。

1、 今天這節(jié)課老師請(qǐng)來(lái)了一個(gè)老朋友，他是一條直線，那么直線有什么特點(diǎn)呢? (沒(méi)有端點(diǎn)，可以向兩邊無(wú)限延伸)

師：直線就像孫悟空的…?

生：金箍棒。

2、想象活動(dòng)(想象紙面上兩條直線的位置關(guān)系)

師：老師和同學(xué)們都有同樣的一張紙,現(xiàn)在請(qǐng)大家拿出來(lái)平放在桌上摸一摸這紙，然后談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)。

生：這張紙很薄。

生：這張紙的表面是平平的。

師：也就是說(shuō)我們手中的這張紙的面是一個(gè)平面。 (學(xué)生活動(dòng)感知紙面是一個(gè)平面。)

師：同學(xué)們我們現(xiàn)在來(lái)想象一下，如果把這個(gè)面無(wú)限擴(kuò)大，閉上眼睛想象一下，它是什么樣子?

生：很大很大，越來(lái)越大。 (學(xué)生閉上眼睛想象)

師：如果在這個(gè)無(wú)限大的平面上，出現(xiàn)了一條直線，又出現(xiàn)一條直線，現(xiàn)在請(qǐng)你想一想這兩條直線的位置關(guān)系是怎樣的?會(huì)有哪幾種不同的情況呢?(學(xué)生想象)

3、在紙上畫(huà)出想象中的兩條直線。 每個(gè)同學(xué)手中都有這樣的白紙，現(xiàn)在咱們就把它當(dāng)成一個(gè)無(wú)限大的平面，把你剛才的想法畫(huà)下來(lái)。注意，一張白紙上只畫(huà)一種情況。開(kāi)始吧。(學(xué)生試畫(huà)，教師巡視)

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的觀察與想象，感知并感受無(wú)限大的平面。為下一步進(jìn)行兩條直線間位置關(guān)系的想象提供一個(gè)可操作的平臺(tái)。想象平面上出現(xiàn)兩條直線，不是讓學(xué)生直接想象兩條直線，而是一條一條的出現(xiàn)，有利于學(xué)生想象出更多的兩條直線間的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力。一張紙上只畫(huà)一種情況，目的提高學(xué)生分類時(shí)的可操作性。

二、觀察分類，了解平行與垂直的特征。

(一)展示各種情況。

1、請(qǐng)你的同桌欣賞一下你的作品。

2、將你自己的作品展示給你所在的小組同學(xué)，并選出幾張有代表性的作品(小組交流)。 師：哪個(gè)小組愿意上來(lái)把你們的想法展示給大家看看? (小組展示，將畫(huà)好的圖貼到黑板上)

師：仔細(xì)觀察，你們畫(huà)的跟他們一樣嗎?如果不一樣，可以上來(lái)補(bǔ)充!(如果學(xué)生沒(méi)有把所有的情況都想到教師給予補(bǔ)充) 教師給學(xué)生的作品進(jìn)行編號(hào)。

師預(yù)設(shè)有以幾種兩條直線的位置關(guān)系：

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生自己確定了想法之后，再在小組中交流。充分利用學(xué)生自己的學(xué)習(xí)能力，然后選出有代表性的情況，展示在黑板上，其他小組觀察后，補(bǔ)充不同的情況，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)就經(jīng)歷了一個(gè)從個(gè)人到小組再到全班的逐層遞進(jìn)的過(guò)程。使在同一平面內(nèi)兩條直線間位置關(guān)系的各種情況，可能地通過(guò)學(xué)生的思考、想象、動(dòng)手操作展現(xiàn)出來(lái)，為分類提供材料。

三、師生共同探究 揭示平行與垂直的概念

(一)揭示平行的概念

1、那剩下的這組直線相交了嗎?(沒(méi)有)想象一下，畫(huà)長(zhǎng)點(diǎn)，相交了嗎?(沒(méi)有)再長(zhǎng)一點(diǎn)，相交了嗎?(沒(méi)有)無(wú)限長(zhǎng)，會(huì)不會(huì)相交?(不會(huì))(邊提問(wèn)邊用課件演示)

2、那么，像這樣在同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線畫(huà)得再長(zhǎng)再長(zhǎng)也不會(huì)相交，你們知道這種在同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線在數(shù)學(xué)上叫什么嗎?我們就說(shuō)這兩條直線是平行線，這兩條直線互相平行。(板書(shū)：互相平行)(學(xué)生試說(shuō)不完整的概念)

3、小結(jié)： 象這樣在同一平面內(nèi)，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說(shuō)這兩條直線互相平行。(課件出示，并讓學(xué)生齊讀概念)

4、你們知道為什么要加“互相”嗎?(學(xué)生回答)

教師用誰(shuí)是誰(shuí)的同桌來(lái)說(shuō)明平行線間的關(guān)系。 課件演示，老師強(qiáng)調(diào)：平行是兩條直線之間的位置關(guān)系，可以說(shuō)直線L1與L2互相平行，或者說(shuō)L1平行于L2，L2也平行于L1。能不能說(shuō)L1是平行線?

5、你覺(jué)得在這句話中，還應(yīng)注意哪些詞? 學(xué)生回答(同一平面、不相交)

師：“同一平面”是什么意思?(學(xué)生討論)學(xué)生發(fā)言后師舉例幫助學(xué)生理解，強(qiáng)調(diào)：判斷兩條直線是否是平行線時(shí)“在同一個(gè)平面內(nèi)”和“不相交”這兩個(gè)條件缺一不可。指出如果不在同一平面的情況，以教室的幾個(gè)墻面為例。(假如在教室前面的墻面上畫(huà)一條直線，然后在教室的側(cè)面畫(huà)一條直線，它們不相交但它們平行嗎?)

6、辨析練習(xí)：課件出示，請(qǐng)學(xué)生判斷并說(shuō)出原因。

(二)、揭示垂直的概念

1、咱們?cè)賮?lái)看看兩條直線相交的情況。你們發(fā)現(xiàn)了什么?(都形成了四個(gè)角)

2、你認(rèn)為在這些相交的情況中哪種最特殊?(相交形成了四個(gè)直角)

3、兩條直線相交成直角，而其他情況相交形成的都不是直角，有的是銳角，有的是鈍角。

4、你是怎么知道他們相交后形成了四個(gè)直角呢?(學(xué)生驗(yàn)證：三角板、量角器)(板書(shū)：成直角)

5、你們知道在同一平面內(nèi)，兩條直線相交成直角，在數(shù)學(xué)上叫什么嗎?(互相垂直)什么叫互相垂直?誰(shuí)能用自己的話說(shuō)說(shuō)。(學(xué)生試說(shuō)) 課件出示互相垂直的概念，讓學(xué)生齊讀。

6、強(qiáng)調(diào)其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。

出示直線a1和a2互相垂直的情況，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)它們之間的關(guān)系。 即：直線a1是a2的垂線，或者說(shuō)a1垂直于a2， 也可以說(shuō)a2是a1的垂線，或者說(shuō)a2垂直于a1。

7、強(qiáng)調(diào)看兩條直線是否互相垂直的關(guān)鍵是看它們相交所成的角是否直角，與兩條直線放置的方向無(wú)關(guān)。

四、 練習(xí)鞏固，深化垂直與平行的理解。

1、你能在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上找出平行或垂直的現(xiàn)象嗎?(課件出示主題圖)

2、生活中我們常常遇到垂直與平行的現(xiàn)象，你能舉幾個(gè)例子嗎?(學(xué)生舉例后教師適當(dāng)添加學(xué)生沒(méi)想到的例子。)

3、小結(jié)：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了同一平面內(nèi)兩條直線間有兩種關(guān)系一種是相交，一種是不相交。同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說(shuō)這兩條直線互相平行;如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。

4、揭示課題。(板書(shū)課題)

五、拓展延伸，發(fā)展空間觀念。

下面咱們一起來(lái)做個(gè)游戲，(出示小棒)每根小棒代表一條直線。教師在電子白板上畫(huà)圖，學(xué)生用小棒在自己的課桌上擺放小棒。

(1)先擺一根3號(hào)的小棒，再擺一根1號(hào)小棒，使它與3號(hào)小棒平行。再擺一根2號(hào)小棒，使它也跟3號(hào)小棒平行。仔細(xì)觀察1號(hào)和2號(hào)小棒，說(shuō)說(shuō)你們發(fā)現(xiàn)了什么?(互相平行)看看你擺的是不是互相平行?想象一下，有多少條直線跟3號(hào)小棒平行?

(2)先擺一根3號(hào)小棒，再擺一根1號(hào)小棒，使它與3號(hào)小棒垂直。再擺一根2號(hào)小棒，使它也跟3號(hào)小棒垂直。想象一下，有多少條直線跟3號(hào)小棒垂直?仔細(xì)觀察1號(hào)和2號(hào)小棒，說(shuō)說(shuō)你們發(fā)現(xiàn)了什么?(互相平行)看看你擺的是不是互相平行?

六、 總結(jié):

師：這節(jié)課你有什么收獲?

學(xué)生談自己的收獲。結(jié)合學(xué)生所談收獲教師總結(jié)全課。

師：同學(xué)們你們都滿載著收獲，我們的生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)能使我們生活變得更加有序，更加美好，讓我們都做有心人吧!去感受數(shù)學(xué)的美，去感受生活的美。

七、 作業(yè)：

1、回家后繼續(xù)尋找生活中垂直與平行的現(xiàn)象，講給你的父母聽(tīng)，并說(shuō)一說(shuō)它們有什么作用?

2、動(dòng)手折一折：(!)、用一張白紙折出兩條互相垂直的折痕線。

(2)、用一張白紙折出兩條互相平行的平行線。

八、板書(shū)設(shè)計(jì)

垂直與平行

不成直角

相交

同一平面內(nèi)的兩條直線 成直角 互相垂直

不相交 互相平行

數(shù)學(xué)兩條直線之間的關(guān)系教學(xué)案例三

[教學(xué)目標(biāo)]

1、引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、討論、感知生活中的平行與垂直的現(xiàn)象。

2、幫助學(xué)生初步理解平行與垂直是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系，初步認(rèn)識(shí)平行線和垂線。

3.培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念及空間想象能力，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立合作探究的學(xué)習(xí)意識(shí)。

[教學(xué)重點(diǎn)]

正確理解“互相平行”“互相垂直”等概念，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。

[教學(xué)難點(diǎn)]理解“平行與垂直”這兩種關(guān)系的界定前提是“同一平面內(nèi)”。

[教具、學(xué)具準(zhǔn)備]

課件，水彩筆，尺子，三角板，長(zhǎng)方形紙等。

[教學(xué)過(guò)程]

一、談話導(dǎo)入。

師：同學(xué)們，今天老師請(qǐng)來(lái)了一位老朋友，你們想知道它是誰(shuí)嗎?(課件出示一條無(wú)限延長(zhǎng)的直線)誰(shuí)來(lái)介紹一下這位朋友?

師：直線就像孫悟空的…?

生：金箍棒。

二、探索體驗(yàn)，經(jīng)歷過(guò)程

(一)畫(huà)圖感知，確定研究對(duì)象。

過(guò)渡：今天我們繼續(xù)研究有關(guān)直線的知識(shí)，就是兩條直線在同一平面內(nèi)的位置關(guān)系。

板書(shū)：兩條直線

1、想象活動(dòng)，想象紙面上兩條直線的位置關(guān)系。

師：想一想，如果我們?cè)谶@張長(zhǎng)方形紙上畫(huà)兩條直線，這兩條直線會(huì)有怎么樣的位置關(guān)系呢?(學(xué)生想象)

2、動(dòng)手操作。

(學(xué)生試畫(huà)，教師巡視)

3、收集展示。

4、觀察分類，了解平行與垂直的特征。

師：同學(xué)們的想象力可真豐富，畫(huà)出這么多種情況。根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系你能給它們分分類嗎?

5、匯報(bào)分類情況。

在分類過(guò)程中通過(guò)課件展示重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生弄清看似兩條直線不相交而事實(shí)上是相交的情況。(課件展示不相交的兩條直線延長(zhǎng)后的情況，完善分類標(biāo)準(zhǔn)。)

教師根據(jù)學(xué)生的分類板書(shū)：相交 不相交

(二)師生共同探究，揭示平行與垂直的概念

1、揭示互相平行的概念。

(1)通過(guò)交流揭示互相平行的概念。

在同一個(gè)平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說(shuō)這兩條直線互相平行。(課件出示，并讓學(xué)生齊讀概念，互說(shuō)概念)

(2)練習(xí)。(辨析練習(xí)：課件出示，請(qǐng)學(xué)生判斷并說(shuō)出原因。)

通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生理解“同一個(gè)平面”、“不相交”等的意思。

(3)小結(jié)

2、通過(guò)交流揭示互相垂直的概念

師：我們?cè)賮?lái)看看兩條直線相交的情況。

(1)觀察。兩條直線相交成的四個(gè)角是什么角?

(2)匯報(bào)：兩條直線有的相交成直角，有的是銳角，有的是鈍角。

成銳角、鈍角

板書(shū)：相交

成直角 垂直

(3)引出互相垂直的概念，你們知道在同一平面內(nèi)，兩條直線相交成直角，在數(shù)學(xué)上叫什么嗎?(互相垂直)什么叫互相垂直?

(4)課件出示互相垂直的的概念。(齊讀概念，互說(shuō)概念)

(5)練習(xí)。(課件出示)

(6)自學(xué)互相平行、互相垂直的表示方法。

a與b互相平行，記作a∥b ，讀作 a平行于b

a與b互相垂直，記作a⊥b ，讀作 a垂直于b

(三)欣賞生活中的平行和垂直現(xiàn)象。

三、鞏固練習(xí)

四、總結(jié)全課

五、作業(yè)

板書(shū)：

平行與垂直

不相交 互相平行

兩條直線的位置關(guān)系 成銳角、鈍角

(同一平面內(nèi) ) 相交

垂直與平行范文第5篇

關(guān)鍵詞：小學(xué)；數(shù)學(xué)；教

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）11-311-01

一、自主學(xué)習(xí)，嘗試畫(huà)圖。

第一步，請(qǐng)學(xué)生畫(huà)出兩條直線互相平行。第二步，請(qǐng)學(xué)生畫(huà)出兩條直線互相垂直。第三步，小組里說(shuō)一說(shuō)什么是互相平行，什么是互相垂直，并互相檢查你們所畫(huà)的是不是正確的。第四步，選取組內(nèi)一個(gè)同學(xué)的作品，做好向全班同學(xué)匯報(bào)的準(zhǔn)備。

二、交流展示，觀察辨析

學(xué)生完成學(xué)習(xí)單內(nèi)容后，自主完成導(dǎo)學(xué)提示單上的內(nèi)容后，再課堂中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，選出你認(rèn)為是互相平行互相垂直的向全班匯報(bào)。師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)兩條直線怎樣的位置是互相平行？怎樣的位置關(guān)系是互相垂直？a：學(xué)生根據(jù)書(shū)上的定義準(zhǔn)確描述互相平行和互相垂直的定義，并讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)你認(rèn)為哪些詞比較重要。b：教師在黑板上出現(xiàn)這兩條概念的表述。教師根據(jù)學(xué)生的想法、所提出的問(wèn)題進(jìn)行隨機(jī)評(píng)價(jià)，并對(duì)白板上學(xué)生的作品進(jìn)行評(píng)價(jià)整理，歸類，會(huì)出現(xiàn)兩種如下情況：

三、理解互相平行

如何讓學(xué)生理解互相平行，根據(jù)定義抓住平行線的本質(zhì)特征來(lái)判斷是否互相平行，學(xué)生對(duì)其中的不平行的線條生質(zhì)疑，讓學(xué)生知道不平行的線條延長(zhǎng)后會(huì)相交，再根據(jù)學(xué)生的回答，通過(guò)白板先把兩條直線延長(zhǎng)，然后利用白板中的三角板功能量下兩條直線之間的距離相等。小結(jié)：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，我們知道兩條直線的位置關(guān)系有兩種，一種是相交的，一種是不相交的，像這樣延長(zhǎng)后永不相交的兩條直線在數(shù)學(xué)上叫互相平行，如兩條直線分別叫做a、b，記作a∥b，讀作a平行于b。（板書(shū)）誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)：互相平行需要具備什么條件：一，兩條直線，二，永不相交，（三，同一平面，等會(huì)兒再得出）

四、理解互相垂直

通過(guò)書(shū)本上的定義抓住垂線的本質(zhì)特征來(lái)判斷是否互相垂直，學(xué)生對(duì)不相互垂直的線條產(chǎn)生質(zhì)疑，在質(zhì)疑中概括出互相垂直的本質(zhì)屬性。小結(jié)：像這樣兩條直線相交成直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足，讀作a垂直于b。師：誰(shuí)也來(lái)說(shuō)一說(shuō)：互相垂直需要具備什么條件？（一兩條直線，二相交成直角， 三同一平面，等會(huì)兒再得出）

五、理解同一平面

引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：（1）先讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)為什么互相平行和互相垂直這兩條直線要在同一平面內(nèi)。（2）出示一個(gè)只有4個(gè)面的長(zhǎng)方形紙盒，前面和后面各畫(huà)了一條直線a和b，再展開(kāi)（如右圖）：讓學(xué)生去想象平面和直線分別是無(wú)線延伸和延長(zhǎng)的，不管直線怎么延長(zhǎng)，它們都分別在自己的平面內(nèi)，而互相平行的前提是在同一平面內(nèi)。（3）再次深化“互相平行”和“互相垂直”，通過(guò)設(shè)計(jì)5個(gè)問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行深化凸顯概念的本質(zhì)。如：①如何去找到直線a的平行線，能找到幾條？②與a平行的這兩條平行線是否也互相平行。③選取與a平行的兩條直線，要讓直線a與直線b互相垂直，應(yīng)該怎么辦？④兩條直線是不是互相垂直了呢？（再次用三角板去驗(yàn)證）⑤如果讓直線a繼續(xù)轉(zhuǎn)下去，還會(huì)發(fā)生情況。（出現(xiàn)重合情況）⑥讓其中一條直線平移，會(huì)出現(xiàn)什么情況。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)反思效果

1、運(yùn)用翻轉(zhuǎn)課堂，提高自學(xué)能力

教師提前創(chuàng)建視頻，運(yùn)用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式，學(xué)生在課前或家中觀看學(xué)習(xí)視頻中的內(nèi)容，完成老師導(dǎo)學(xué)提示單中的問(wèn)題，回到課堂上師生面對(duì)面交流和完成作業(yè)的這樣一種教學(xué)形態(tài)。垂直與平行這節(jié)課的內(nèi)容基本上以陳述性內(nèi)容為主，更要注重引導(dǎo)學(xué)生自主、有效的學(xué)習(xí)，本節(jié)課先通過(guò)讓學(xué)生自己想象兩條直線的位置并畫(huà)下來(lái)，再通過(guò)交流、分類，在分類中引導(dǎo)學(xué)生概括出“互相平行”和“互相垂直”的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是思維不斷激烈碰撞的過(guò)程，也是師生互動(dòng)、生生互動(dòng)共同發(fā)展的過(guò)程，根據(jù)學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)，讓他們通過(guò)充分的交流和再創(chuàng)造“跳一跳”摘到果子，促進(jìn)他們?cè)趧?dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流的過(guò)程中真正理解數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)的課堂充滿生命和活力。