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摘要:無砟軌道不平順作為線路服役狀態(tài)的直接表征，一直是高速鐵路檢查與維修作業(yè)的核心。為了深刻而有效地掌握無砟軌道不平順的時(shí)空分布特征，從分形幾何的基礎(chǔ)物理含義出發(fā)，確定軌道不平順的分形特征，比選軌道不平順分形維數(shù)的計(jì)算方法，通過分析典型高速鐵路無砟軌道不平順的累計(jì)檢測數(shù)據(jù)，討論分形維數(shù)進(jìn)行軌道區(qū)段質(zhì)量管理的可行性與合理性。結(jié)果表明:軌道不平順具有典型自相似性和標(biāo)度不變性的分形特征，各種分形維數(shù)方法進(jìn)行軌道不平順計(jì)算的結(jié)果具有顯著差異性，變差法計(jì)算的精度、魯棒性好，適合進(jìn)行軌道不平順分形維數(shù)計(jì)算;分形維數(shù)可以有效地表征線路軌道服役狀態(tài)逐漸惡化的趨勢，受線路作業(yè)維修干擾較少。建議結(jié)合線路具體養(yǎng)修條件，進(jìn)一步對不同線路條件下軌道不平順分形維數(shù)特征進(jìn)行深入研究。

關(guān)鍵詞:軌道不平順;分形幾何;無砟軌道;分形特征;分形維數(shù)

無砟軌道作為高速列車行車的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，其服役狀態(tài)直接影響高速列車運(yùn)行的平穩(wěn)性和安全性［1］。軌道不平順作為軌道服役狀態(tài)劣化的直接表征，一直是鐵路管理部門養(yǎng)護(hù)維修作業(yè)的重點(diǎn)內(nèi)容［2］。通過持續(xù)、高效、精準(zhǔn)地對高速鐵路無砟軌道進(jìn)行維修保養(yǎng)，目前我國高速鐵路軌道不平順時(shí)域幅值超限問題極少，軌道質(zhì)量指數(shù)((trackqualityindex，TQI)保持著優(yōu)秀狀態(tài)。以華東區(qū)某300km/h的高速鐵路為例，2020年5月動(dòng)檢車單次檢查軌道不平順僅存在41次I級超限，病害里程占比為0．0034%。但同樣值得注意的是，由于該線路采用的CＲTSII型板式無砟軌道結(jié)構(gòu)，線路維修部門通過線路巡檢，發(fā)現(xiàn)存在連續(xù)脹板病害的里程為1．45km，病害里程占比為0．57%;而從脹板區(qū)段軌道不平順的時(shí)域波形來看，呈現(xiàn)明顯的溫度效應(yīng)，導(dǎo)致了脹板結(jié)構(gòu)性病害，但脹板區(qū)段的時(shí)域幅值均滿足現(xiàn)行幅值管理中優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)［3］。這說明現(xiàn)有無砟軌道不平順的管理存在一定的局限性，需要進(jìn)一步地分析軌道不平順時(shí)空分布特征，實(shí)現(xiàn)軌道結(jié)構(gòu)服役狀態(tài)精準(zhǔn)而有效地管理。軌道不平順的檢測一般是通過軌道檢測車動(dòng)態(tài)檢測來實(shí)現(xiàn)的［4］，對所獲取檢測值的評價(jià)管理，世界各國多采用區(qū)段均方值或局部偏差值等時(shí)域幅值方法，但各國的相應(yīng)計(jì)算公式和管理長度略有不同，如中國和美國鐵路的TQI指數(shù)［5］、印度鐵路的TGI指數(shù)［6］、波蘭鐵路的J指數(shù)［7］、瑞典鐵路的Q指數(shù)［8］以及歐盟的SD指標(biāo)［9］等。此外，由于高速列車運(yùn)行中軌道不平順波長的作用顯著，除了利用常規(guī)的軌道不平順譜評價(jià)方法［10］外，研究人員從頻域和時(shí)頻域的角度，結(jié)合輪軌動(dòng)力學(xué)作用，討論了軌道質(zhì)量的評價(jià)方法，如文獻(xiàn)［11］基于輪軌系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)采用帶通濾波方法建立了軌道不平順敏感波長計(jì)權(quán)評價(jià)指標(biāo);文獻(xiàn)［12］利用局部波動(dòng)的多尺度標(biāo)準(zhǔn)差卷積變換模型提出了軌道局部波動(dòng)指數(shù);文獻(xiàn)［13］利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法得到軌道不平順在各個(gè)波段的固有模態(tài)函數(shù)，提出軌道質(zhì)量能量指標(biāo);文獻(xiàn)［14］則利用集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解對波長能量進(jìn)行量化;文獻(xiàn)［15］基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對車輛振動(dòng)進(jìn)行映射，通過振動(dòng)影響來實(shí)現(xiàn)軌道質(zhì)量的評價(jià);文獻(xiàn)［16］利用分形維數(shù)討論了普速有砟線路軌道不平順在兩個(gè)波長區(qū)間的分形特征，文獻(xiàn)［17］則在其基礎(chǔ)上，結(jié)合歐盟標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步地討論提速有砟線路在3個(gè)波長區(qū)間的分形特征。這些研究從多個(gè)層次和維度對軌道質(zhì)量進(jìn)行評價(jià)，具有十分積極的現(xiàn)實(shí)意義;但同樣值得注意的是，在各運(yùn)行速度下不同車輛類型對軌道不平順波長的敏感度有顯著差異性，難以用統(tǒng)一波長區(qū)段進(jìn)行定義和度量，雖然既有研究討論了有砟線路軌道不平順的分形特征，但該研究分形維數(shù)計(jì)算方法(尺碼法)的本質(zhì)還是基于車輛振動(dòng)響應(yīng)的敏感波長，這無疑使得分形計(jì)算具有一定的不穩(wěn)定性，無法建立統(tǒng)一的度量尺度。所以，需要進(jìn)一步地挖掘軌道幾何不平順細(xì)觀特征，探究其內(nèi)在反映的客觀規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)軌道質(zhì)量的有效評價(jià)。基于此，本研究從高速鐵路無砟軌道不平順的分形特征出發(fā)，通過若干分形維數(shù)計(jì)算方法的比選，確定無砟軌道不平順的分形描述方法;分析典型高速鐵路無砟線路的累計(jì)檢測數(shù)據(jù)，研究無砟軌道不平順分形維數(shù)的分布特征，討論無砟軌道不平順的分形維數(shù)評價(jià)指標(biāo)的可行性與合理性。

1軌道不平順分形特征與分形維數(shù)計(jì)算方法

1．1軌道不平順的分形特征

分形是指具有自相似性的一類圖形的總稱［18］。自相似性和標(biāo)度不變性是分形的基本特征［19］。自相似性是指分形的局部與整體存在某種相似性，這種自相似可以是精確的自相似，也可以是近似或統(tǒng)計(jì)意義上的自相似。標(biāo)度不變性是指對分形進(jìn)行尺度變換，其分形特性保持不變的一種性質(zhì)。因此，要實(shí)現(xiàn)軌道不平順分形特征的有效表達(dá)，首先需要確定其是否具有自相似性和標(biāo)度不變性。一般而言，軌道不平順可以視為是由不同幅值、頻率、相角的簡諧波疊加而成的復(fù)雜隨機(jī)波，其局部與整體天然存在一定的相似性。由中國高速鐵路無砟軌道譜［20］可知，在一定范圍尺度(空間頻率)與測度(功率譜密度(powerspectraldensity，PSD))具有明顯的線性關(guān)系，即軌道不平順具有標(biāo)度不變性，如圖1所示。根據(jù)標(biāo)度不變性的定義，具有標(biāo)度不變性的對象必定滿足自相似性［21］。而對于軌道不平順這種自然界中的分形現(xiàn)象而言，其自相似性應(yīng)表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)自相似;統(tǒng)計(jì)自相似可以由統(tǒng)計(jì)自相似度來定量描述，統(tǒng)計(jì)自相似度是由對尺度和測度線性回歸的相關(guān)系數(shù)以及相關(guān)系數(shù)的臨界值來定義的［22］，即式中:r為線性回歸的相關(guān)系數(shù);n為數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù);rα(n－2)為相關(guān)系數(shù)r在顯著性水平α下、強(qiáng)化系數(shù)為m、自由度為(n－2)的臨界值;顯著性水平取為0．05，m的經(jīng)驗(yàn)取值為6;tα2(n－2)為在顯著性水平α下、自由度為(n－2)的t檢驗(yàn)臨界值;ρα為在顯著性水平下α的統(tǒng)計(jì)自相似度。為了說明軌道不平順的統(tǒng)計(jì)自相似度，本文這里采用華東地區(qū)某高鐵線路2020年5月軌檢車測得的動(dòng)態(tài)不平順數(shù)據(jù)作為樣本來源，軌道類型為CＲTSⅡ型板式無砟軌道，設(shè)計(jì)速度為350km/h，日均發(fā)車頻率為140對，線路運(yùn)營速度為300km/h;軌道綜合檢查車為CＲH380AJ－0203，檢測速度284km/h，檢測波長范圍為1．5～120．0m，采樣間隔為0．25m。根據(jù)TB/T3352—2014《高速鐵路無砟軌道不平順譜》的相關(guān)規(guī)定，軌道不平順樣本選取長度為1024m、基礎(chǔ)形式為簡支梁橋的左高低不平順數(shù)據(jù)作為分析對象。數(shù)據(jù)樣本及其功率譜如圖2所示。通過對圖2(b)的線性區(qū)域進(jìn)行最小二乘線性回歸，采用功率譜密度法的計(jì)算公式可得到分形維數(shù)D為0．5664，線性回歸的相關(guān)系數(shù)r為0．9566，如表1所示。利用式(1)和式(2)可得相關(guān)系數(shù)r的臨界值，rα(n－2)為0．7593，統(tǒng)計(jì)自相似度ρα為0．9661。而統(tǒng)計(jì)自相似度越接近1則說明自相似程度越高，因此，可以表明軌道不平順具有顯著的統(tǒng)計(jì)自相似性特征。結(jié)合其標(biāo)度不變性結(jié)論，可以確定軌道不平順時(shí)域波形具有顯著的分形特征。

1．2分形維數(shù)計(jì)算方法

對于具有顯著分形特征的曲線進(jìn)行定量化描述，一般是采用分形維數(shù)的方法;目前尚無統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)對所需采用的計(jì)算方法進(jìn)行界定，通常是根據(jù)所研究對象的特征，利用盒維數(shù)法、尺碼法、功率譜密度法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法和變差法等進(jìn)行計(jì)算［23］。這些方法中目前應(yīng)用最為廣泛的是盒維數(shù)法，已應(yīng)用于軌面不平順評價(jià)［24］和無砟軌道傷損的識別中［25］;而針對于軌道不平順，既有Hyslip和Landgraf等的研究采用的是尺碼法，但計(jì)算步長實(shí)際上表征了不同的波長特征，不同線路呈現(xiàn)出的波長特征有顯著差異性，且列車的動(dòng)力影響也較大，因此，導(dǎo)致計(jì)算的軌道不平順分形維數(shù)具有典型的不穩(wěn)定性;而關(guān)于高速鐵路無砟軌道不平順的分形維數(shù)研究，目前就作者所知尚無相關(guān)的報(bào)告。所以，需要深入地討論高速鐵路無砟軌道不平順分形維數(shù)的表征方法。一般而言，分形維數(shù)是通過對雙對數(shù)坐標(biāo)系中尺度和測度的線性區(qū)域進(jìn)行最小二乘線性回歸、利用回歸直線的斜率與分形維數(shù)存在一定的數(shù)學(xué)關(guān)系來獲取的，表1為各種分形維數(shù)測定方法及其計(jì)算公式。

2無砟軌道不平順分形維數(shù)計(jì)算方法比選

2．1分形維數(shù)計(jì)算方法有效性驗(yàn)證

作者采用MATLAB軟件對1．2節(jié)相關(guān)算法進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，為了驗(yàn)證算法的有效性，進(jìn)而分析各種算法的適用性，需要對算法進(jìn)行比較。鑒于Weierstrass－Mandel-brot函數(shù)在形狀和波動(dòng)程度上與軌道不平順相似度較高且廣泛用于不平度的模擬(如路面不平度等)和分形算法的評價(jià)，因此，本文選取Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)進(jìn)行分析。Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)是具有自相似性、標(biāo)度不變性和確定分形維數(shù)的理想分形曲線［26］，其具體表達(dá)式如下Z(x)=GD－1∑∞n=nLcos(2πλnx)λ(2－D)n，1＜D＜2，λ＞1(3)式中:Z(x)為隨機(jī)輪廓高度;x為輪廓的位置坐標(biāo);G為特征尺度系數(shù);D為分形維數(shù)，λn為輪廓的空間頻率。根據(jù)驗(yàn)算結(jié)果，G取為0．01，λ取為1．5，x在［1，2］間取值，一般可以通過改變D值來獲取分形維數(shù)介于1～2的W－M曲線。D為1．2、1．4、1．6、1．8時(shí)的W－M曲線如圖3所示。對上述W－M曲線進(jìn)行計(jì)算，各種方法的計(jì)算值與理論值間的誤差如圖4所示。由圖4可知，盒維數(shù)法、尺碼法、功率譜密度法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法和變差法計(jì)算所得分形維數(shù)值的平均相對誤差值分別為8．42%、10．97%、13．17%、1．91%和6．13%，即結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算得到的平均相對誤差最小，功率譜密度法則平均相對誤差最大。而平均相對誤差越大，說明計(jì)算中尺度與測度的線性關(guān)系越差，線性回歸的相關(guān)系數(shù)也就越低。所以，對于與軌道不平順特征相類似的W－M曲線而言，結(jié)構(gòu)函數(shù)法和變差法的計(jì)算結(jié)果相對精度較高。后文中，將采用這兩種方法進(jìn)行軌道不平順的分形維數(shù)計(jì)算，進(jìn)一步討論適用于軌道不平順分形維數(shù)的最佳計(jì)算方法。

2．2軌道不平順分形維數(shù)計(jì)算方法的適用性分析

由于Hyslip和Landgraf等的研究中已采用了尺碼法進(jìn)行了計(jì)算，因此，本文選取了尺碼法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法和變差法3種方法進(jìn)行軌道不平順分形維數(shù)的分析。圖5所用數(shù)據(jù)與1．1節(jié)中所述數(shù)據(jù)來源一致。為了說明軌道不平順的統(tǒng)計(jì)自相似度，采用華東地區(qū)某高鐵線路2020年5月軌檢車測得的動(dòng)態(tài)不平順數(shù)據(jù)作為樣本來源，軌道類型為CＲTSⅡ型板式無砟軌道，設(shè)計(jì)速度為350km/h，日均發(fā)車頻率為140對，線路運(yùn)營速度為300km/h;軌道綜合檢查車為CＲH380AJ－0203，檢測速度284km/h，檢測波長范圍為1．5～120．0m，采樣間隔為0．25m。由于高低和軌向不平順是高速列車垂向和橫向振動(dòng)的主要激勵(lì)源［27］，因此，本文這里將此兩種類型的軌道不平順作為對象進(jìn)行研究。由圖6和表2可知，3種方法計(jì)算得到的分形維數(shù)具有顯著的差異性，根本性原因在于算法的差異性而導(dǎo)致計(jì)算斜率表現(xiàn)形式不同，而計(jì)算斜率的分段表達(dá)，使得分形維數(shù)出現(xiàn)了不同的區(qū)段值。變差法的算法魯棒性較好，無標(biāo)度區(qū)間寬，計(jì)算結(jié)果為單一的維數(shù)，且線性回歸的相關(guān)系數(shù)較為理想，對軌道不平順曲線的適應(yīng)性較好。另外兩種方法，特別是尺碼法，曲線分段趨勢明顯，且不同類型的軌道不平順曲線分段也有所不同;結(jié)構(gòu)函數(shù)法則同樣呈現(xiàn)不同分形維數(shù)的分段結(jié)果。值得注意的是，上述不同算法中，曲線分段點(diǎn)具有顯著的不穩(wěn)定性，不同的樣本計(jì)算結(jié)果分段點(diǎn)有所不同，這與文獻(xiàn)［28］結(jié)論一致;因此，為了方便應(yīng)用和計(jì)算，對于高速鐵路無砟軌道不平順應(yīng)該采用變差法進(jìn)行分形維數(shù)的計(jì)算。將采用變差法對全年累計(jì)的軌道不平順檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以進(jìn)一步說明分形維數(shù)在軌道區(qū)段質(zhì)量管理應(yīng)用的有效性。

3軌道區(qū)段質(zhì)量的評估

3．1分形維數(shù)與TQI相關(guān)性分析

為了說明利用分形維數(shù)對軌道區(qū)段質(zhì)量進(jìn)行評估的可行性和合理性，需要將分形維數(shù)與現(xiàn)有評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行比較。軌道質(zhì)量指數(shù)是定義區(qū)段軌道質(zhì)量狀態(tài)的綜合性指標(biāo)，是鐵路管理部門對軌道質(zhì)量狀態(tài)進(jìn)行管理和制定養(yǎng)護(hù)維修計(jì)劃的重要依據(jù)。因此，本文首先討論了TQI與分形維數(shù)之間的相關(guān)性。大量的樣本是統(tǒng)計(jì)分析的前提，這里選用100km的軌道不平順動(dòng)態(tài)檢測數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)來源同前，樣本點(diǎn)數(shù)為400000，參照TQI管理中要求的200m長度進(jìn)行分段，分別計(jì)算高低和軌向不平順的單項(xiàng)TQI和分形維數(shù)間的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如圖7所示，可知軌道不平順分形維數(shù)總體變化趨勢與TQI變化趨勢一致，即分形維數(shù)在某種程度上可以有效地反映區(qū)段軌道質(zhì)量的變化趨勢。

3．2實(shí)例分析

這里分析的線路同前，只是數(shù)據(jù)樣本的檢測時(shí)間范圍為2019年1月—2019年12月，共計(jì)23次檢測數(shù)據(jù)。同樣計(jì)算200m區(qū)段的高低不平順、軌向不平順的單項(xiàng)TQI和分形維數(shù)，以及區(qū)段整體的TQI和分形維數(shù)之和，其計(jì)算結(jié)果如圖8所示，分別對計(jì)算結(jié)果線性擬合，研究分形維數(shù)和TQI的變化規(guī)律。由圖8可知，軌向不平順單項(xiàng)TQI與分形維數(shù)變化規(guī)律較為近似，均逐漸變大，說明了軌向不平順的逐漸惡化趨勢。高低不平順單項(xiàng)TQI和區(qū)段整體的TQI變化規(guī)律則與軌向不平順有較大的差異性，即在1月—7月呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢，而在夏季突然變大，這主要是由于無砟軌道內(nèi)部溫度應(yīng)力較大而使得軌道板變形映射到高低不平順?biāo)鸬?。而夏季分形維數(shù)則表現(xiàn)較為穩(wěn)定，這是因?yàn)榉中尉S數(shù)主要反映軌道不平順曲線充滿空間的能力以及曲線的疏密程度和波動(dòng)程度，對于樣本幅值變化不敏感，所以其變化較小甚至較為穩(wěn)定。經(jīng)過夏季針對性地保養(yǎng)和維修，9月份之后高低不平順單項(xiàng)TQI和區(qū)段整體的TQI有明顯的下降，區(qū)段質(zhì)量狀態(tài)有了顯著的改善，即圖中產(chǎn)生了“臺(tái)階”。而在維修保養(yǎng)之后高低不平順單項(xiàng)TQI和區(qū)段整體TQI均呈現(xiàn)較為穩(wěn)定的結(jié)果，變化較小。但是對于高低不平順的分形維數(shù)以及區(qū)段的分形維數(shù)之和則呈現(xiàn)了一直增大的趨勢。因此，對比TQI幅值可知，線路短暫性的維修保養(yǎng)對于軌道不平順分形維數(shù)影響較小，即使經(jīng)過了針對性維修保養(yǎng)，雖然表面上降低了TQI值，控制了高低不平順的進(jìn)一步惡化，但本質(zhì)上軌道區(qū)段仍然還是處于逐漸惡化的狀態(tài)，分形維數(shù)具有表征軌道結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)狀態(tài)的能力，這是目前TQI管理所不具備的。同樣值得注意的是，TQI與分形維數(shù)的波動(dòng)范圍較小，說明目前線路的幾何狀態(tài)是較為穩(wěn)定的，可以保證高速列車的運(yùn)營安全。所以，綜上可知，不同類型的軌道不平順的分形維數(shù)與單項(xiàng)TQI指數(shù)關(guān)系不同，但對于區(qū)段質(zhì)量而言，分形維數(shù)呈現(xiàn)了逐漸變大的趨勢，可以表示為軌道區(qū)段服役狀態(tài)的逐漸劣化現(xiàn)象，這無疑為線路軌道的預(yù)防性維修提供了有效的指導(dǎo)，可通過深化分析其變化規(guī)律來合理地安排維修周期和維修量。

4結(jié)論

本文討論了高速鐵路無砟軌道不平順的分形特征，確定了軌道不平順分形維數(shù)的計(jì)算方法，并給出了無砟軌道線路狀態(tài)劣化的典型結(jié)果，可以得到以下結(jié)論:(1)軌道不平順具有典型自相似性和標(biāo)度不變性的分形特征。(2)不同分形維數(shù)計(jì)算方法對于軌道不平順進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果具有顯著差異性，變差法呈現(xiàn)計(jì)算精度較高、無標(biāo)度區(qū)間寬、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，建議采用變差法進(jìn)行軌道不平順的分形維數(shù)計(jì)算。(3)分形維數(shù)可以有效地表征軌道服役狀態(tài)逐漸惡化的趨勢，受線路作業(yè)維修干擾較少，這個(gè)無疑為軌道預(yù)防性維修提供了的有益補(bǔ)充，未來可進(jìn)一步的深入研究，分析分形維數(shù)與軌道劣化速率的關(guān)系，形成有效地軌道區(qū)段質(zhì)量管理方法。

作者:李再幃 吳鵬飛 劉曉舟 何越磊 單位:上海工程技術(shù)大學(xué)深圳技術(shù)大學(xué)